能力培养平行四边形答案Word格式文档下载.docx

能力培养平行四边形答案Word格式文档下载.docx

《能力培养平行四边形答案Word格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《能力培养平行四边形答案Word格式文档下载.docx（66页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

②由①知道AC=EF，而△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°

∴EF=AC=AD，且AD⊥AB，

而EF⊥AB，∴EF∥AD，∴四边形ADFE是平行四边形．

P35.13如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°

，四边形BCDE是平行四边形，

E为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：

（1）DF=AE；

（2）DF⊥AC．

解析：

（1）延长DE交AB于点G，连接AD．构建全等三角形△AED≌△DFB（SAS），则由该全等三角形的对应边相等证得结论；

（2）设AC与FD交于点O．利用

（1）中全等三角形的对应角相等，等角的补角相等以及三角形内角和定理得到∠EOD=90°

，即DF⊥AC．

（1）延长DE交AB于点G，连接AD．∵四边形BCDE是平行四边形，∴ED∥BC，ED=BC．

∵点E是AC的中点，∠ABC=90°

，∴AG=BG，DG⊥AB．∴AD=BD，∴∠BAD=∠ABD．∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠BAD=45°

，即∠BDE=∠ADE=45°

．又BF=BC，∴BF=DE．

∴在△AED与△DFB中，

，∴△AED≌△DFB（SAS），∴AE=DF，即DF=AE；

（2）设AC与FD交于点O．∵由

（1）知，△AED≌△DFB，∴∠AED=∠DFB，∴∠DEO=∠DFG．

∵∠DFG+∠FDG=90°

，∴∠DO+∠EDO=90°

∴∠EOD=90°

P35-15（2015连云港）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点C落在点F处，DF交AB于点E．

（1）求证；

∠EDB=∠EBD；

（2）判断AF与DB是否平行，并说明理由．

解：

（1）由折叠可知：

∠CDB=∠EDB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，

∴∠CDB=∠EBD，∴∠EDB=∠EBD；

C=AB，∴DF=AB，∴AE=EF，∴∠EAF=∠EFA，

在△BED中，∠EDB+∠EBD+∠DEB=180°

，∴2∠E

（2）AF∥DB；

∵∠EDB=∠EBD，∴DE=BE，由折叠可知：

DC=DF，

∵四边形ABCD是平行四边形，∴D+∠DEB=180°

，同理，在△AEF中，2∠EFA+∠AEF=180°

，

∵∠DEB=∠AEF，∴∠EDB=∠EFA，∴AF∥DB．

P36-4已知：

如图，O为□ABCD的对角线AC的中点，过点O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N，点E、F在直线MN上，且OE＝OF．

（1）图中共有几对全等三角形?

请把它们都写出来；

（2）求证：

∠MAE＝∠NCF．

：

（1）有4对全等三角形．

分别为△AOM≌△CON，△AOE≌△COF，△AME≌△CNF，△ABC≌△CDA．

（2）证明：

∵OA＝OC，∠1＝∠2，OE＝OF，∴△OAE≌△OCF．

∴∠EAO＝∠FCO．又∵在□ABCD中，AB∥CD，

∴∠BAO＝∠DCO．∴∠EAM＝∠NCF

P36-7如图，在Rt△ABC中，∠B=90°

，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所在的平行四边形ADCE中，求DE的最小的值

∵在Rt△ABC中，∠B=90°

，∴BC⊥AB．∵四边形ADCE是平行四边形，

∴OD=OE，OA=OC．∴当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC．

∴OD∥AB．

又点O是AC的中点，∴OD是△ABC的中位线，

∴OD=1.5AB=1.5，∴ED=2OD=3．

P37-8如图，平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点E，∠AEB=45°

，BD=2，将△ABC沿AC所在的直线翻折90°

，如图2所示，若点的落点记作B”,则BB”的长是多少？

∵四边形ABCD是平行四边形，BD=2，∴BE=1

如图2，连接BB′．

根据折叠的性质知，∠AEB=∠AEB′=45°

BE=B′E．∴∠BEB′=90°

，∴△BB′E是等腰直角三角形，

则BB′=

DB′=

P38-6

如图,在平行四边形ABCD中,点E是AD的中点,BE的延长线与CD的延长线相交于点F

（1）求证：

△ABE全等于△DFE

（2）连接BD,AF,判断四边形ABDF的形状,并证明你的结论.

