全等导学案讲解Word格式文档下载.docx

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，

然后向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到

多边形Ⅱ．图②是将多边形Ⅲ沿点B所在的竖线翻折，然后

向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到多边形Ⅳ，

点评：

图形的变换与变换的顺序无关，因此图形变换的说法可以有多种．

热身练习

1．下列各组图形中，全等的图形是（）

2．下列各组图形中，全等的图形是（）

3．下列图形中，不能分成两个全等图形的是（）

4．由同一张底片冲洗出来的两张五寸照片_______全等图形，而由同一张底片冲洗出来的五寸照片和七寸照片_______全等图形（填“是”或“不是”）．

5．如图是有四个景点的菱形公园，请你用两种不同的方法，按下列要求设计成四个部分（不写画法）．

（1）用直线分割．

（2）每个部分各有一个景点．

（3）各部分的大小、形状完全相同．

6．找出下面各组图中的全等图形．

第2课时全等三角形

1．知道全等三角形的定义，能正确地找出全等三角形的对应顶点、对应边和对应角，会用符号表示两个三角形全等．

2．能说出全等三角形的对应边相等和对应角相等的性质，能够进行简单的说理和计算．

3．经历三角形的平移、翻折、旋转变换的过程，了解用图形变换识别全等三角形的方法．

阅读教材P9～P10内容，回答下列问题：

1．全等三角形的概念及表示方法

（1）概念：

两个能_______的三角形叫做全等三角形．如上图所示的△_______与△_______是全等三角形．

（2）对应关系：

全等三角形重合在一起，重合的点叫做_______，重合的边叫做_______，

重合的角叫做_______．

如图①、②，点A与点D、点B与点_______、点_______与点F是对应顶点；

AB与_______、________与EF、_______与_______是对应边；

∠A与∠_______、∠_______与∠E、∠_______与∠_______是对应角．

（3）表示方法：

我们用符号“_______”表示全等，读作“_______”．如△ABC与△DEF全等，记作“_______”，读作“_______”

注意：

表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上．

2．全等三角形的性质

由于全等三角形能够完全重合，我们容易得出全等三角形具有“对应边_______，对应角_______”的性质，

如图①、②，AB＝_______，_______＝EF，________＝_______；

∠A＝∠_______，

∠_______与∠E，∠_______＝∠_______．

例1如图，△ABC和△AED全等，AB＝AE，∠C＝20°

∠DAE＝130°

．

（1）用符号“≌”表示这两个三角形的全等关系：

（2）∠D＝_______°

，∠BAC＝_______°

（3）∠B＝_______，∠E＝_______．

（4）∠BAE与∠DAC相等吗？

为什么？

表示两个三角形全等时，要注意将其对应顶点的字母写在对应的位置上，结合图形，由于AB＝AE，说明AB与AE是对应边，点B与点E是对应顶点，从图中可以看出∠BAC与∠EAD，∠B与∠E，∠C与∠D是对应角．

（1）△ABC≌△AED．

（2）20130．（3）30°

30°

．（4）∠BAE与∠DAC相等．

∵∠BAC＝∠EAD，∴∠BAC－∠EAC＝∠EAD－∠EAC．∴∠BAE＝∠DAC．

点评：

用符号“≌”表示两个三角形全等时，要把对应顶点的字母写在对应的位置上；

反之，如果已知用“≌”表示的两个三角形全等的关系，那么我们可以不用看图，就能得到对应顶点、对应边和对应角．

例2　如图，△ABC≌△DFE，且点B、F、C、E在同一条直线上，∠A＝

75°

，∠B＝65°

，BC＝8cm，CE＝3cm．求：

（1）CF的长．

（2）∠E的度数．

（1）欲求CF的长，已知BC的长为8cm，故只要求出BF的长．由

△ABC≌△DFE，得BC＝FE，可得BF＝CE＝3cm．

（2）欲求∠E的度数，由△ABC≌△DFE，得∠E＝∠ACB，因此只要求出/ACB的度数即可．已知∠A、∠B的度数，根据三角形的内角和等于180°

，可得到∠ACB的度数．

（1）∵△ABC≌△DFE，∴BC＝FE，即BF＋FC＝FC＋CE．∴BF＝CE＝3cm．

∵BC＝8cm，∴FC＝BC－BF＝8－3＝5（cm）．

（2）∵∠A＝75°

，∴∠ACB＝180°

－∠A－∠B＝180°

－75°

－65°

＝40°

∵△ABC≌△DFF，∴∠E＝∠ACB＝40°

解答本题的关键是正确理解和运用全等三角形的性质．

1．如图，△ACB≌△A'

CB'

，∠B'

CB＝30°

，则∠ACA'

