皇后与女仆Word格式.docx
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数学，正像人们常说的那样，是训练思维的体操。
那么什么是数学思维或精密思维呢？
数学思维包括很多方面。
我想概括地和通俗地说，数学思维最基本的两大方面应该是“证”和“算”,“证”就是逻辑推理与演绎证明；
“算”就是算法构造与计算，二者对人类精密思维的发展都不可或缺。
对“算”大家可能比较容易感受。
我们在生活或工作中遇到问题常常会说需要“算一算”，数学家则更是追求解决问题的一般模式或者说一般算法。
从简单的三角形面积算法到描述各种自然和社会现象的复杂的方程的解算，定量化的方法已经渗透到各行各业。
这里主要说一说“证”。
从几条不言自明的公理出发，通过逻辑的链条，推导出成百上千条定理。
这种演绎论证的思维模式是古希腊欧几里得的《几何原本》（图1）首先开创树立的，其影响所及远远超出了数学乃至科学的领域，对人类社会的进步和发展有不可估量的作用。
举一个文科学生可能感兴趣的例子。
法国大革命形成两部基础文献《人权宣言》和《法国宪法》，是资产阶级民主革命思想的结晶。
《人权宣言》开宗明义说：
“组成国民议会的法国人民的代表们,…决定把自然的、不可剥夺的和神圣的人权阐明于庄严的宣言之中，以便…公民们今后以简单而无可争辩的原则为根据的那些要求能经常针对着宪法与全体幸福之维护。
”（图2）
而后来（1791年）公布的《法国宪法》又将《人权宣言》置于篇首作为整部宪法的出发点。
无独有偶，美国独立战争所产生的《独立宣言》开头也说（图3）：
“我们认为下述真理乃是不言而喻的：
人人生而平等，造物主赋予他们若干固有而不可让与的权利，其中包括生存权、自由权以及谋求幸福之权。
”
把大家认为“简单而无可争辩的原则”和“不言而喻的真理”作为出发点，按照数学的语言这就是从公理出发。
显然，领导法国大革命和美国独立战争的思想家、政治家们都接受了欧几里得数学思维的影响。
另外，有记载说美国南北战争时期的总统林肯“相信思维能力像肌肉一样也可以通过严格的锻炼而得到加强…”为此他想方设法搞到了一本欧几里得的《原本》并下决心亲自证明其中的一些定理，1860年他还自豪地报告说他已基本掌握了《原本》的前六卷”。
上述例子是很有代表性的，说明了数学公理化思维、逻辑论证思维对人类文化和社会进步的影响。
（二）数学是其它科学的工具和语言
关于这一点,很多数学家和非数学家都作过精辟的论述,所以请允许我在这里先来一点引经据典。
德国大数学家、号称“数学王子”的高斯（图4）有句名言：
“数学是科学的皇后”这句话几乎可以说家喻户晓，但许多人可能不知道，高斯跟这句话一起说了一段话，高斯这段原话的意思可以概括为两句话，“数学是科学的皇后，数学也是科学的女仆。
”
两句话，“数学是科学的皇后，数学也是科学的女仆.”我理解，前一句话突出数学是精密思维的典范，后一句则强调数学为其它科学服务，是其它科学的工具.非常形象和恰当地反映了数学的价值和作用.
