高中数学第二章点直线平面之间的位置关系章末复习课学案新人教A版必修2Word下载.docx

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（1）直线与平面垂直

a⊥b，b⊂α（b为α内的任意直线）

a⊥α

a⊥m，a⊥n，m、n⊂α，m∩n＝O

a∥b，a⊥α

b⊥α

a⊥α，b⊂α

a⊥b

a⊥α，b⊥α

（2）平面与平面垂直的判定与性质定理

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判定定理

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直

⇒α⊥β

性质定理

如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面

⇒l⊥α

（3）空间中的垂直关系的内在联系．

5．空间角

（1）异面直线所成的角

①定义：

设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角（或夹角）．

②范围：

设两异面直线所成角为θ，则0°

<

θ≤90°

.

（2）直线和平面所成的角

①平面的一条斜线与它在平面内的射影所成的锐角叫做这条直线与这个平面所成的角．

②当直线与平面垂直和平行（或直线在平面内）时，规定直线和平面所成的角分别为90°

和0°

（3）二面角的有关概念

①二面角：

从一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．

②二面角的平面角：

以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.

类型一　几何中共点、共线、共面问题

例1　如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.

求证：

（1）E、F、G、H四点共面；

（2）GE与HF的交点在直线AC上．

证明　

（1）∵BG∶GC＝DH∶HC，

∴GH∥BD，又EF∥BD，∴EF∥GH，

∴E、F、G、H四点共面

．

（2）∵G、H不是BC、CD的中点，∴EF≠GH.

又EF∥GH，∴EG与FH不平行，

则必相交，设交点为M.

⇒M∈面ABC且M∈面ACD

⇒M在面ABC与面ACD的交线上，

又面ABC∩面ACD＝AC⇒M∈AC.

∴GE与HF的交点在直线AC上．

反思与感悟　1.证明共面问题

证明共面问题，一般有两种证法：

一是由某些元素确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内；

二是分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合．

2．证明三点共线问题

证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证明第三个点是两个平面的公共点，当然必在两个平面的交线上．

3．证明三线共点问题

证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题．

跟踪训练1　如图，O是正方体ABCD－A1B1C1D1上底面ABCD的中心，M是正方体对角线AC1和截面A1BD的交点．求证：

O、M、A1三点共线．

证明　∵O∈AC，AC⊂平面ACC1A1，

∴O∈平面ACC1A1.

∵M∈AC1，AC1⊂平面ACC1A1，

∴M∈平面ACC1A1.

又已知A1∈平面ACC1A1，

即有O、M、A1三点都在平面ACC1A1上，又O、M、A1三点都在平面A1BD上，所以O、M、A1三点都在平面ACC1A1与平面A1BD的交线上，

所以O、M、A1三点共线．

类型二　空间中的平行关系

例2　如图，E、F、G、H分别

是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，

（1）GE∥平面BB1D1D；

（2）平面BDF∥平面B1D1H.

证明　

（1）如图，取B1D1中点O，

连接GO，OB，

易证OG綊

B1C1，

BE綊

∴OG綊BE，四边形BEGO为平行四边形．

∴OB∥GE.

∵OB⊂平面

BDD1B1，

GE⊄平面BDD1B1，

∴GE∥平面BDD1B1.

（2）由正方体性质得B1D1∥BD，

∵B1D1⊄平面BDF，BD⊂平面BDF，

∴B1D1∥平面BDF.

连接HB，D1F，

易证HBFD1是平行四边形，得HD1∥BF.

∵HD1⊄平面BDF，BF⊂平面BDF，

∴HD1

∥平面BDF.

∵B1D1∩HD1＝D1，

∴平面BDF∥平面B1D1H.

反思与感悟　1.判断线面平行的两种常用方法

面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法：

（1）利用线面平行的判定定理．

（2）利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面．

2．判断面面平行的常用方法

（1）利用面面平行的判定定理．

（2）面面平行的传递性（α∥β，β∥γ⇒α∥γ）；

（3）利用线面垂直的性质（l⊥α，l⊥β⇒α∥β）．

跟踪训练2　如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，求证：

平面DMN∥平面ABC.

证明　∵M、N分别是EA与EC的中点，∴MN∥AC，

又∵AC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，

∴MN∥平面ABC，

∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，

∴BD∥EC，

∵N为EC中点，EC＝2BD，∴NC綊BD，

∴四边形BCND为矩形，∴DN∥BC，

又∵DN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，

∴DN∥平面ABC，又∵MN∩DN＝N，

∴平面DMN∥平

面ABC.

