动能定理的典型例题.docx

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动能定理的典型例题

高考专版——"动能定理〞的典型例题

【例1】质量为m=2kg的物体，在水平面上以v1=6m/s的速度匀速向西运动，假设有一个F=8N、方向向北的恒定力作用于物体，在t=2s物体的动能增加了[]

A．28JB．64JC．32JD．36JE．100J

【分析】物体原来在平衡力作用下西行，受向北的恒力F作用后将做类似于平抛的曲线运动（见图）．物体在向北方向上的加速度

2s后在向北方向上的速度分量

故2s后物体的合速度

所以物体在2s增加的动能为

也可以根据力对物体做动能定理来计算．由于在这个过程中，可以看作物体只受外力F作用，在这个力方向上的位移

外力F对物体做的功

W=Fs=8×8J=64J，

故物体动能的增加

【答】B．

【说明】由上述计算可知，动能定理在曲线运动中同样适用，而且十分简捷．

有的学生认为，物体在向西方向上不受外力，保持原动运能不变，向北方向上受到外力后，向北方向上的动能增加了

即整个物体的动能增加了64J，应选B．

必须注意，这种看法是错误的．动能是一个标量（不同于动量），不能分解．外力对物体做功引起物体动能的变化，是对整个物体而言的，它没有分量式（不同于物体在某方向上不受外力，该方向上动量守恒的分量式）．上述计算结果的巧合是由于v2与v1互成90°角的缘故．

【例2】一个物体从斜面上高h处由静止滑下并紧接着在水平面上滑行一段距离后停顿，量得停顿处对开场运动处的水平距离为s（见图），不考虑物体滑至斜面底端的碰撞作用，并认为斜面与水平面对物体的动摩擦因数一样，求摩擦因数μ．

【分析】以物体为研究对象，它从静止开场运动，最后又静止在平面上，整个过程中物体的动能没有变化，即Ek2=Ek1=0．可以根据全过程中功与物体动能的变化上找出联系．

【解】物体沿斜面下滑时，重力和摩擦力对物体做功（支持力不做功），设斜面倾角为α，斜坡长L，那么重力和摩擦力的功分别为

WG=mgsinαL，

Wf1=-μmgcosαL．

在平面上滑行时仅有摩擦力做功（重力和支持力不做功），设平面上滑行距离为s2，那么

Wf2=-μmgs2．

整个运动过程中所有外力的功为

W=WG+Wf1+Wf2，

=mgsinαL-μumgcosαL-μmgs2．

根据动能定理，

W=Ek2-Ek1，

式中s1为斜面底端与物体初位置间水平距离，故

【说明】此题也可运用牛顿第二定律结合运动学公式求解．物体沿斜面下滑时的加速度

物体在平面上滑行时的加速度

比拟这两种解法，可以看到，应用动能定理求解时，只需考虑始末运动状态，无需关注运动过程中的细节变化（如从斜面到平面的运动情况的变化），显得更为简捷．

此题也为我们提供了一种测定动摩擦因数的方法．

厢所受阻力不变，对车厢的牵引力应增加[]

A．1×103NB．2×103N

C．4×103ND．条件缺乏，无法判断

【分析】矿砂落入车厢后，受到车厢板摩擦力f的作用，使它做加

速运动，经时间△t后矿砂的速度到达车厢的速度v=2m/s,这段时间矿砂的位移

因此选△t落下的矿砂△m为研究对象，以将接角车箱板和到达速度v=2m/s两时刻为始末两状态时，动能增量

由功与动能变化的关系得

在这过程中，车厢板同时受到矿砂的反作用f′，其大小也为4×103N，方向与原运动方向相反，所以，为保持车厢的匀速运动需增加的牵引力为

【答】C．

【说明】常有人误认为矿砂落入车厢，矿砂的位移就是车厢的位移s=vt，于是得车厢应增加的牵引力大小为

这是不正确的，因为在矿砂将接触车厢板到两者以共同速度v=2m/s运动的过程中，车厢和矿砂做两种不同的运动，矿砂的速度小于车厢的速度，它们之间才存在着因相对滑动而出现的滑动摩擦力．也正是由于滑动摩擦力的存在，车厢所增加的牵引力做的功并没有完全转化为矿砂的动能，其中有一局部消耗在抑制摩擦做功而转化为热能．