（二）数学是其它科学的工具和语言（续）
高斯是数学家,我们再看看一些非数学家的观点。
德国哲学家康德曾经这样说道：
“我坚决认为，任何一门自然科学，只有当它数学化之后，才能称得上是真正的科学。
无产阶级革命家马克思也说过：
“一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步。
科学史上有大量的例子可以印证高斯和马克思等的观点。
在20世纪初相对论的创立过程中，数学就建有奇功。
1907年，德国数学家闵可夫斯基（H.Minkowski,1864－1909）提出“闵可夫斯基空间”，为爱因斯坦狭义相对论提供了合适的数学模型。
有了闵可夫斯基时空模型后，爱因斯坦（图5）又进一步研究引力场理论以建立广义相对论。
1912年夏他已经概括出新的引力理论的基本物理原理，但为了实现广义相对论的目标，还必须寻求理论的数学结构，一个很重要的要求是使引力定律在一定的坐标变换下保持不变（即所谓协变）。
爱因斯坦为此徘徊徬徨了3年时间，最后在他的大学同学数学家格罗斯曼（M.Grossman）介绍下学习掌握了意大利数学家勒维-奇维塔等在黎曼几何基础上发展起来的绝对微分学，亦即爱因斯坦后来所称的张量分析，并很快发现这正是建立广义相对论引力理论的合适的数学工具。
在1915年11月25日发表的一篇论文中，爱因斯坦终于导出广义协变的引力方程
爱因斯坦指出，“由于这组方程，广义相对论作为一种逻辑结构终于大功告成。
”广义相对论这幢大厦现在可以盖上金顶了,而这个金顶依靠的恰恰是数学。
后来，在回顾这段历史时，爱因斯坦坦率地承认了他过去轻视数学是一个极大的错误，他反省道：
“在几年独立的科学研究之后，我才逐渐明白了在科学探索的过程中，通向更深入的道路是同最精密的数学方法联系在一起的。
”这是爱因斯坦自己的话。
是作为一个科学家的深切体会。
根据爱因斯坦的引力场方程从数学上推导出来的结论，有一些后来被实验证实了，例如光线在引力场中的弯曲行为（图6，1919年一次日全食过程中观察到的星光弯曲曾轰动世界）。
按照爱因斯坦理论空间是弯曲的，刚提到的方程中的未知量是度规张量，空间的形式是靠这个张量来描述的，一旦知道了空间的物质分布，从理论上就可解出这些度规张量，这个空间的形式也就知道了。
按照微分几何学，一般情况下解出的空间曲率是不等于零的，曲率不等于零表示空间有弯曲，但是空间弯曲的理论在爱因斯坦以前数学家们就已经创造出来了，那就是在19世纪初叶高斯和俄国数学家罗巴切夫斯基、匈牙利数学家波约等人创立并经黎曼等人发展的非欧几何学。
高斯曾称这种几何为“星空几何”，罗巴切夫斯基也坚信自己发现的新几何总有一天“可以像别的物理规律一样用实验来检验”，爱因斯坦的广义相对论恰恰揭示了非欧几何的现实意义，成为历史上数学应用最精彩的例子之一。
爱因斯坦的广义相对论后来有有了很大的发展，这些发展大都也与数学密切相关，可以说是物理学家和数学家共同努力的结果。
最突出的如英国剑桥大学应用数学系霍金教授，霍金用数学方法严格证明了爱因斯坦方程中奇点的存在性，并据而发展宇宙大爆炸理论和黑洞学说，这些理论深刻地影响着人类的时空观和宇宙观，在社会公众中引起了极大的兴趣。
霍金于2002年国际数学家大会期间在中国北京、杭州等地做通俗报告讲解他的宇宙理论（图7），可以说在当时公众中引起了一场不小的数学热。
（三）数学是推动生产发展、影响人类物质生活方式的杠杆
数学从它萌芽之日起，就表现出与人类物质生产活动的紧密联系。
数学对人类生产的影响，最突出地反映在它与历次产业革命的关系上。
人类历史上迄今发生的三次产业革命，其主体技术都与数学新理论、新方法的应用有直接或间接的关联。