类型三　空间中的垂直关系

例3　如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°

，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．

证明：

（1）CD⊥AE；

（2）PD⊥平面ABE.

证明　

（1）在四棱锥P—ABCD中，

∵PA⊥底面ABCD，

CD⊂平面ABCD，

∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，

∴CD⊥平面PAC.

而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.

（2）由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°

，

可得AC＝PA.

∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.

由

（1），知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，

∴AE⊥平面PCD.

而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.

∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.

又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，

∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，

∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，

∴PD⊥平面ABE.

反思与感悟　空间垂直关系的判定方法

（1）判定线线垂直的方法：

①计算所成的角为90°

（包括平面角和异

面直线所成的角）；

②线面垂直的性质（若a⊥α，b⊂α，则a⊥b）．

（2）判定线面垂直的方法：

①线面垂直定义（一般不易验证任意性）；

②线面垂直的判定定理（a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，b∩c＝M⇒a⊥α）；

③平行线垂直平面的传递性质（a∥b，b⊥α⇒a⊥α）；

④面面垂直的性质（α⊥β，α∩β＝l，a⊂β，a⊥l⇒a⊥α）；

⑤面面平行的性质（a⊥α，α∥β⇒a⊥β）；

⑥面面垂直的性质（α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ）．

（3）面面垂直的判定方法：

①根据定义（作两平面构成二面角的平面角，计算其为90°

）；

②面面垂直的判定定理（a⊥β，a⊂α⇒α⊥β）．

跟踪训练3　如图，A，B，C，D为空间四点．在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝

，等边△ADB以AB为轴运动．

（1）当平面ADB⊥平面ABC

时，求CD；

（2）当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？

证明你的结论．

解　

（1）如图，取AB的中点E，连接DE，CE，因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE，由已知可得DE＝

，EC＝1，在Rt△DEC中，CD＝

＝2.

（2）当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.

证明如下：

①当D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，

所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.

②当D不在平面ABC内时，由

（1）知AB⊥DE.

又因AC＝BC，所以AB⊥CE.又DE，CE为相交直线，所以AB⊥平面CDE，由CD⊂平面CDE，得AB⊥CD.

综上所述，总有AB⊥CD.

类型四　空间角问题

例4　如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°

（1）求PB和平面PAD所成的角的大小；

（2）证明：

AE⊥平面PCD；

（3）求二面角A—PD—C的正弦值．

（1）解　在四棱锥P—ABCD中，

因为PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，

故PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，

从而AB⊥平面PAD，

故PB在平面PAD内的射影为PA，

从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．

在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝45°

所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°

（2）证明　在四棱锥P—ABCD中，

因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，

故CD⊥PA.由条件CD⊥AC，PA∩AC＝A，

所以CD⊥平面PAC.

又AE⊂平面PAC，所以AE⊥CD.

由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°

，可得AC＝PA.

因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.

又PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.

（3）解　

过点E作EM⊥PD，垂足为M，连接AM，如图所示．

由

（2）知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，

则可证得AM⊥PD.

因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角．

由已知，可得∠CAD＝30°

设AC＝a，可得

PA＝a，AD＝

a，PD＝

a，AE＝

a.

在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，

∴AM·

PD＝PA·

AD，

则AM＝

＝

在

Rt△AEM中，sin∠AME＝

所以二面角A—PD—C的正弦值为

反思与感悟　1.求异面直线所成的角常用平移转化法（转化为相交直线的夹角）．

2．求直线与平面所成的角常用射影转化法（即作垂线、找射影）．

3．二面角的平面角的作法常有三种：

（1）定义法；

（2）垂线法；

（3）垂面法．

跟踪训练4　如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：

（1）AO与A′C′所成角的度数；

（2）AO与平面ABCD所成角的正切值；

（3）平面AOB与平面AOC所成角的度数．

解　

（1）∵A′C′∥AC，

∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.

∵AB⊥平面BC′，OC⊂平面BC′，

∴OC⊥AB，又OC⊥BO，AB∩BO＝B.

∴OC⊥平面ABO.又OA⊂平面ABO，

∴OC⊥OA.

在Rt△AOC中，OC＝

，AC＝

sin∠OAC＝

∴∠OAC＝30°

即AO与A′C′所成角的度数为30°

（2）如图，作OE⊥BC于E，

连接AE.