的度数为（）

A．20°

B．30°

C．35°

D．40°

2．如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N间的距离．如果△PQO≌△NMO，那么只需测出其长度的线段是（）

A．POB．PQC．MOD．MQ

3．如图，若△OAD≌△OBC，且∠O＝65°

，∠C＝20°

，则∠OAD＝_______．

4．如图，△ABC≌△ADE'

，∠C＝∠E，AB＝AD，则另外两组对应边为______________，

另外两组对应角为_____________________．

5．已知△ABC≌△A'

B'

C'

．若△ABC的面积为10cm2，则△A'

C的面积为_______；

若△A'

的周长为16cm，则△ABC的周长为_______．

6．如图，△ABC≌△A1B1C1，且∠A＝110°

，∠B＝40°

，则∠C1＝_______．

7．如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°

形成的，若∠BAC＝150°

，则∠θ＝_______．

第3课时探索三角形全等的条件

（1）

1．经历探索三角形全等条件的过程，理解三角形全等必须具备三个条件．

2．理解“边角边”定理，学会用它来判定两个三角形全等．

阅读教材P13～P14内容，回答下列问题：

1．三角形全等的基本条件

从三角形的6个元素（3条边、3个角）中，任意选取3个元素，共有_______种情况、_______种不同的选法（如下框架图）．在其中的任意一种选法中，如果选取的3个元素对应相等，那么这两个三角形_______全等（填“一定”或“不一定”）．

2．三角形全等的条件——“边角边”

两_______及其_______分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“_______”）．

3．运用“边角边”判定两个三角形全等

（1）观察与发现：

在如图①与图②中，AB_______DE，∠B_______∠E，BC_______EF；

在如图①与图③中，AB_______DE，∠B_______∠E，BCEF；

在如图①与图④中，AB_______DE，∠B_______∠E，BC_______EF；

在如图①与图⑤中，AB_______DE，∠B_______∠E，BC_______EF（填“≠”或“＝”）．

（2）结论：

图_______与图_______中的两个三角形全等．

例如图，AB＝AC，点E、F分别是AB、AC的中点，求证：

△AFB≌△AEC．

提示：

要证明△AFB≌△AEC，已知一组边AB与AC对应相等，且根据图形不难得到它们具有公共的∠A，因此，还需要判断夹这个∠A的另一组边AF、AE是否对应相等，显然，已知点E、F分别是AB、AC的中点可使问题得以解决．

