安徽省部分市县学年高一上学期期末联考数学试题及答案.docx
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安徽省部分市县学年高一上学期期末联考数学试题及答案
安徽省部分市县2021-2022学年高一上学期期末联考数学试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、单选题
1．已知全集
，集合
，
，则
（）
A．
B．
C．
D．
2．函数
的定义域为（）
A．
B．
C．
D．
3．已知函数
（其中
）的最小正周期为
，则
（）
A．
B．
C．1D．
4．已知幂函数
的图象过点
，则下列说法中正确的是（）
A．
的定义域为
B．
的值域为
C．
为偶函数D．
为减函数
5．“
”是“
为第二象限角”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．
，
表示不超过
的最大整数，十八世纪，函数
被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”，则
（）
A．0B．1C．7D．8
7．设
，
，
，则
，
，
三者的大小关系是（）
A．
B．
C．
D．
8．我们知道，函数
的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数，有同学发现可以将其推广为：
函数
的图象关于点
成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数.据此，我们可以得到函数
图象的对称中心为（）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．下列函数中，与函数
相等的是（）
A．
B．
C．
D．
10．已知集合
，
是全集
的两个非空子集，如果
且
，那么下列说法中正确的有（）
A．
，有
B．
，使得
C．
，有
D．
，使得
11．已知
，
，且
，则下列说法中正确的是（）
A．
有最大值为
B．
有最小值为9
C．
有最小值为
D．
有最小值为3
12．设函数
（
，
为常数，
，
），若函数
在区间
上为单调函数，且
，则下列说法中正确的是（）
A．点
是函数
图象的一个对称中心
B．函数
的最小正周期为
C．直线
是函数
图象的一条对称轴
D．函数
的图象可由函数
向左平移
个单位长度得到
三、填空题
13．已知扇形的弧长为2cm，圆心角为1rad，则扇形的面积为______
.
14．若命题“
，
”为假命题，则实数
的取值范围为______.
15．若函数
在区间
上为增函数，则实数
的取值范围为______.
16．已知函数
，
，则函数
的最大值为______.
四、解答题
17．已知集合
，集合
（1）若“
”是“
”的充分条件，求实数
的取值范围；
（2）若
，求实数
的取值范围.
18．已知
，且
（1）求
的值；
（2）求
的值.
19．黄山市某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：
某珍稀水果树的单株产量
（单位：
千克）与施用肥料
（单位：
千克）满足关系：
.肥料成本投入为
元，其它成本投入（如培育管理，施肥等人工费）
元.已知这种水果的市场售价为15元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为
（单位：
元）.
（1）求
的函数关系式；
（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？
最大利润是多少？
20．已知函数
.
（1）求函数
的单调区间；
（2）若函数
在
有且仅有两个零点，求实数
的取值范围.
21．已知函数
是定义在
上的奇函数.
（1）求实数
的值；
（2）解关于
的不等式
；
（3）是否存在实数
，使得函数
在区间
上的取值范围是
？
若存在，求出实数
的取值范围；若不存在，请说明理由.
22．已知函数
，
.
（1）若函数
在
为增函数，求实数
的取值范围；
（2）若函数
为偶函数，且对于任意
，
，都有
成立，求实数
的取值范围.
参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
根据集合补集和交集运算方法计算即可.
【详解】
表示整数集Z里面去掉
这四个整数后构成的集合，
∴
.
故选：
C.
2．A
【解析】
【分析】
根据偶次方根的被开方数为非负数得到不等式，解得即可；
【详解】
解：
依题意可得
，即
，即
，解得
，即函数的定义域为
；
故选：
A
3．D
【解析】
【分析】
根据正弦型函数的最小正周期求ω，从而可求
的值.
【详解】
由题可知，
，
∴
.
故选：
D.
4．C
【解析】
【分析】
首先求出幂函数解析式，再根据幂函数的性质一一判断即可.
