中考第一轮复习第24讲《圆的有关性质》专题训练含答案.docx

中考第一轮复习第24讲《圆的有关性质》专题训练含答案.docx

《中考第一轮复习第24讲《圆的有关性质》专题训练含答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考第一轮复习第24讲《圆的有关性质》专题训练含答案.docx（18页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

中考第一轮复习第24讲《圆的有关性质》专题训练含答案

第七单元　圆

第24讲　圆的有关性质

纲要求

命题趋势

1．理解圆的有关概念和性质，了解圆心角、弧、弦之间的关系．

2．了解圆心角与圆周角及其所对弧的关系，掌握垂径定理及推论.

　　中考主要考查圆的有关概念和性质，与垂径定理有关的计算，与圆有关的角的性质及其应用．题型以选择题、填空题为主.

知识梳理

一、圆的有关概念及其对称性

1．圆的定义

（1）圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形．这个定点叫做________，定长叫做________；

（2）平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形叫做圆，定点叫做圆心，定点与动点的连线段叫做半径．

2．圆的有关概念

（1）连接圆上任意两点的________叫做弦；

（2）圆上任意两点间的________叫做圆弧，简称弧．

（3）________相等的两个圆是等圆．

（4）在同圆或等圆中，能够互相________的弧叫做等弧．

3．圆的对称性

（1）圆的轴对称性：

圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；

（2）圆的中心对称性：

圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；

（3）圆是旋转对称图形：

圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合．这就是圆的旋转不变性．

二、垂径定理及推论

1．垂径定理

垂直于弦的

直径________这条弦，并且________弦所对的两条弧．

2．推论1

（1）平分弦（________）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过________，并且平分弦所对的________弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．

3．推论2

圆的两条平行弦所夹的弧________．

4．

（1）过圆心；

（2）平分弦（不是直径）；（3）垂直于弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧．若一条直线具备这五项中任意两项，则必具备另外三项．

三、圆心角、弧、弦之间的关系

1．定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧________，所对的弦________．

2．推论

同圆或等圆中：

（1）两个圆心角相等；

（2）两条弧相等；（3）两条弦相等．三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立．

四、圆心角与圆周角

1．定义

顶点在________上的角叫做圆心角；顶点在________上，角的两边和圆都________的角叫做圆周角．

2．性质

（1）圆心角的度数等于它所对的______的度数．

（2）一条弧所对的圆周角的度数等于它所对________的度数的一半．

（3）同弧或等弧所对的圆周角________，同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧________．

（4）半圆（或直径）所对的圆周角是______，90°的圆周角所对的弦是________．

五、圆内接四边形的性质

圆内接四边形的对角互补．

自主测

试

1．如图，⊙O的弦AB

垂直平分半径OC，若AB＝

，则⊙O的半径为（　　）

A．

B．2

2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝60°，若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为（　　）

5．如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M，N两点，若点M的坐标是（－4，－2），则弦MN的长为__________．

（第5题图）

考点一、垂径定理及推论

【例1】在圆柱形油槽内装有一些油．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为（　　）

A．6分米B．8分米

C．10分米D．12分米

分析：

如图

，油面AB上升1分米得

到油面CD，依题意得AB＝6，CD＝8，过O点作

AB的垂线，垂足为E，交CD于F点，连接OA，OC，由垂径定理，得AE＝

AB＝3，CF＝

CD＝4，设OE＝x，则OF＝x－1，在Rt△OAE中，OA2＝AE2＋OE2，在Rt△OCF中，OC2＝CF2＋OF2，由OA＝OC，列方程求x即可求得半径OA，得出直径MN.

解析：

如图

，依题意得AB＝6，CD＝8，过O点作AB的垂线，垂足为E，交CD于F点，连接OA，OC，

由垂径定理，得AE＝

AB＝3，CF＝

CD＝4，

设

OE＝x，则OF＝x－1，

在Rt△OAE中，OA2＝AE2＋OE2，

在Rt△OCF中，OC2＝CF2＋OF2，

∵OA＝OC，∴32＋x2＝42＋（x－1）2，解得x＝4，∴半径OA＝

＝5，∴直径MN＝2OA＝10（分米）．故选C.

答案：

C

方法总结有关弦长、弦心距与半径的计算，常作垂直于弦的直径，利用垂径定理和解直角三角形来达到求解的目的．

触类旁通1如图所示，若⊙O的半径为13cm，点P是弦AB上一动点，且到圆心的最短距离为5cm，则弦AB的长为__________cm.

考点二、圆心（周）角、弧、弦之间的关系

【例2】如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD，AD.

（1）求证：

DB平分∠ADC；

（2）若BE＝3，ED＝6，求AB的长．

解：

（1）证明：

∵AB＝BC，

∴

.∴∠ADB＝∠BDC，

∴DB平分∠ADC

.

（2）由

（1）知

，∴∠BAE＝∠ADB.

∵∠ABE＝∠ABD，∴△ABE∽△DBA.∴

＝

.

∵BE＝3，ED＝6，∴BD＝9.