图中的公共边、公共角往往是证明两个三角形全等的重要隐含条件．

1．下列说法：

①有2条边对应相等的两个三角形全等；

②有两边和1个角对应相等的两个三角形全等；

③2条直角边对应相等的两个直角三角形全等；

④边长相等的2个等边三角形全等．其中正确的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

2．如图，如果AB＝AC，那么只要再知道∠_______＝∠_______，就可以根据“SAS”得到△ABD≌△ACD；

如果已知BD＝CD，那么只要再知道∠_______＝∠_______，就可以根据“SAS”得到△ABD≌△ACD．

3．如图，点E、C在线段BF上，BE＝CF，AC＝DF，∠ACB＝∠F．

求证：

△ABC≌△DEF．

4．如图，点E、F在AC上，AB∥CD，AB＝CD，AE＝CF．求证：

△ABF≌△CDE．

5．如图，点A、B、C在同一条直线上，BD⊥AC，垂足为B，点E在BD上，且AB＝BE，

BD＝BC．求证：

△ABD≌△EBC．

第4课时探索三角形全等的条件

（2）

预习目标

1．能够判定具备“边角边”条件的两个三角形全等，并能够运用变换的思想来观察两个全等的三角形．

2．能够结合具体问题和情境进行有条理的思考和简单的推理证明．

3．学会文字语言、符号语言和图形语言的表达和相互转化．

阅读教材P15～P16内容，回答下列问题：

1．

（1）如图①，△ABC∽△ADC，可以把△ABC沿着AC边_______得到△ADC．

（2）如图②，△AEC≌△BED，可以把△AEC绕点E_______得到△BED．

（3）如图③，△AEC≌△BFD，可以把△AEC先沿着EC边所在的直线_______，再绕点_______得到△BFD．

2．

（1）如图②，由△AEC≌△BED，根据全等三角形的性质，可知AC＝_______，∠A＝∠_______，则AC_______BD．

（2）如图③，由△AFC≌△BFD，根据全等三角形的性质，可知AE＝_______，∠AEC＝∠_______，则AE_______BF；

同理，可知AC＝_______，∠C＝∠_______测AC_______BD．

因此，要证明两条线段相等或两个角相等，可以将问题转化为证明它们所在的两个三角形全等．

例1如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．求证：

BC∥EF．

要证明BC∥EF，可以证明∠ACB＝∠DFE，因此可以证明△ABC≌△DEF．显然，根据所给的条件，可以运用“边角边”判定这两个三角形全等，使问题得以解决．

∵AF＝DC，∴AF＋FC＝DC＋CF，即AC＝DF．

在△ABC和△DEF中，

初学判定两个三角形全等时，我们必须将数学语言和图形语言结合起来，判断对应边、对应角是否相等，再运用三角形全等的条件加以判定．

例2如图，点E、A、C在同一条直线上，AB∥CD，AB＝CE，AC＝CD．求证：

BC＝ED．

观察图形可知，BC与ED分别是△BAC与△ECD的边，因此要证明BC＝ED，只需要证明△BAC≌△ECD．

要得到两条线段相等或两个角相等，证明它们所在的两个三角形全等是常见的解题策略．

1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，则_______≌_______．

2．如图，AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，则△ABC≌△_______，∠1＝∠_______．

3．如图，∠CAD＝∠BAE，AD＝AC，AE＝AB，则可以判定（）

A．△ADC≌△AFDB．△AFF≌△ABDC．△ABC≌△AEDD．以上答案都不对

4．如图，AC与BD交于点O，DO＝CO，AO＝BO，则图中全等三角形有（）

A．2对B．3对C．4对D．5对

5．如图，AC、BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．求证：

AD∥BC．

6．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以AB、AC为边向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，使∠BAD＝∠CAE＝90°

．求证：

BD＝CE．

7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°

，点D、E分别在BC、AC边上，

且AE＝CD，AD、BE相交于点F．

（1）求证：

△ABE≌△CAD．

（2）求∠BFD的度数．

第5课时探索三角形全等的条件（3）

1．经历探索三角形全等“角边角”条件的过程，体会通过操作、归纳获得数学结论的过程．

2．掌握三角形全等的“角边角”条件，能运用“角边角”判定两个三角形全等，并解决一些简单的实际问题．

3．能够结合具体问题和情境进行有条理的思考和简单的推理证明．

4．进一步学会文字语言、符号语言和图形语言的表达和相互转化．

教材导读

阅读教材P17～P18内容，回答下列问题：

1．用尺规作全等三角形

按下列作法，用直尺和圆规作△ABC，使AB＝a，∠A＝∠α，∠B＝∠β（自己动手做一做）．

操作、发现：

所作的三角形都是_______三角形．

2．三角形全等的条件——“角边角”

（1）两_______及其_______分别相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“______”）．

（2）观察如图所示的图形：

发现：

在图①与图②中，∠B_______∠E，BC_______EF，∠C_______∠F；

在图①与图③中，∠B_______∠E，BC_______EF，∠C_______∠F；

在图①与图④中，∠B_______∠E，BC_______EF，∠C_______∠F（填“≠”或“＝”）．

结论：

（2）如图，点A、C、B、D在同一条直线上，BE∥DF，∠A＝∠F，AB＝FD．

AE＝FC．

由平行线的性质可以得到两个角相等，从而可以运用“ASA”来证明线段AE'

、FC所在的两个三角形全等．

证明两条线段相等时，往往寻找它们所在的两个三角形全等．

例2如图，BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别是E、F，且BE＝CF．请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线，并证明你的结论．

可以通过证明△BDF≌△CDF来确定其为中线．

解答：

AD是△ABC的中线．证明如下：

本题考查同学们运用“ASA”证明两个三角形全等的能力，同时也培养了同学们对问题的探究能力．

1．如图，某同学不小心把一块三角形的玻璃打破成三块，现在他要到玻璃店去配一块形状和大小完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带上玻璃（）

A．①B．②C．③D．①和②

2．如图，∠1＝∠2＝90°

，AD＝AE，那么图中有_______对全等三角形．

3．如图，∠1＝∠2，∠ABC＝∠ABD．求证：

AC＝AD．

4．如图，点E、C在线段BF上，BE＝CF，AB∥DE，∠ACB＝∠F．求证：

5．如图，点B、F、C、E在同一条直线上，点A、D在BE的两侧，AB∥DE，AC∥DF，BF＝CE．求证：

AC＝DF．

6．如图，AB＝AC，AD平分∠BAC，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．

AE＝AD．

第6课时探索三角形全等的条件（4）

1．经历探索三角形全等“角角边”条件的过程，体会通过操作、归纳获得数学结论的过程．

2．掌握三角形全等的“角角边”条件，并能运用“角角边”判定两个三角形全等．

3．能够进一步结合具体问题和情境进行有条理的思考和简单的推理证明．

阅读教材P19～P20内容，回答下列问题：

1．三角形全等的条件——“角角边”