（1）证明：

∵ABCD是平行四边形∴AB∥CD（DF）∴∠ABE=∠F,∠BAE=∠FDE

∵E是AD中点,那么AE=DE∴△ABE≌△DFE

（2）平行四边形,因为由第一问知道△ABE≌△DFE

所以DF=AB又因为FD与AB平行所以由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

所以它是平行四边形

P38-7（2014•长春）如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF=

BC，求证：

四边形OCFE是平行四边形

如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴点O是BD的中点．

又∵点E是边CD的中点，∴OE是△BCD的中位线，

∴OE∥BC，且OE=

BC．又∵CF=

BC，∴OE=CF．

又∵点F在BC的延长线上，∴OE∥CF，∴四边形OCFE是平行四边形

P39-10如图1，在△OAB中，∠OAB=90°

，∠AOB=30°

，OB=8．以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．

四边形ABCE是平行四边形；

（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长

（1）证明：

∵Rt△OAB中，D为OB的中点，∴AD=

OB，OD=BD=

OB

∴DO=DA，∴∠DAO=∠DOA=30°

，∠EOA=90°

，∴∠AEO=60°

，又∵△OBC为等边三角形，

∴∠BCO=∠AEO=60°

，∴BC∥AE，∵∠BAO=∠COA=90°

，∴CO∥AB，

∴四边形ABCE是平行四边形；

（2）设OG＝x,则由折叠对称的性质,得GA＝GC＝8－x.

在Rt△OAG中,由勾股定理GA²

=OA²

+OG²

即（8-x）²

=（4√3）²

+x²

解得x=1,.∴OG的长为1.

39-11（2014凉山州）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE．已知∠BAC=30°

（1）试说明AC=EF；

（2）求证：

四边形ADFE是平行四边形．

（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°

∴AB=2AF∴AF=BC，在Rt△AFE和Rt△BCA中，AF＝BCAE＝BA，∴△AFE≌△BCA（HL），∴AC=EF；

（2）∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°

，AC=AD，∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°

又∵EF⊥AB，∴EF∥AD，∵AC=EF，AC=AD，∴EF=AD，∴四边形ADFE是平行四边形．

如图，将□ABCD沿过点A的直线

折叠，使点D落到AB边上的点

处，折痕

交CD边于点E，连接BE

（1）∵将平行四边形ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，

∴∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA，∠D=∠AD′E，

∵DE∥AD′，∴∠DEA=∠EAD′，∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，∴∠DAD′=∠DED′，

∴四边形DAD′E是平行四边形，∴DE=AD′，∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB//DC，∴CE//D′B，∴四边形BCED′是平行四边形；

（2）∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠EBA，∵AD∥BC，∴∠DAB+∠CBA=180°

∵∠DAE=∠BAE，∴∠EAB+∠EBA=90°

，∴∠AEB=90°

，∴AB2=AE2+BE2．

40-13△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°

，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．

（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由．

BE=CD，BE⊥CD．

（1）解：

∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°

，∴AB=

BC，

∵△ABD和△ACE均为等腰直角三角形，∴BD=

=BC

=2BC，

∵G为BD的中点，∴BG=

BD=BC，∴△CBG为等腰直角三角形，∴∠CGB=45°

∵∠ADB=45°

，AD∥CG，∵∠ABD=45°

，∠ABC=45°

∴∠CBD=90°

∵∠ACB=90°

，∴∠CBD+∠ACB=180°

，∴AC∥BD，∴四边形ACGD为平行四边形；

∵∠EAB=∠EAC+∠CAB=90°

+45°

=135°

，∠CAD=∠DAB+∠BAC=90°

∴∠EAB=∠CAD，在△DAC与△BAE中，

，∴△DAC≌△BAE，

∴BE=CD；

∵∠EAC=∠BCA=90°

，EA=AC=BC，∴四边形ABCE为平行四边形，∴CE=AB=AD，

在△BCE与△CAD中，

∴△BCE≌△CAD，∴∠CBE=∠ACD，

∵∠ACD+∠BCD=90°

，∴∠CBE+∠BCD=90°

，∴∠CFB=90°

，即BE⊥CD．

P40-14如图,在▱ABCD中,F是AD的中点,延长BC到点E,使CE=2分之1BC 

连接DE,CF． 

四边形CEDF是平行四边形；

（2）若AB=4,AD=6,∠B=60°

求DE的长．

在

ABCD中，AD∥BC，且AD=BC，∵F是AD的中点，∴DF=

AD。

又∵CE=

BC，∴DF=CE，且DF∥CE。

∴四边形CEDF是平行四边形。

（2）如图，过点D作DH⊥BE于点H，

ABCD中，∵∠B=60°

，∴∠DCE=60。

．∵AB=4，∴CD=AB=4。

∴CH=2，DH=

。

CEDF中，CE=DF=

AD=3，则EH=1。

∴在Rt△DHE中，根据勾股定理，得

P41-3在平行四边形ABCD中，EF∥AB且交BC于点E，交AD于点F，连接AE，BF交于点M，连接CF，DE交于点N，求证：

MN∥AD且MN=

AD．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC．又∵EF∥AB，∴EF∥CD．

∴四边形ABEF，ECDF均为平行四边形．又∵M，N分别为

ABEF和

ECDF对角线的交点，

∴M为AE的中点，N为DE的中点．即MN为△AED的中位线．∴MN∥AD且MN=

P41-4如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的中线，BD与CE相交于点O，点F、G分别是BO、CO的中点，连接AO．若AO=6cm，BC=8cm．求四边形DEFG的周长．

