完整版解三角形题型总结.docx
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完整版解三角形题型总结
解三角形题型分类解析
1、正弦定理及其变形
做题大法：
1）边化角：
遇到分式或等式如（切记必须为齐次式，高考常考点）
思考：
若是否可行
2）角化边形如这样的分式或等式
思路总结：
此为以上转换依据
2、正弦定理适用情况：
（1）已知两角及任一边；
（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）；
已知a，b和A，不解三角形,求B时的解的情况：
如果sinA≥sinB，则B有唯一解；如果sinA如果sinB=1，则B有唯一解；如果sinB〉1，则B无解.
3、余弦定理及其推论
4、余弦定理适用情况：
（1）已知两边及夹角；
（2）已知三边.
5、常用的三角形面积公式
（1）；
（2）（两边夹一角）；
6、三角形中常用结论
（1）
（2）
（3）在△ABC中,A+B+C=π，所以sin（A+B）=sinC；cos（A+B）=－cosC；
tan（A+B）=－tanC。
分类题解：
类型一：
正弦定理
1、计算问题:
例1、（2013•北京）在△ABC中，a=3,b=5，sinA=，则sinB=_________
例2、已知ABC中，A，,则=．
例3、在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c,且2asinB=b．
求角A的大小；
2、三角形形状问题
例3、在中,已知分别为角A，B，C的对边，
1）试确定形状。
2）若，试确定形状.
4）在中，已知,试判断三角形的形状.
5）已知在中，，且，试判断三角形的形状。
例4、（2016年上海）已知的三边长分别为3,5，7,则该三角形的外接圆半径等于______
类型二：
余弦定理
1、判断三角形形状：
锐角、直角、钝角
在△ABC中，
若,则角是直角;
若,则角是钝角;
若,则角是锐角．
例1、在△ABC中，若a9,b10，c12，则△ABC的形状是_________.
2、求角或者边
例2、（2016年天津高考）在△ABC中，若，BC=3，，则AC=．
例3、在△ABC中,已知三边长，,，求三角形的最大内角．
例4、在△ABC中，已知a=7,b=3,c=5，求最大的角和sinC？
3、余弦公式直接应用
例5、：
在ABC中，若，求角A．
例6、：
（2013重庆理20）在△ABC中,内角A，B，C的对边分别是a，b，c，
且a2＋b2＋ab＝c2.
（1）求C；
例7、设△的内角，，所对的边分别为,，。
若，则角
例8、（2016年北京高考）在ABC中，.
（1）求的大小；
（2）求的最大值.
类型三:
正弦、余弦定理基本应用
例1。
【2015高考广东，理11】设的内角，,的对边分别为，，，若，，，则。
例2.，则B等于.
例3。
【2015高考天津，理13】在中，内角所对的边分别为,已知的面积为，则的值为。
例4.在△ABC中，sin（C-A）=1,sinB=,求sinA=。
例5。
【2015高考北京，理12】在中，，,,则．
例6。
若△的三个内角满足，则△
（A）一定是锐角三角形.（B）一定是直角三角形。
（C）一定是钝角三角形.（D）可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形。
变：
在中，若,则角的度数为
例7.△的三个内角满则A:
B:
C=1:
2:
3则a:
b：
c=.
例8.设的内角的对边分别为,且，，则
类型四：
与正弦有关的解的个数
思路一：
利用表格进行
aa＝bsinA
bsinAa≥b
无解
一解
两解
一解
a=bsinA，一解bsinA〈a思路二：
利用大边对大角进行筛选
例1：
在△ABC中，bsinA＜a＜b,则此三角形有
A。
一解B。
两解C.无解D.不确定
例2：
在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是【】
A、,，;B、，，；
C、，，；D、,，.
例3：
在中，
类型五:
与有关的问题
例1：
在△ABC中,sinA=2cosBsinC,则三角形为_____________.
变：
在△ABC中，已知,那么△ABC一定是。
例2:
在中，角,,对应的边分别是，，.已知。
（）求角的大小;
（）若的面积，,求的值.
例3:
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知3acosC＝2ccosA，tanA＝，求B.
例4：
在△ABC中，a,b，c分别为内角A，B，C的对边,且
（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求的最大值。
类型六：
边化角，角化边
注意点:
换完第一步观察是否可以约分，能约分先约分
怎么区分边化角还是角化边呢？
若两边都是正弦首先考虑角化边，若sin,cos都存在时首先考虑边化角
例1:
在△ABC中，角A，B,C所对的边分别为a,b，c，且满足csinA=acosC．
（Ⅰ）求角C的大小；
例2在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a,b，c。
若3a＝2b,则的值为
例3。
△ABC中,sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为
A.直角三角形B。
等腰直角三角形C。
等边三角形D。
等腰三角形
例4：
（2011·全国）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,asinA＋csinC－asinC＝bsinB.
（1）求B；
（2）若A＝75°，b＝2，求a，c。
例5：
（2016年四川高考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a,b，c,且。
（I）证明：
；
（）若,求.
例6:
（2016年浙江高考）在△ABC中,内角A，B,C所对的边分别为a，b,c.已知b+c=2acosB。
（I）证明：
A=2B；
（II）若△ABC的面积,求角A的大小。
例7：
的内角所对的边分别为。
（）若成等差数列，证明:
；
（）若成等比数列，求的最小值.
类型七：
面积问题
面积公式：
例1：
设的内角所对边的长分别是，且b=3，c=1，
△ABC的面积为求cosA与a的值；
例2：
在中，角的对边分别为,。
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的面积。
例3：
的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．
（I）求；
（II）若，求的面积
例4．在中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足
（1）求△ABC的面积;
（2）若c＝1,求a的值．
例5：
（2013•浙江）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b，c，且2asinB=b．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=6,b+c=8,求△ABC的面积．
例6：
（2016年全国I高考）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,已知
（）求C；
（）若的面积为,求的周长．
题型八：
图形问题
例1：
如图所示，货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角（指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后船到达C点，观测灯塔A的方位角是65°,则货轮到达C点时,与灯塔A的距离是多少？
例2.【2015高考湖北，理13】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处,测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度m。
正弦定理、余弦定理水平测试题
一、选择题
1．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a2＋c2－b2＝ac,则角B的值为
A。
B.C。
或D。
或
2．已知锐角△ABC的面积为3,BC＝4,CA＝3，则角C的大小为
A．75°B．60°C．45°D．30°
3．（2010·上海高考）若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，则△ABC
A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为
A.B.C。
D。
5．（2010·湖南高考）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a,b，c，若∠C＝120°，c＝a，则（ ）
A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．a与b大小不能确定
二、填空题
6．△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，已知a＝，b＝3，C＝30°，则A＝
7．（2010·山东高考）在△ABC中，角A,B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝,b＝2，sinB＋cosB＝，则角A的大小为________．
8．已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．
三、解答题
9．△ABC中,内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.若a2－c2＝2b，且sinB＝4cosAsinC，求b.
10．在△ABC中，已知a2＋b2＝c2＋ab.
（1）求角C的大小；
（2）又若sinAsinB＝，判断△ABC的形状．
11．（2010·浙江高考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b，c，设S为△ABC的面积,
且S＝（a2＋b2－c2）．
（1）求角C的大小；
（2）求sinA＋sinB的最大值．
12。
【2015高考新课标2,理17】（本题满分12分）
中，是上的点，平分，面积是面积的2倍．
（Ⅰ）求;
（Ⅱ）若，，求和的长．
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