两_______分别相等且其中一组_______的对边相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“_______”）．

2．体验三角形全等的“角角边”条件

在如图①与图②中，∠B_______∠E，∠C_______∠F，AB_______DE；

在如图①与图③中，∠B_______∠E，∠C_______∠F，AB_______DE；

在如图①与图④中，∠B_______∠E，∠C_______∠F，AB_______DE（填“＝”或“≠”）．

（2）结论：

例1如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，∠A＝∠D，AC∥DF．

（1）△ABC≌△DEF．

（2）BE＝CF．

（1）根据已知条件，要证明△ABC∽△DEF，已经具备“AB＝DE，∠A＝∠D”，而由AC∥DF，可以得到∠ACB＝∠F，因此运用“AAS”证明△ABC≌△DEF．

（2）根据全等三角形的性质可知BC＝EF，即可推出BE＝CF．

（1）∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F．

本题考查运用“AAS”证明两个三角形全等，并运用全等三角形的性质确定对应边的相等关系．

例2如图，在△ABC中，∠ACB＝90°

，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．

DE＝AD－BE．

根据垂直的定义以及等量代换，可知∠CBE＝∠ACD，再由BE⊥CE，AD⊥CE得到

∠BEC＝∠CDA＝90°

，最后根据BC＝AC，运用“AAS”

可证得△BEC≌△CDA．根据全等三角形的对应边相等，可知CE＝AD，BE＝CD，从而证得

本题考查运用“AAS”证明两个三角形全等，并运用全等三角形的性质确定图中边与边之间的等量关系，渗透了转化的数学思想．

1．如图，已知△ABC的六个元素，下列甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的是（）

A．甲、乙B．甲、丙C．乙、丙D．乙

2．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，AC、BD交于点O，则下列结论正确的是（）

A．AB＝BC，CD＝ADB．BO＝DO，AO＝CO

C．AD＝BC，AC＝BDD．AB＝AD，AC＝BD

3．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则图中全等的三角形有_____________________．

4．如图，∠BAC＝∠ABD，请你添加一个条件：

_______，使OC＝OD（填一个即可）．

5．如图，AD∥BC，∠A＝90°

，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交射线AD与点E，连接BE，过点C作CF⊥BE，垂足为F．求证：

AB＝FC．

6．如图，AC、BD互相平分于点O，过点O的直线分别交AB、CD于点E、F，那么OE与OF相等吗？

第7课时探索三角形全等的条件（5）

1．进一步掌握“边角边”、“角边角”和“角角边”的判定条件，能够解决一些简单的问题．

2．能够结合具体问题和情境进行有条理的思考和简单的推理证明，会用∵……，∴……”或“

”的表述方式进行推理．

3．进一步掌握文字语言、符号语言和图形语言的表达和相互转化，

阅读教材P21～P22内容，回答下列问题：

1．用“∵……，∴……”的表述方式进行证明

已知：

如图（见课本21页图1-16），点A、B、C、D在同一条直线上，EA∥FB，EC∥FD，EA＝FB．求证：

AB＝CD．即AB＋BC＝CD＋BC．

证明：

∵EA∥FB，EC∥FD（已知），

∴∠A=_______，∠ECA=_______（两直线平行，同位角相等）．

在△EAC和△FBD中，

∴△EAC≌△FBD（AAS）．∴AC＝_______（______________），即AB+BC=CD+BC．

∴AB=CD（等式的性质）．

2．用符号“

”表述推理过程：

上面的推理过程可以用符号“

”简明地表述如下：

例1如图，∠E＝∠F，∠ECA＝∠FBD，EC＝FB．求证：

AB＝CD．

欲证明AB＝CD，可先证明AC＝DB．结合图形只要证明△EAC≌△FDB即可．

在△EAC和△FDB中，

本题是从结论出发，逆向求出使结论成立所需要的条件，再把这样的“条件”看成“结论”，一步一步逆求，直至归结为已知条件．这种“由未知（结论）想需知”的逆向推理，称为“分析法”．

例2　如图①，将一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图②所示），再将这两张三角形纸片按如图③所示摆放，使点B、F、C、D在同一条直线上．

AB⊥ED．

（2）若PB＝BC，请找出图③中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明．

本题是一道操作题，应注意在操作过程中的图形变换是全等变换，从而根据全等三角形的性质证明垂直．

（1）△ABC与△DEF是由一张长方形纸片沿对角线剪开而得到的

本题也可以用“∵……，∴……”的表述方式进行证明，

1．如图，在下列条件中，不能判定△ABD≌△ACD的是（）

A．∠BAD＝∠CAD，AB＝ACB．∠ADB＝∠ADC，BD＝CD

C．∠B＝∠C，∠BAD＝∠CADD．∠