概率论基础复习题答案Word文档格式.docx
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9（，，则5。
X~N（5,4）P（X,c）,P（X,c）c,
2x，,x，1,010（设随机变量在[1，6]上服从均匀分布，则方程有实根的概率为,
4。
5
考查第三章较难
11（若随机变量X，Y的相关系数为r,U=2X+1,V=5Y+10则U，V的相关系数=r。
XYXY
,[,],,,12（若服从的均匀分布，,,,2，则的密度函数,gy（）22
1。
,,,,,gyy（）2,
AB13（设P（A）,0.4，P（A，B）,0.7，若与互不相容，则P（B）,
AB0.3;
若与相互独立，则P（B）,0.5。
14（将数字1，2，3，4，5写在5张卡片上，任意取出三张排列成三位数，这个数
12CP34是奇数的概率P（A）=。
3P5
15（若，8，1.6，最可能值k,8。
~B（10,0.8）E,,D,,0
考查第二、五章
x,xex,016（设随机变量X的概率密度为，则=6,EX（3）fx（）,,00x,,
13XEe（）=16
考查第四、五章
117（任取三线段分别长为x,y,z且均小于等于a，则x,y,z可构成一三角形的概率2
考查第一章（较难）
18（设随机变量X，Y的相关系数为1，若Z=X-0.4,则Y与Z的相关系数为1
19（若，3，0.16.,~（3,0.16）NE,,D,,
若20.，16，8.4.,~（10,0.7）BE（9）,，,D（23）,，,
21.某公司有A、B、C三个生产基地生产同一种产品，产量分别占20%，45%和35%（三
个基地的产品各有30%，20%，25%在北京市场销售（则该公司任取此产品一件，它可能在
销往北京市场的概率为0.2475（
考查第二章
X22.f（x）为一维连续型随机变量的概率密度函数，则有1;
若f（x）dx,,,,
YP（Y,y）,p,p,离散型随机变量具有分布列则1（,kkkk
X，Yn,pn,pX,Y23.若是相互独立的随机变量，均服从二项分布，参数为及，则12
服从参数为参数为n，n,p的二项分布分布（12
考查第四章
X2EX24.设随机变量服从参数为和的正态分布,则=_____0____;
N（0,2）0
DX=______2_____（
25（设A,B,C为任意三个事件，则其中至少有两个事件发生应表示为
ABC，ABC，ABC，ABC
27（若二维随机向量（）的联合密度函数,,,
22（）2（）（）（）11x,arx,ay,ay,a1122P（x,y）=exp{[]},,，2222,,,,2
（1）,r12,,,21,r1212
22,,aar,,,,则E=,D=,E=,D=Cov（）=.,,,,,121212
28（两人相约7点到8点在某地会面，先到者等另一个人20分钟，过时就可离开，则
两人能会面的概率为5/9。
考查第一三章
选择题（含答案）
1.一模一样的铁罐里都装有大量的红球和黑球，其中一罐（取名“甲罐”）内的红球数与黑球数之比为2:
1，另一罐（取名“乙罐”）内的黑球数与红球数之比为2:
1，今任取一罐并从中依次取出50只球，查得其中有30只红球和20只黑球，则该罐为“甲罐”的概率是该罐为“乙罐”的概率的（D）
（A）2倍（B）254倍（C）798倍（D）1024倍
考查第二章
2.在[0,1]线段上随机投掷两点，两点间距离大于0.5的概率为（A）（A）0.25（B）0.5（C）0.75（D）1
考查第一章
3.设独立随机变量X，Y分别服从标准正态分布，则X+Y服从（C）
2,（A）N（2,0）（B）自由度为2的分布（C）N（0,2）（D）不能确定考查第三章
n4.设P（X=n）=a（n,1,2,...）且EX=1，则a为（B）
5,13,51（A）1（B）（C）（D）223
考查第五章
5（下列论述不正确的是（B）
（A）若事件A与B独立则与B独立（B）事件AB不相容则A与B独立A
（C）n个事件两两独立不一定相互独立（D）随机变量和独立则二者不相关,考查第二章
6（甲乙两人各投掷n枚硬币，理想状态下甲乙两人掷得正面数相同的概率为（C）
n11k2nn2nC（A）0（B）（C）（D）（）C（）,n2n22k,0