【详解】
解：
因为幂函数
的图象过点
，所以
，所以
，所以
，定义域为
，且
，即
为偶函数，因为
，所以
，所以
，故A错误，B错误，C正确，又
在
上单调递减，根据偶函数的对称性可得
在
上单调递增，故D错误；
故选：
C
5．B
【解析】
【分析】
利用辅助角公式及正弦函数的性质解三角形不等式，再根据集合的包含关系判断充分条件、必要条件即可；
【详解】
解：
由
，即
，所以
，
，解得
，
，即
，又第二象限角为
，因为
真包含于
，所以“
”是“
为第二象限角”的必要不充分条件；
故选：
B
6．D
【解析】
【分析】
根据函数的新定义求解即可.
【详解】
由题意可知
4－（－4）＝8.
故选：
D.
7．D
【解析】
【分析】
根据对数的运算变形
、
，再根据对数函数的性质判断即可；
【详解】
解：
，
，因为函数
在定义域上单调递增，且
，所以
，即
，
故选：
D
8．A
【解析】
【分析】
依题意设函数
图象的对称中心为
，则
为奇函数，再根据奇函数的性质得到方程组，解得即可；
【详解】
解：
依题意设函数
图象的对称中心为
，由此可得
为奇函数，由奇函数的性质可得
，解得
，则函数
图象的对称中心为
；
故选：
A
9．BD
【解析】
【分析】
根据指数、对数的运算性质及相等函数的定义判断即可；
【详解】
解：
函数
定义域为
，
对于A：
函数
定义域为
，但是
，故A错误；
对于B：
函数
，且定义域为
，故B正确；
对于C：
函数
定义域为
，故C错误；
对于D：
函数
，且定义域为
，故D正确；
故选：
BD
10．BC
【解析】
【分析】
根据
且
确定正确选项.
【详解】
由于
是全集
的非空子集，
且
，
所以
是
的真子集，
所以
，使得
、
，有
，即BC选项正确.
故选：
BC
11．ABD
【解析】
【分析】
直接利用基本不等式，可求得
的最大值，判断A;将
变为
，利用基本不等式求得其最小值，判断B;将
代入
，利用二次函数知识可判断C,将
代入
，利用基本不等式可判断D.
【详解】
由
，
，且
，可知
，即
，
当且仅当
时取等号，故A正确；
，
当且仅当
即
时取等号，故B正确；
由
，
，且
，可知
，故
，
当
时，
取得最小值为
，故C错误；
，当且仅当
，即
时取等号，
故D正确，
故选：
ABD
12．ACD
【解析】
【分析】
根据
在区间
上的单调性以及
，求得
的对称中心、对称轴、最小正周期，再三角函数图象变换的知识确定正确选项.
【详解】
由于函数
在区间
上为单调函数，所以
，B选项错误.
由于
，所以
是
的零点，所以A选项正确.
是
的一条对称轴，
所以
.
，
所以
是
的一条对称轴，所以C选项正确.
，
，
，
所以
，所以
，
向左平移
个单位长度得
，所以D选项正确.
故选：
ACD
13．2
【解析】
【分析】
首先由扇形的弧长与圆心角求出扇形的半径，再根据扇形的面积公式计算可得；
【详解】
解：
因为扇形的弧长为2cm，圆心角为1rad，所以扇形的半径
cm，所以扇形的面积
；
故答案为：
14．
【解析】
【分析】
命题为假命题时，二次方程无实数解，据此可求a的范围.
【详解】
若命题“
，
”为假命题，则一元二次方程
无实数解，
∴
.
∴a的取值范围是：
.
故答案为：
.
15．
【解析】
【分析】
由复合函数的同增异减性质判断得
在
上单调递减，再结合对称轴和区间边界值建立不等式即可求解.
【详解】
由复合函数的同增异减性质可得，
在
上严格单调递减，
二次函数开口向上，对称轴为
所以
，即
故答案为：
16．
##
【解析】
【分析】
根据分段函数的定义，化简后分别求每段上函数的最值，比较即可得出函数最大值.
【详解】
当
时，即
或
，
解得
或
，
此时
，
当
时，即
时，
，
综上，当
时，
，
故答案为：
17．
（1）
；
（2）
.