这里仅以第二次产业革命为例。
第二次产业革命的主体技术之一是无线电通讯，然而可以说没有数学就没有无线电通讯，那是因为无线电通讯的物理载体—电磁波的存在，最初并不是通过实验或观察，而是基于严密的数学方法作出的预言，具体地说是依据所谓麦克斯韦方程推导而得的结果。
1864年，英国物理学家、数学家麦克斯韦（图8）发表了一篇有划时代意义的电磁学论文，这是他在经历了无数次的失败后，用纯数学的方法对自法拉弟、安培以来的电磁理论的成功
总结，他在其中将全部电磁现象规律归结表述为两组方程，即麦克斯韦方程（图9），并根据对这两组方程的推导结果大胆地预言了一种以光速传播着的波也就是电磁波的存在。
麦克斯韦的理论当时只有少数几个犹豫不决的支持者。
24年后，德国物理学家赫兹在振盪放电实验中证明了麦克斯韦的预言，不久意大利的马可尼和俄国人波波夫又在赫兹实验的基础上各自独立地发明了无线电报。
这样，麦克斯韦方程不仅实现了自牛顿以来物理学的又一次伟大综合，而且为日后风靡全球的无线电技术奠定了基础，从此电磁波走进了千家万户的生活。
有人说麦克斯韦方程是改变世界的方程，我想这不算夸张。
深入了解科学的历史将会发现，这样的方程还远不止是麦克斯韦方程。
应该说明，数学与人类生产的联系是复杂的、曲折的。
数学往往会走在前头，然后再在生产中获得应用，即依靠数学内部矛盾的推动而发展起来的纯粹的、抽象的理论，最终会反过来推动社会生产的发展，在科学史上不乏这样的例子。
1901年英国数学家罗素（图10）曾提出过一个集合论的悖论，罗素为了让普通老百姓了解数学本身存在的矛盾，后来又把它改编成通俗的形式，即所谓“理发师悖论”：
一个村庄里的理发师说：
“我只给那些不给自己理发的人理发。
”那么这个理发师该不该给自己理发呢？
试试看,你会发现,从理发师的声明出发,无论怎样推论,得到的都是与假设相反的结论
自相矛盾，这就是悖论。
那末这样一个在书斋里吞云驾雾、冥思苦想得来的近乎游戏的结果，难道跟人类的生产与生活会有什么干系吗？
事实是，由于这个悖论揭示了数学最基础的部分存在的深刻矛盾，在以后三十年中数学家们围绕它展开了激烈的争论并形成了关于数学基础的三大学派，争论的结果引出了一条被誉为是二十世纪最深刻的数学定理—哥德尔不完备性定理。
对这个定理所涉及的一个基本概念—可判定性的深入研究又促使英国数学家图灵（图11）提出了当今计算机科学中极为重要的“可计算性”概念,为了判断所谓的可计算性,图灵提出了一种理想的计算机模型即今天所说的“图灵机”，这就是现代通用程序计算机的理论模型。
图灵机从理论上预示了设计制造电子计算机的可能性，这与上面提到的麦克斯韦方程预言了电磁波的存在性质相同。
这是1936年的事情，比实际计算机的发明还早了十几年。
在最早的电子计算机的设计制造方面，数学和数学家发挥了关键作用，大数学家冯诺依曼（图12）甚至因对第一台电子计算机（ENIAC）的卓越贡献而被戴上了“计算机之父”的桂冠。
图灵本人在二战期间也参与了早期电子计算机的设计制造，他亲自设计的“巨人号”专用电子计算机曾成功地破译了德军的作战密码，他因此而荣获英国国防部的荣誉勋章。
众所周知，计算机已经成为当今社会最宏大的产业，同时对人们的生活方式产生着影响深远的冲击。
从罗素悖论到现代计算机，这中间的联系完全是始料不及的，即使罗素本人恐怕也梦想不到。
这就是数学，数学影响社会生产和改变人类生活方式的价值。
难怪拿破仑要说：
“数学的发展跟国家的繁荣是紧密相关的。
（四）数学是人类思想革命的有力武器
数学对于人类精神文明的影响同样也很深刻。
数学本身就是一种精神，一种探索精神。
这种精神的两个要素，即对理性与完美的追求，千百年来对人们的世界观的革命性影响不容低估。
