最小树最短路程序Word下载.docx
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v2=index（2,flag）;
ifv1~=v2
result=[result,data（:
flag）];
end
index（find（index==v2））=v1;
data（:
flag）=[];
index（:
end
result
Prim算法（顶点扩充法）
%清空命令窗口,清空内存
a=zeros（7）;
a（2,4）=65;
a（4,5）=50;
a（5,6）=70;
a=a+a'
a（a==0）=inf;
p=1;
tb=2:
length（a）;
%边的个数比顶点数少一
whilesize（result,2）~=length（a）-1
temp=a（p,tb）
temp=temp（:
）%将temp转化成一维列数组
d=min（temp）
[jb,kb]=find（a（p,tb）==d）;
j=p（jb
（1））;
k=tb（kb
（1））;
result=[result,[j;
k;
d]];
p=[p,k];
tb（find（tb==k））=[];
%将顶点k从选择顶点中去掉
从起点sb到终点db通用的Dijkstra标号算法程序
function[mydistance,mypath]=mydijkstra（a,sb,db）;
%输入：
a—邻接矩阵，a（i，j）是指i到j之间的距离，可以是有向的
%sb—起点的标号,db—终点的标号
%输出：
mydistance—最短路的距离,mypath—最短路的路径
n=size（a,1）;
visited（1:
n）=0;
distance（1:
n）=inf;
distance（sb）=0;
%起点到各顶点距离的初始化
visited（sb）=1;
u=sb;
%u为最新的P标号顶点
parent（1:
%前驱顶点的初始化
fori=1:
n-1
id=find（visited==0）;
%查找未标号的顶点
forv=id
ifa（u,v）+distance（u）<
distance（v）
distance（v）=distance（u）+a（u,v）;
%修改标号值
parent（v）=u;
end
temp=distance;
temp（visited==1）=inf;
%已标号点的距离换成无穷
[t,u]=min（temp）;
%找标号值最小的顶点
visited（u）=1;
%标记已经标号的顶点
mypath=[];
ifparent（db）~=0%如果存在路!
t=db;
mypath=[db];
whilet~=sb%从终点db开始回溯
p=parent（t）;
mypath=[pmypath];
t=p;
mydistance=distance（db）;
例题某公司在六个城市
中有分公司，从
到
的直接航程票价记在下述矩阵的（i,j）位置上。
（∞表示无直接航路），请帮助该公司设计一张城市
到其它城市间的票价最便宜的路线图。
LINGO的Floyd算法程序如下
model:
sets:
nodes/c1..c6/;
link（nodes,nodes）:
w,path;
!
path标志最短路径上走过的顶点;
endsets
data:
path=0;
w=0;
enddata
calc:
w（1,2）=50;
w（1,4）=40;
w（1,5）=25;
w（1,6）=10;
w（2,3）=15;
w（2,4）=20;
w（2,6）=25;
w（3,4）=10;
w（3,5）=20;
w（4,5）=10;
w（4,6）=25;
w（5,6）=55;
@for（link（i,j）:
w（i,j）=w（i,j）+w（j,i））;
@for（link（i,j）|i#ne#j:
w（i,j）=@if（w（i,j）#eq#0,10000,w（i,j）））;
@for（nodes（k）:
@for（nodes（i）:
@for（nodes（j）:
tm=@smin（w（i,j）,w（i,k）+w（k,j））;
path（i,j）=@if（w（i,j）#gt#tm,k,path（i,j））;
w（i,j）=tm）））;
endcalc
求解最短路问题的数学规划法
取决策变量为
，当
，说明弧
位于顶点
到顶点
的最短路上，否则
。
s.t
例在下图中，用点表示城市，现有
共7个城市。
点与点之间的连线表示城市间有道路相连。
连线旁的数字表示道路的长度。
现计划从城市
到城市
铺设一条天然气管道，请设计出最小长度管道铺设方案。
基于数学规划求解最短路的LINGO代码
cities/A,B1,B2,C1,C2,C3,D/;
roads（cities,cities）/AB1,AB2,B1C1,B1C2,B1C3,B2C1,
B2C2,B2C3,C1D,C2D,C3D/:
w,x;
w=24331231134;
n=@size（cities）;
城市的个数;
min=@sum（roads:
w*x）;
@for（cities（i）|i#ne#1#and#i#ne#n:
@sum（roads（i,j）:
x（i,j））=@sum（roads（j,i）:
x（j,i）））;
@sum（roads（i,j）|i#eq#1:
x（i,j））=1;
@sum（roads（i,j）|j#eq#n:
求最大流问题的Ford-Fulkerson标号算法
function[fwfNo]=fofuf（C,f1）
%C表示弧上的容量
%f1表示弧上现有的流量函数，默认情况下为0
%f表示最大流
%wf表示最大流量
%No标号函数，由此可得最小割
%注：
待求最大流的源为第一个顶点，汇为最后一个顶点
n=length（C）
ifnargin==1;
f=zeros（n,n）;
else
f=f1;
No=zeros（1,n）;
d=zeros（1,n）;
while
（1）
No
（1）=n+1;
d
（1）=Inf;
%给发点vs标号
while
（1）%标号过程
pd=1;
for（i=1:
n）
if（No（i））%选择一个已标号的vi
for（j=1:
if（No（j）==0&
f（i,j）<
C（i,j））%对于未给标号的点vj，当vi-vj为非饱和弧时
No（j）=i;
d（j）=C（i,j）-f（i,j）;
pd=0;
if（d（j）>
d（i））
d（j）=d（i）;
elseif（No（j）==0&
f（j,i）>
0）%对于未给标号的点vj，当vi-vj为非零流弧时
No（j）=-i;
d（j）=C（j,i）
if（No（n）|pd）
break;
end%若收点vt得到标号或者无法标号，则终止标号过程
if（pd）
end%vt未得到标号，f已是最大流，算法终止
dvt=d（n）;
t=n;
%进入调整过程，dvt表示调整量
if（No（t）>
0）
f（No（t）,t）=f（No（t）,t）+dvt;
%前向弧调整
elseif（No（t）<
f（No（t）,t）=f（No（t）,t）-dvt;
%后向弧调整
if（No（t）==1）
No（i）=0;
d（i）=0;
End
break
end%当t的标号为vs时，终止调整过程
t=No（t）;
end%继续调整前一段弧上的流f
wf=0;
n）%计算最大流量
wf=wf+f（1,j）;
f;
%显示最大流
wf;
%显示最大流量
No;
%显示标号，由此可得最小割
例求下图所示网络的最大流
C=[05430000;
00005300;
00000320;
00000020;
00000004;
00000003;
00000005;
00000000];
[qwe]=fofuf（C）
最小费用最大流问题
function[fwfzwf]=BGf（C,b）
%C表示弧容量矩阵
%b表示弧上单位流量的费用
%f表示最小费用最大流矩阵
%zwf表示最小费用
n=size（C,2）;
wf0=Inf;
%wf表示最大流量，wf0表示预定的流量值
%取初始可行流f为零流
a=ones（n,n）*inf;
a（i,i）=0;
end%构造有向赋权图a
if（C（i,j）>
0&
f（i,j）==0）
a（i,j）=b（i,j）;
elseif（C（i,j）>
f（i,j）==C（i,j））
a（j,i）=-b（i,j）;
a（j,i）=b（i,j）;
for（i=2:
p（i）=Inf;
s（i）=i;
end%用Floyd算法求最短路，赋初值
for（k=1:
%求有向赋权图中vs到vt的最短路
if（p（i）>
p（j）+a（j,i））
p（i）=p（j）+a（j,i）;
s（i）=j;
end%求最短路的Floyd算法结束
if（p（n）==Inf）
end%不存在vs到vt的最短路，算法终止
%注意在求最小费用最大流时构造有向赋权图中不会含
%负权回路，所以不会出现k=n
dvt=Inf;
while
（1）%通过回溯计算调整量
if（a（s（t）,t）>
dvtt=C（s（t）,t）-f（s（t）,t）;
%前向弧调整量
elseif（a（s（t）,t）<
dvtt=f（t,s（t））;
end%后向弧调整量
if（dvt>
dvtt）
dvt=dvtt;
if（s（t）==1）
end%当t的标号为vs时，终止计算调整量
t=s（t）;
if（wf+dvt>
=wf0）
dvt=wf0-wf;
end%如果最大流量大于或等于预定的流量值
while
（1）%调整过程
if（a（s（t）,t）>
f（s（t）,t）=f（s（t）,t）+dvt;
f（t,s（t））=f（t,s（t））-dvt;
end%后向弧调整
end%如果最大流量达到预定的流量值
end%计算最大流量
zwf=0;
zwf=zwf+b（i,j）*f（i,j）;
end%计算最小费用
%最小费用最大流
例求下图所示网络的最小费用最大流，弧旁
中的
分别表示顶点i到顶点j间弧的费用和容量。
b=[0106300;
004003;
0000124;
005020;
000005;
000000];
c=[0127800;
008005;
0000107;
009070;
000008;
[fwfzwf]=BGf（c,b）
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