考查第一、二章
7.设独立随机变量X，Y分别服从标准正态分布，则X+Y服从（C）
2,（A）二项分布（B）分布（C）N（0,2）（D）不能确定考查第三、四章
AB8.对于任意事件与，有（C）。
P（A,B）,
（A）（B）P（A）,P（B）P（A）,P（B），P（AB）
P（A）,P（AB）（C）（D）P（A）,P（AB）
a9.在[0,]线段上随机投掷两点，两点间距离大于的概率为（D）a2
（A）1（B）0.75（C）0.5（D）0.25考查第一章
3,5n10.设P（X=n）=a，其中a为，则EX=（B）（n,1,2,...）2
5（A）（B）1（C）0.5（D）3
11（下列论述不正确的是（C）
A（A）n个事件两两独立不一定相互独立（B）若事件A与B独立则与B独立
（C）事件AB不相容则A与B独立（D）随机变量和,独立则二者不相关,
p12（掷n枚硬币，出现正面的概率为，至少出现一次正面的概率为（A）
n11n,（A）（B）（C）1（D）1
（1）,,pCpp
（1）,1,pn
13.设A，B为两个互斥事件，且P（A）>
0，P（B）>
0，则下列结论正确的是（C）。
（A）P（B|A）>
0,（B）P（A|B）=P（A）（C）P（A|B）=0（D）P（AB）=P（A）P（B）
114.事件A，B相互独立，，P（A）=（D）。
P（AB）,,P（AB）,P（AB）9
112（A）（B）（C）0（D）233
XDX,EX15.随机变量服从（D）分布时，。
（A）正态（B）指数
（C）二项（D）泊松（Poisson）
22X~N（,,4）,Y~N（,,5）16.设，记p,P（X,,,4）,p,P（Y,,，5），则12（A）。
,（A）对任何实数p,pp,p，都有（B）对任何实数，都有1212
,p,pp,p（C）只对的个别值，才有（D）对任何实数，都有1212考查第三章
17（若有十道选择题，每题有A、B、C、D四个答案，只有一个正确答案，求随机作答恰好答对六道的概率为（B）
313664（A）（B）C（）（）10544
6,1,,6e（C）（D）（）6!
4
2X~N（72,,）18（某课程考试成绩,已知96分以上占2.3%，则60~84分所占比例为（A）
（已知）,,20.977，，
（B）（A）2
（1）1,,1
（2）,,
（C）（D）2
（2）1,,0.5
考查第三章
19.设独立随机变量X，Y分别服从标准正态分布，则XY服从（C）
2,（A）泊松分布（B）分布（C）N（0,2）（D）不能确定考查第三、四章
AB,20.对于任意事件，有（A）。
（A）（B）0P（A）,P（B）
（C）1（D）PB（）
21.设随机变量的密度函数为,
,,cos,,,axx,（）,px22,
0其它,
则常数为（B）a
111（A）（B）（C）0（D）23
22（下列陈述不正确的是（D）
A（A）两两独立不一定相互独立（B）若事件A与B独立则与B独立
（D）随机变量二者不相关则和独立（C）事件AB独立则PABPA（|）（）,,
23.下列数列可以构成分布列的是（C）
11nnnn21,2,...n,11,2,...n,（A）（B）（C）0（D）n,n,（）1,2,...（）1,2,...32考查第三章
24（下列陈述不正确的是（B）
,（A）和不相关则（B）随机变量二者不相关则和独立,DDD（）（）（）,,,,，,，,
和,不相关则（D）随机变量二者不相关则（C）,cov（,）0,,,EEE（）,,,,,考查第五章
AB25（事件中，发生且与不发生的事件为:
（C）A,B,CC
（A）A:
C;
（B）ABC:
ABC:
ABC;
A:
CA:
C.（C）;
（D）
设为相互独立的两事件，则下列式子中不正确的是:
（A）26（A,B
P（AB）,P（A）P（B）（A）;
（B）;
P（A:
B）,P（A）P（B）
（C）;
（D）P（B|A）,P（B）P（AB）,P（A）P（B）.考查第一章
27（工厂每天从产品中随机地抽查50件产品，已知这种产品的次品率为0.1%，，则在这一
年内平均每天抽查到的次品数为:
（A）
（A）0.05;
（B）5.01;
（C）5;
（D）0.5.