数学由于其不可抗拒的逻辑说服力和无可争辩的计算精确性而往往成为思想解放的决定性武器。
我们从一个熟知的故事开始，即海王星的发现。
19世纪，英国天文学家亚当斯和法国数学家勒维烈在研究天王星的运行轨迹时，认为天王星运动的不规则性是由于另一颗未知行星的引力而引起的，并根据引力法则和摄动理论，通过浩繁艰巨的数学计算，具体算出了这颗行星的运行轨道。
勒维烈把这一计算结果通知了德国天文学家加勒，1846年9月23日晚，加勒将望远镜对准了夜空，果然在与他们预报的位置只差一度之处找到了这颗行星，它就是后来被命名的海王星。
海王星的发现本身可以说是老生常谈了。
我们在这里援引这个例子重点是要说明，海王星的发现不仅是数学推理和计算威力的令人信服的例证，更重要的是它标志了日心说的最终胜利。
我们知道哥白尼（图13）的“日心说”提出
太阳是宇宙的中心，但在他之前，从古希腊开始一直是地心说占统治地位，中世纪的教会为了宗教的利益更是把地心说作为教义固定下来，因此哥白尼生前一直不敢发表自己的理论，直到临终时刻才在病床上看到刚刚出版的《天体运行论》。
哥白尼之后的许多科学家和思想家为了维护宣传日心说不惜付出巨大的代价。
著名的伽利略曾因此被宗教裁判所判终身监禁，还有一位意大利人布鲁诺也因宣传日心说和反宗教的罪名被活活烧死在罗马的鲜花广场（图14），很多人为哥白尼的日心说抛头颅撒热血，但是宗教并没有因此而让步。
日心说地位的真正确立是在牛顿从万有引力定律出发，利用微积分等先进数学工具将太阳系的运动严格地推演出来之后。
而海王星的发现，则给顽固维护地心说的宗教势力以最后的致命的一击。
哥白尼本人在《天体运行论》中曾表示“决不怀疑，博学多才的数学家们如果遵照科学的要求，深入地而不是表面地理解和考虑为了证明我的见解所提出的论述，他们一定会同意我的看法！
”在数学的计算与逻辑面前，宗教也终于被迫让步，近年来梵蒂冈甚至还要给伽利略平反。
所以，数学在推动人类思想革命过程中有时起着决定性的作用，哥白尼的日心说可以说是很有说服力的例子。
（五）数学是促进艺术发展的文化激素
最后来谈谈数学对人类文化艺术生活的影响，这种影响遍及绘画、音乐、建筑和文学众多方面，由于时间关系，这里主要介绍绘画。
先看两幅画，一幅是中世纪的油画（图15），明显没有远近空间的感觉，显得笔法幼稚，象幼儿园孩子们的作品。
另一幅是文艺复兴时代的油画（图16），同样有船、人，但远近分明，立体感很强。
为什么会有这样鲜明的对比和本质的变化呢？
这中间究竟发生了什么？
很简单，数学，这中间数学进入了绘画艺术。
我们知道，中世纪宗教绘画具有象征性和超现实性，而到文艺复兴时期，描绘现实世界成为画家的重要目标。
如何在平面画布上真实地表现三维世界的事物，是这个时代艺术家们的基本课题。
粗略地讲，远小近大会给人以立体感，但远小到什么程度，近大又是什么标准？
这里有严格的数学道理。
文艺复兴时期的数学家和画家做了很好的合作，或者说这个时代的画家和数学家常常一身而兼二任，他们探讨了这方面的道理（图17，德国数学家、画家迪勒著作中的插图，图中一位画家正在通过格子板用迪勒的透视方法为模特画像），创立了一门学问—透视学，同时将透视学应用于绘画而创作出了一幅又一幅伟大的名画。
我们不妨再欣赏两幅：
达芬奇的《最后的晚餐》（图18）。
鲜明的立体感，平面传递空间的概念。
在达芬奇的草稿中可以看到画布上放射的虚线及没影点（正好在耶稣头部中央）。
再看另外一幅，拉斐尔的《雅典学派》（图19）。
，是拉斐尔根据自己的想象艺术再现了古希腊时期数学与学术的繁荣，可以看出这幅画也是透视原理与透视美的典范之作。