∵BD，CE是△ABC的中线，

∴ED∥BC且ED=

BC，∵F是BO的中点，G是CO的中点，∴FG∥BC且FG=

BC，

∴ED=FG=

BC═4cm，同理GD=EF=

AO=3cm，

∴四边形DEFG的周长为3+4+3+4=14（cm）．

P41-5如图，在△ABC中，AC=6cm,BC=8cm,AB=10cm,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点，求△DEF的面积。

∵EF，DE，DF是△ABC的中位线，∴EF=

AB，DE=

AC，DF=

BC，

又∵AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，∴EF=5cm，DE=3cm，DF=4cm，

而32+42=25=52，即DE2+DF2=EF2．∴△EDF为直角三角形，

∴S△EDF=

DE.DF=

×

3×

4=6（cm2）

P42-6如图所示，在△ABC中，E为AB的中点，CD平分∠ACB，AD⊥CD于点D．

试说明：

（1）DE∥BC；

（2）DE=

（BC﹣AC）．

延长AD交BC于F．

（1）∵AD⊥CD，∴∠ADC=∠FDC=90°

．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠FCD．

在△ACD与△FCD中，∠ADC=∠FDCDC=DC∠ACD=∠FCD，∴△ACD≌△FCD．

∴AC=FCAD=DF．又∵E为AB的中点，∴DE∥BF，即DE∥BC．

（2）由

（1）知AC=FC，DE=

BF，∴DE=

（BC﹣FC）=

P42-7已知：

在△ABC中，BC＞AC，动点D绕△ABC的顶点A逆时针旋转，且AD=BC，连接DC．过AB、DC的中点E、F作直线，直线EF与直线AD、BC分别相交于点M、N．

（1）如图1，当点D旋转到BC的延长线上时，点N恰好与点F重合，取AC的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论∠AMF=∠BNE（不需证明）；