!

iedt**（`stylebkzd',`1107P02.htm'）【例4】一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ提升井中质量为m为物体，如图a所示．绳的P端拴在车后的挂钩上，Q端拴在物体上．设绳的总长不变、绳的质量、定滑轮的质量和尺寸，滑轮上的摩擦都忽略不计．开场时，车在A点，左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的，左侧绳绳长为H．提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A经过B驶向C．设A到B的距离也为H．车过B点时的速度为vB．求在车由A移到B的过程中，绳Q端的拉力对物体做的功．

【分析】汽车从A到B把物体提升的过程中，物体只受到拉力和重力的作用，根据物体速度的变化和上升高度，由动能定理即得．

【解】以物体为研究对象，开场时其动能Ek1=0．随着车的加速拖动，重物上升，同时速度也不断增加．当车子运动到B点时，重物获得一定的上升速度vQ，这个速度也就是收绳的速度，它等于车速沿绳子方向的一个分量（图b），即

于是重物的动能增为

在这个提升过程中，重物受到绳中拉力T、重力mg．物体上升的高度和重力的功分别为

于是由动能定理得

即

所以绳子拉力对物体做的功

【说明】必须注意，速度分解跟力的分解一样，两个分速度的方向应该根据运动的实际效果确定．车子向左运动时，绳端（P）除了有沿绳子方向的运动趋势外（每一瞬间绳处于紧的状态），还参予了绕O点的转动运动（绳与竖直方向间夹角不断变化），因此还应该有一个绕O点转动的速度，这个速度垂直于绳长方向．所以车子运动到B点时的速度分解图应如图6所示，由此得拉绳的速度Vb1（即提升重物的速度vQ）与车速vB的关系为

【例5】在平直公路上，汽车由静止开场作匀速运动，当速度到达vm后立即关闭发动机直到停顿，v-t图像如以下图．设汽车的牵引力为F，摩擦力为f，全过程中牵引力做功W1，抑制摩擦力做功W2，那么[]

A．F：

f=1：

3B．F：

f=4：

1

C．W1：

W2=1：

1D．W1：

W2=1：

3

【分析】在t=0～1s，汽车在牵引力F和摩擦力f共同作用下作匀加速运动，设加速度为a1．由牛顿第二定律

F-f=ma1．

在t=l～4s，汽车仅受摩擦力作用作匀减速滑行，设加速度为a2，那么

-f=ma2．

由于两过程中加速度大小之比为

在前、后两过程中，根据合力的动能定理可知，

∴WF=Wf1+Wf2=Wf。

即全过程中牵引力做功〔W1=WF〕和汽车抑制摩擦力做功〔W2=Wf〕相等．

【答】B．C．

【说明】为了比拟两个功的关系，还可以从全过程考虑：

因为汽车在始、末两状态都处于静止，那么EK=0，所以整个过程中各个力做功之和W=0，于是立即可得W1=Wf〔即W1=W2〕．

这种从全过程上考虑的方法，是动能定理的一个应用特点，尤其在EK=0的情况，往往更为简捷，请加以体会．

【例6】质量为m的小球被系在轻绳一端，在竖直平面作半径为R的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用．设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的力为7mg，此后小球继续作圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，那么在此过程中小球抑制空气阻力所做的功为[]

【分析】设小球通过最低点A的速度为v1，绳子力T1=7mg．在最低点时，由绳子力和小球重力的合力提供向心力，

设小球恰通过最高点的速度为v2，此时绳子力T2=0，正好由小球重力提供向心力，即

小球由最低点运动到最高点B过程中，小球重力和空气阻力都对小球做负功，根据力对小球做的动能定理，由

【答】C．

【例7】在光滑水平面上有一静止的物体．现以水平恒力甲推这一物体，作用一段时间后，换成相反方向的水平恒力乙推这一物体．当恒力乙作用时间与恒力甲作用时间一样时，物体恰好回到原处，此时物体的动能为32J．那么在整个过程中，恒力甲做的功和恒力乙做的功各等于多少"

【分析】物体先作匀加速运动，后作匀减速运动回到原处，整个过程中的位移为零．根据牛顿第二定律和运动学公式即可确定两个力的大小关系，然后对全过程中应用动能定理即可得解．或者根据两个力作用时间一样、两个过程中的位移大小相等，由平均速度的大小相等找出两者末速度的关系，即可得解．