∴AB2＝BE·BD＝3×9＝27.∴AB＝3

.

方法总结圆心角、弧、弦之间的关系定理，提供了从圆心角到弧到弦的转化方式，为我们证明角相等、线段相等和弧相等提供了新思路，解题时要根据具体条件灵活选择应用．

触类旁通2如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠C＝40°，则∠ABD的度数为（　　）

A．40°B．50°

C．80°D．90°

考点三、圆周角定理及推论

【例3】如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD＝（　　）

A．116°B．32

°

C．58°D．64°

解析：

根据圆周角定理求得，∠AOD＝2∠ABD＝116°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∠BOD＝2∠BCD（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；根据平角是180°知∠BOD＝180°－∠AOD.还有一种解法，即利用直径所对的圆周角等于90°，可得∠ADB＝90°，则∠DAB＝90°－∠ABD＝32°，∵∠DAB＝∠DCB，∴∠DCB＝32°.

答案：

B

方法总结求圆中角的度数时，通常要利用圆周角与圆心角或

圆心角与弧之间的关系．

触类旁通3如图，点A，B，C，D都在⊙O上，

的度数等于84°，CA是∠OCD的平分线，则∠ABD＋∠CAO＝__________.

A．CM＝DMB．

C．∠ACD＝∠ADCD．OM＝MD

3．（2012浙江湖州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C＝50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是（　　）

（第3题图）

A．45°B．85°C．90°D．95°

4．（2012浙江衢州）工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为__________mm.

7．（2012湖南长沙）如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC＝∠APC＝60°.

（1）求证：

△ABC是等边三角形；

（2）求圆心O到BC的距离OD.

1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，那么线段OE的长为（　　）

A．5B．4

C．3D．2

2．如图，直径为10的⊙A经过点C（0,5）和点O（0,0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为（　　）

A．

B．

C．

D．

3．一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB＝10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是（　　）

A．16　　　　　B．10

C．8D．6

4．如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA，OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆

周上，读得刻度OE＝8个单位，OF＝6个单位，则圆的直径为（　　）

（第4题图）

A．12个单位B．10个单位

C．4个单位D．15个单位

5．已知如图，在圆内接四边形ABCD中，∠B＝30°，则∠D＝__________.

（第5题图）

6．如图，过A，C，D三点的圆的圆心为E，过B，F，E三点的圆的圆心为D，如果∠A＝63°，那么∠DBE＝__________.

（第6题图）

7．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC＝5，DC＝3，AB＝4

，则⊙O的直径等于________．

（第7题图）

8．如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA外角的平分线，F为弧AD上一点，BC＝AF，延长DF与BA的延长线交于点E.求证：

（1）△ABD为等腰三角形；

（2）AC·AF＝DF·FE.

参考答案

导学必备知识

自主测试

1．A　2．D　3．60°　4．90°

5．3　如图，过点A作AB⊥MN，连接AM，

设MB为x，则AM＝AO＝4－x.

在Rt△AMB中，

∵AM2＝

MB2＋AB2，

∴（4－x）2＝x2＋22，解得x＝

.

∴MN＝2MB＝3.

探究考点方法

触类旁通1．24　连接OA，当OP⊥AB时，OP最短，此时OP＝5cm，且AB＝2AP.在Rt△AOP中，AP＝

＝

＝12，所以AB＝24cm.

触类旁通2．B　由题意，得∠A＝∠C＝40°，由直径所对的圆周角是直角，得∠ADB＝90°，根据直角三角形两锐角互余或三角形内角和定理得∠A＋∠ABD＝90°，从而得∠ABD＝50°.

触类旁通3．48°　因为

的度数等于84°，所以∠COD＝84°.因为OC＝OD，所以∠OCD＝48°.因为CA是∠OCD的平分线

，所以∠ACD＝∠ACO＝24°，因为OA＝OC，所以∠OAC＝∠ACO＝24°，因为∠ABD＝∠ACD＝24°，所以∠ABD＋∠CAO＝48°.

品鉴经典考题

1．A　∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠ACB＝45°.故选A.

2．D　∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，

∴M为CD的中点，即CM＝DM，选项A成立；

B为

的中点，即CB＝DB，选项B成立；

在△ACM和△ADM中，

∵AM＝AM，∠AMC＝∠AMD＝90°，CM＝DM，

∴△ACM≌△ADM（SAS），

∴∠ACD＝∠ADC，选项C成立；

而OM与MD不一定相等，选项D不成立．

故选D.

3．B　∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°.∵∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，∴∠ABD＝45°.∵∠C＝50°，∴∠D＝50°，∴∠BAD的度数是180°－45°－50°＝85°.

4．8　如图所示，在⊙O中，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB＝2AD.

∵钢珠的直径是10mm，

∴钢珠的半径是5mm.

∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，

∴OD＝3mm.

在Rt△AOD中，

∵AD＝

＝

＝4（mm）．

∴AB＝2AD＝2×4＝8（mm）．

故答案为8.

5．2　∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，AB＝2

，