∵平面BC′⊥平面ABCD，

∴OE⊥平面ABCD，

∴∠OAE为OA与平面ABCD所成的角．

在Rt△OAE中，OE＝

，AE＝

∴tan∠OAE＝

即AO与平面ABCD所成角的正切值为

（3）∵OC⊥OA，OC⊥OB，OA∩OB＝O，

∴OC⊥平面AOB.

又∵OC⊂平面AOC，

∴平面AOB⊥平面AOC.

即平面AOB与平面AOC所成角的度数为90°

1．下列四个结论：

（1）两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行．

（2）两条直线没有公共点，则这两条直线平行．

（3）两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行．

（4）一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．

其中正确的个数为（　　）

A．0B．1C．2D．3

答案　A

解析　

（1）两条直线都和同一个平面平行，这两条直线三种位置关系都有可能；

（2）两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面；

（3）两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线三种位置关系都有可能；

（4）一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线也可在这个平面内．

2．设有不同的直线m、n和不同的平面α、β，下列四个命题中，正确的是（　　）

A．若m∥α，n∥α，则m∥n

B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β

C．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β

D．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α

答案　D

解析　选项A中当m∥α，n∥α时，m与n可以平行、相交、异面；

选项B中满足条件的α与β可以平行，也可以相交；

选项C中，当α⊥β

，m⊂α时，m与β可以垂直，也可以平行等．故选项A、B、C均不正确．

3．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，O是底面ABCD对角线的交点．

（1）C1O∥面AB1D1；

（2）A1C⊥面AB1D1.

证明　

（1）如图，连接A1C1，设A1C1∩B1D1＝O1，

连接AO1，

∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴A1ACC1是平行四边形，

∴A1C1∥AC且A1C1＝AC，

又O1，O分别是A1C1，AC的中点，∴O1C1∥AO且O1C1＝AO，

∴四边形AOC1O1是平行四边形，

∴C1O∥AO1，AO1⊂面AB1D1，C1O⊄面AB1D1，

∴C1O∥面AB1D1.

（2）∵CC1⊥面A1B1C1D1，

∴CC1⊥B1D1，

又∵A1C1⊥B1D1，∴B1D1⊥面A1C1CA，

即A1C⊥B1D1，同理可证A1C⊥AB1，

又B1D1∩AB1＝B1，∴A1C⊥面AB1D1.

4．如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点．

（1）证明：

△PBC是直角三角形．

（2）若PA＝AB＝2，且当直线PC与平面ABC所成角正切值为

时，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．

解　

（1）因为AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的一动点，所以BC⊥AC，

因为PA⊥平面ABC，所以BC⊥PA，

又PA

∩AC＝A，

所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，

所以△PBC是直角三角形．

（2）如图，过A作AH⊥PC于H，连接BH，

因为BC⊥平面PAC，

所以BC⊥AH，PC∩BC＝C，

所以AH⊥平面PBC，

所以∠ABH是直线AB与平面PBC所成角，

因为PA⊥平面ABC，

所以∠PCA即是PC与平面ABC所成角，

因为tan∠PCA＝

又PA＝2，所以AC＝

所以在Rt△PAC中，

AH＝

所以在Rt△ABH中，sin∠ABH＝

，即AB与平面PBC所成角的正弦值为

一、平行关系

1．平行问题的转化关系

2．直线与平面平行的主要判定方法

（2）判定定理；

（3）面与面平行的性质．

3．平面与平面平行的主要判定方法

（3）推论；

（4）a⊥α，a⊥β⇒α∥β.

二、垂直关系

1．空间中垂直关系的相互转化

2．判定线面垂直的常用方法

（1）利用线面垂直的判定定理．

（2）利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”．

（3）利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”．

（4）利用面面垂直的性质．

3．判定线线垂直的方法

（1）平面几何中证明线线垂直的方法．

（2）线面垂直的性质：

a⊥α，b⊂α⇒a⊥b.

（3）线面垂直的性质：

a⊥α，b∥α⇒a⊥b.

4．判断面面垂直的方法

（1）利用定义：

两个平面相交，所成的二面角是直二面角．

（2）判定定理：

a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.

三、空间角的求法

1．找异面直线所成角的三种方法

（1）利用图中已有的平行线平移．

（2）利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移．

（3）补形平移．

2．线面角：

求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足．通常是

解由斜线段、垂线段、斜

线在平面内的射影所组成的直角三角形．