【解】方法1物体从静止起受水平恒力F甲作用，做匀加速运动，经一段时间t后的速度为

间t后回到原处．整个时间物体的位移为零．

设在F甲作用下物体的位移为s，对全过程由动能定理得

所以，恒力甲和乙做的功分别为

方法2设恒力F甲作用时间t，使物体通过位移s后的速度为v1，恒力F乙物体回到原点的速度为v2，作用时间也是t．前、后两段一样时间t的位移大小相等，由

得v2=2v1，

Ek2=32J，故Ek1=8J．

根据动能定理可知，恒力F甲和F乙做的功分别为

W甲=Ek1=8J，

W乙=Ek1=32J－8J=24J．

【说明】此题可以利用v-t图，更直观地得到启发，设F甲作用时间t后物体的速度为v1，这就是匀加速运动的末速度．接着在F乙作用下物体作匀减速运动，物体先按原方向运动，设经时间t0后速度减小为零，然后反向运动．因此，物体运动过程的v-t图如以下图．

物体回到原点，意味着图线上下方与t轴间的面积相等．设甲、乙两力作用时的加速度大小分别为a1、a2那么

v1=a1t，v2=a2〔t2-t0〕，

联立〔1〕、〔2〕两式得

所以两力做功之比

【例8】如以下图，轻质长绳水平地跨在相距2L的两个小定滑轮A、B上，质量为m的物块悬挂在绳上O点，O与A、B两滑轮的距离相等．在轻绳两端C、D分别施加竖直向下的恒力F=mg，先托住物块、使绳处于水平拉直状态，然后静止释放物块，在物块下落过程中，保持C、D两端的拉力F不变．

〔1〕当物块下落距离h为多大时，物块的加速度为零.

〔2〕在物块下落上述距离的过程中，抑制C端恒力F做功W为多少.

〔3〕求物块下落过程中的最大速度vm和最大距离H．

【分析】下落至加速度为零时，AO、BO两绳的合力应等于重力mg，此时∠AOB=120°，于是即可算出下落距离和C、D两端上升距离，抑制C端恒力的功即可求出．

在物块的下落过程中，AO、BO两绳中拉力不断变化．开场时，其重力大于两绳拉力的合力，物块加速下落，速度增大；当重力等于两绳拉力的合力时，下落加速度为零，速度达最大值vm；以后，重力小于两绳拉力的合力，物块减速下落，直至v=0时，达下落的最大距离H．由于物块作的是变加速运动，所以必须根据动能定理才可求出最大距离．

【解】〔1〕物块下落时受到三个力的作用：

重力mg、绳AO、BO的拉力F．当绳拉力的向上合力R等于重力mg时，物块下落的加速度为零．由于F恒为mg、所以a=0时，三力互成120°夹角．如以下图，于是，由图可知，下落距离

〔2〕物块下落h时，C、D两端上升距离

所以物块抑制C端恒力F做功

〔3〕由上面的分析可知，物块下落h时的速度就是最大速度．根据动能定理

得最大速度

当物块下落最大距离H时，C、D两端上升的距离为

同理，由

mgH-2Fh″=0,

【例9】质量为m的物体A以速度v0在平台上运动，滑到与平台等高、质量为M的静止小车B上．小车B在光滑水平地面上，物体A与B之间动摩擦因数为μ．不计A的体积，为使A在小车B上不致滑出，试问小车B的长度L至少为多少〔见图〕.

【分析】A滑上B后，A受到B的摩擦力作匀减速运动，速度逐渐减小；B受到A的摩擦力而作匀加速运动，速度逐渐增大．如A滑到B的最右端时，两者刚好速度一样，处于相对静止，A就不致从B上滑出．

把物体A、B作为一个系统，它们之间的相互作用力就是力，系统在水平方向不受外力，动量守恒．根据动量守恒算出两者相对静止时的速度后，便可隔离两物体，分别从牛顿第二定律、动量定理或动能定理这几条线索去考虑．

【解】设物体A、B相对静止时的共同速度为v，由于A、B在相互作用的过程水平方向不受外力，动量守恒．那么有

设在这段过程中小车的位移为s，那么物体A的位移为s+L〔见图〕，可以由多种方法