由这些画可以看出从中世纪到文艺复兴中间绘画艺术的变革，可以说是自觉地应用数学的过程。
到1754年，当透视方法趋于成熟之时，一位英国画家柯尔比写了一本叫《泰勒博士透视方法入门》的透视学著作，此书的卷首扉页插图（图20），就告诉人们如果不用透视学画出来的画会有多么荒唐。
在透视学的基础上后又产生了射影几何，射影几何在19世纪是最活跃的数学分支，对现代数学产生了深刻的影响。
除了透视，还有对称、黄金分割、分形曲线等等数学概念，也都是绘画与建筑等艺术中美的源泉。
尤其是对称，作为美的艺术标准，可以说是超越时代和地域的。
请看从中国古代敦煌壁画（图21）到荷兰现代画家埃歇尔的作品（图22），从中国的天坛到印度的泰姬陵（图23），都是完美的对称的杰作。
数学上刻画对称的工具是群，群论是现代数学的重要分支。
分形曲线即自相似曲线，其最简单的模型是所谓雪花曲线，可以从一个正三角形各边无限三等分折曲而得（图24）。
通过计算机迭代可以得到更为复杂的分形图形。
分形几何是描述不规则现象的数学工具，而在计算机上产生出来的千变万化、美妙神奇的分形图案，正在给人们带来高度的现代艺术享受（图25，26）。
结语
以上我们从五个方面简要分析了数学的文化价值。
这里需要声明的是，我的意思决不是要说数学是万能的。
数学是人类博大浩瀚的文化宝库的一个组成部分，其发展是在人类整个文化的总背景下进行的，它影响别种文化领域的发展，同时也必然受着其它文化的影响。
不过从上述提纲挈领的介绍可以知道，数学是人类历史上最古老的一种文化，数学作为一种文化所具有的特点，决定了其在整个人类文化中的特殊地位，也就是特殊的文化价值。
了解这种价值，对于学生全面认识数学的地位，提高学习兴趣，明确学习方向，增强学习动力，具有非常重要的意义。
这方面的教学，非通常以具体数学知识的讲授为目标的课程所能替代，并且这方面的内容非常丰富，并非一两节课所能阐明。
因此新课标提倡在高中数学课程中体现数学的文化价值，加强对“数学文化”的学习要求，设立数学史选修课等，这是非常必要的和适时的。
当然这是一种全新的教学内容，能不能成功、能不能达到预定目标？
取决于能否编写出好的适用的教材和能否组织好胜任的教学人才队伍。
在这方面，根据我在北京大学、清华大学和首都师范大学等处开设数学史与数学文化方面的选修课程的情况，我感到是有信心的。
这里引几段学生听这些课的反映作为我今天讲话的结束：
“作为一个以物理为专业的人，虽有点不服气，但我仍然不得不承认，数学是所有自然科学之父。
”（清华物理01班）
“我现在已迫切地感到自己在数学方面的不足，…通过这门课程的学习，我对近代数学有了一个全面的认识，并且也了解到现代数学对电子科学所起到的作用，明确了今后学习的方向。
”（清华无96班）
“Yourlecturehasreallychangedmyopinionstowardmathematics．…Itismyfirsttimetofeelthecombinationofmathematicswithaestheticsandtoappreciatemathematicsfromtheaestheticperspective．”（北大心理系）
虽然这些话并不是出自中学生之口，但我感觉它们传达的是正面的、乐观的信息。
可以相信，数学史与数学文化方面的课程将能够达到预定的目标，能够帮助学生在学习、研究和应用数学的过程中逐渐体会，不断提高对数学文化价值的认识，把学生对数学的“恨”或“怕”转化成“爱”和“亲”，从而全面提高数学乃至其它课程的教学质量。
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