（2）当点D旋转到图2或图3中的位置时，∠AMF与∠BNE有何数量关系？

请分别写出猜想，并任选一种情况证明．

图1：

∠AMF=∠ENB；

图2：

图3：

∠AMF+∠ENB=180°

．

如图2，取AC的中点H，连接HE、HF．∵F是DC的中点，H是AC的中点，

∴HF∥AD，HF=

AD，∴∠AMF=∠HFE，同理，HE∥CB，HE=

CB，∴∠ENB=∠HEF．

∵AD=BC，∴HF=HE，∴∠HEF=∠HFE，∴∠ENB=∠AMF．

如图3：

取AC的中点H，连接HE、HF．∵F是DC的中点，H是AC的中点，

AD，∴∠AMF+∠HFE=180°

，同理，HE∥CB，HE=

CB，

∴∠ENB=∠HEF．∵AD=BC，∴HF=HE，∴∠HEF=∠HFE，∴∠AMF+∠ENB=180°

P42-8如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=

BC，连接CD和EF．

DE=CF；

（2）求EF的长．

∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE

∵延长BC至点F，使CF=

BC，∴DE

FC，即DE=CF；

（2）解：

∵DE

FC，∴四边形DEFC是平行四边形，

∴DC=EF，∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，

∴AD=BD=1，CD⊥AB，BC=2，∴DC=EF=

P43-9（2015怀化）已知：

如图，在△ABC中，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD，其交点为O．求证：

（1）△CDE≌△DBF；

（2）OA=OD

（1）∵DE、DF是△ABC的中位线，∴DF=CE，DF∥CE，DB=DC．

∵DF∥CE，∴∠C=∠BDF．在△CDE和△DBF中

，∴△CDE≌△DBF（SAS）；

（2）∵DE、DF是△ABC的中位线，∴DF=AE，DF∥AE，

∴四边形DEAF是平行四边形，∵EF与AD交于O点，∴AO=OD

P43-10

在梯形ABCD中，AD//BC,AD⊥BD于点O，E，F分别是AB，CD的中点∠DBC=30°

⑴求证：

EF=AC⑵若OD=3

OC=5,求MN的长

⑴过D作DP//AC交AC延长线与点P,∴∠BDP=BOC=90°

．又∵∠DBP30°

∴DP=

BP

∵四边形ACPD是平行四边形，∴BP=ACCP=ADE,F分别是AB,DC的中点，

∴EF=

（AD+BC）AC=DP=

（CP+BC）=

（AD+BC）∴EF=AC

⑵∵OC=5∴BC=10∴OD=3

∴OA=3AD=6∴EF

（AD+BC）=8

EM=

AD=3NF=

AD=3∴NM=EF-EM-NF=8-3-3=2

18.2特殊平行四边形

44-4如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°

，AB＝5cm，求矩形对角线的长．

∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD=2AO=2OC=2OB=2OD,

∵∠AOD＝120°

，∴∠AOB＝60°

∴△AOB是等边三角形,∴AB＝AO=BO=5cm,

∴AC＝BD=2AO=10cm

44-5如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点，连接AF，CE．

△BEC≌△DFA；

四边形AECF是平行四边形．

（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，

又∵E、F分别是边AB、CD的中点，∴BE=DF，

∵在△BEC和△DFA中，BC=DA∠B=∠DBE=DF，∴△BEC≌△DFA（SAS）．

（2）由

（1）得，CE=AF，AD=BC，故可得四边形AECF是平行四边形．

44-6如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE,垂足为F,求证：

DF=DC

∵四边形ABCD是矩形∴AD//BC，∠B=90°

，AB="

CD"

∴∠DAF=∠AEB

∵DF⊥AE∴∠DFA=∠B=90°

∴△DFA≌△ABE∴DF=AB∴DF=CD.

45-11,如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，对角线AC.BD相交于O，且BE∶ED＝1∶3，AD＝6㎝，求AE的长

在矩形ABCD中OB=OD=OC=OA,AE⊥BD于E,BE:

ED=1:

3,BE：

EO=1：

1

AE⊥BD于E所以AO=BO=AB∠ABD=60°

∠ADE=90°

-60°

=30°

AD=6cm，AE=

AD=3cm

45-12如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，O为对角线AC、BD的交点，且∠CAE=15°

△AOB为等边三角形；

（2）求∠BOE度数．

∵四边形ABCD是矩形

∴∠BAD=∠ABC=90°

，AO=BO=

AC=

BD

∵AE是∠BAD的角平分线；

∴∠BAE=45°

∵∠CAE=15°

∴∠BAC=60°

∴△AOB是等边三角形；

∵在Rt△ABE中，∠BAE=45°

∴AB=BE∵△ABO是等边三角形

∴AB=BO∴OB=BE∵∠OBE=30°

，OB=BE，∴∠BOE=

（180°

-30°

）=75°

45-13已知，矩形ABCD中，延长BC至E，使BE=BD，F为DE的中点，连接AF、CF．

（1）∠ADF=∠BCF；

（2）AF⊥CF．

（1）在矩形ABCD中，∵AD=BC，∠ADC=∠BCD=90°

，∴∠DCE=90°

在Rt△DCE中，∵F为DE中点，∴DF=CF，∴∠FDC=∠DCF，∴∠ADC+∠CDF=∠BCD+∠DCF，

即∠ADF=∠BCF；

（2）连接BF，

∵BE=BD，F为DE的中点，∴BF⊥DE，∴∠BFD=90°

，即∠BFA+∠AFD=90°

在△AFD和△BFC中,AD＝BC,∠ADF＝∠BCF,CF＝DF，

∴△ADF≌△BCF，∴∠AFD=∠BFC，∵∠AFD+∠BFA=90°

，∴∠BFC+∠BFA=90°

，即∠AFC=90°

∴AF⊥FC．

46-15在平行四边形ABCD中，点E,F在直线AC上（点E在F左侧），,BE//DF。

⑴求证四边形BEDF使平行四边形

⑵若AB⊥AC,AB=4，BC=2

当四边形BEDF为矩形时，求线段AE的长。

如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠DAF=∠BCE．

又∵BE∥DF，∴∠BEC=∠DFA．

在△BEC与△DFA中，∠BEC＝∠DFA,∠BCE＝∠DAF,BC＝AD，

∴△BEC≌△DFA（AAS），∴BE=DF．又∵BE∥DF，∴四边形BEDF为平行四边形

E

AD

BC

F

在Rt△ABC中，AC=

∴OA=3OB=

∵BEDF是矩形，∴OE=OB=5∴AE=5-3=2

47-20如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的小值是（ 

）

A．

B．6 

C．

D．4

47-21如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，

四边形AECF为平行四边形；

（2）若△AEP是等边三角形，连结BP，求证：

；

（3）若矩形ABCD的边AB=6，BC=4，求△CPF的面积

点：

四边形综合题．.

专题：

综合题．分析：

（1）由折叠的性质得到BE=PE，EC与PB垂直，根据E为AB中点，得到AE=PE，利用等角对等边得到两对角相等，由∠AEP为三角形EBP的外角，利用外