【解析】
【分析】
（1）由已知可得
，可得出关于实数
的不等式组，由此可解得实数
的取值范围；
（2）分
、
两种情况讨论，根据
可得出关于实数
的不等式（组），综合可得出实数
的取值范围.
（1）
解：
由已知得
，故有
，解得
，故
的取值范围为
.
（2）
解：
当
时，则
，解得
；
当
时，则
或
，解得
.
∴
的取值范围为
.
18．
（1）7
（2）
【解析】
【分析】
（1）根据题意求得
，然后利用两角和的正切公式即可得出答案；
（2）利用诱导公式及二倍角的余弦公式，结合平方关系化弦为切计算即可得解.
（1）
解：
由已知得，
或
，
∴
或
，
又∵
，∴
或
，
又∵
，∴
，∴
，
∴
；
（2）
解：
.
19．
（1）
（2）当施用肥料为5千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是750元
【解析】
【分析】
（1）用销售收入减去成本求得
的函数关系式.
（2）结合二次函数的性质、基本不等式来求得最大利润以及此时对应的施肥量.
（1）
由已知得：
故
.
（2）
若
，则
此时，对称轴为
，故
有最大值为
.
若
，则
当且仅当
，即
时等号成立,
此时，
有最大值为
综上有，
有最大值为750,
∴当施用肥料为5千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是750元.
20．
（1）单调递增区间为
，单调递减区间为
（2）
【解析】
【分析】
（1）先由三角恒等变换化简解析式，再由正弦函数的性质得出单调区间；
（2）由
的单调性结合零点的定义求出实数
的取值范围.
（1）
由
得
故函数
的单调递增区间为
.
由
得
故函数
的单调递减区间为
（2）
由
（1）可知，
在
上为增函数，在
上为减函数
由题意可知：
，即
，
解得
，故实数
的取值范围为
.
21．
（1）1
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】
（1）根据
求解并检验即可；
（2）先证明函数单调性得
在
上为增函数，再根据奇偶性与单调性解不等式即可；
（3）根据题意，将问题方程
有两个不相等的实数根，再利用换元法，结合二次方程根的关系求解即可.
（1）
解：
因为
是定义在
上的奇函数，
所以
，即
，得
.
此时
，
，满足.
所以
（2）
解：
由
（1）知，
，
且
，则
.
∵
，∴
，
，
∴
，即
，故
在
上为增函数
∴原不等式可化为
，即
∴
，
∴
∴
，
∴原不等式的解集为
（3）
解：
设存在实数
，使得函数
在区间
上的取值范围是
，
则
，即
，
∴方程
，即
有两个不相等的实数根
∴方程
有两个不相等的实数根
令
，则
，故方程
有两个不相等的正根
故
，解得
∴存在实数
，使得函数
在区间
上的取值范围是
，
其中
的取值范围为
.
22．
（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）利用定义法证明函数的单调性，依题意可得
，即
，参变分离可得
对
恒成立，再根据指数函数的性质计算可得；
（2）由函数
为偶函数，得到
，即可求出
的值，从而得到
的解析式，再利用基本不等式得到
，依题意，可得
对任意
恒成立，即
对任意
恒成立，①由
有意义，求得
；②由
，得
，即可得到
对任意
恒成立，从而求出
，从而求出参数
的取值范围；
（1）
解：
设
，且
，
则
∵函数
在
上为增函数，
∴
恒成立
又∵
，∴
，
∴
恒成立，即
对
恒成立
当
时，
的取值范围为
，
故
，即实数
取值范围为
.
（2）
解：
∵
为偶函数，∴
对任意
都成立，
又
∵上式对任意
都成立，
∴
，∴
，
∴
，当且仅当
时等号成立，
∴
的最小值为0，
∴由题意，可得
对任意
恒成立，
∴
对任意
恒成立
①由
有意义，得
在
恒成立，
得
在
恒成立，
又
在
上的值域为
，
故
②由
，得
，得
，
得
，得
，得
，
∴
对任意
恒成立，
又∵
在
的最大值为
，
∴
，
由①②得，实数
的取值范围为
.
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