考查第六章
Y28（则服从分布:
（C）X~U（0,1）,Y,3X,2,
（A）U（,1,1）;
U（,1,0）.（B）（C）U（,2,1）;
（D）U（2,3）;
考查第四章
（2x，y）f（x,y）,2e,（0,x,y,，,）.29（设随机变量X,Y的联合概率密度为则:
（B）
（A）X,Y不相关;
（B）X,Y相互独立;
（C）相关;
（D）不相互独立（X,YX,Y
考查第四、五章
30（事件A，B互不相容，是指（B）
（A）P（AB）=P（A）P（B）（B）AB=
,,B（C）AB=（D）A=
计算题（含答案）
ka一（设随机变量只取非负整数值，其概率为P{，a>
0是常数，,,k},,k，1（1，a）试求E及D,,
a解:
记t=<
11，a
kk1,,,,,aaaaa,k'
k1===kt=（t）E,kk,,,,22k12k1，,（1，a）（1，a）（1，a）（1，a）（1，a）,k1k1,k1k1,,
ata1'
2==（）=（）a221,t1,t（1，a）（1，a）
kkk2,,,,aaaa22k'
'
E,==+=kkk（k,1）（t），a,,,,k1k1k1，，，3（1，a）（1，a）（1，a）（1，a）k1k1k1k,,,,1
22a123==2a，a（），a31,t（1，a）
222D,,E,,（E,）=a，a
考查第五章（较难）
二（炮战中，在距离目标250米，200米，150米处射击的概率分别为0.1,0.7,0.2,而
在各处射击时命中目标的概率分别为0.05,0.1,0.2。
任射一发炮弹，求目标被击中的概率。
若已知目标被击毁，求击毁目标的炮弹是由距目标250米处射出的概率。
A,A,A解:
1）设分别表示炮弹从250米，200米，150米处射击的事件,123
B表示目标被击中。
则由全概率公式
P（B）,P（A）P（B|A），P（A）P（B|A），P（A）P（B|A）112233=0.1，0.05，0.7，0.1，0.2，0.2,0.115
2）由Bayes公式
P（A）P（B|A）11P（A|B）,1P（A）P（B|A），P（A）P（B|A），P（A）P（B|A）112233
0.1，0.051,,,0.0430.11523
三（某单位招聘2500人，按考试成绩从高分到低分依次录用，共有10000人报名，假
2设报名者的成绩X服从分布N（,,,）已知90分以上有359人，60分以下有1151人，问
被录用者中最低分为多少,
2,（）x,,122,（）X的分布函数为fx,e
2,,
,X,,2~（,）,~（0,1）XNN,
,,,90,90,359X{,90},{,},1,,（）,PXP,,,1000
90,359,（）,1,,0.9641,1000,,,60,1151,（）,,0.1151,10000
2x,标准正态分布表可得到=72和=100的值，然后令录取的最低分为，则,0
,,,,xx2500,X00{}{}（）,,,,,,PXxP0,,,10000
x,79,从而得到即录取的最低分为79分。
0
考查第三章（较难）
四（从1到2000这2000个数字中任取一数，求1）该数能被6整除的概率;
2）该数能被8整除的概率;
3）该数能被6和8整除的概率;
4）该数能被6或8整除的概率。
解:
利用古典概型的公式
mA所含样本点数PA（）,,n样本点总数有利于的场合数A,样本点总数
3332501831）;
2）;
3）;
2000200020008
PPP（）（）（）能被8整除，能被6整除,既能被6整除又能被8整除
3331834）,，,200082000
1,4
A五（空战中，从，，处射击的概率分别为0.2,0.7,0.1,而在各处射击时命中敌AA312
机的概率分别为0.2,0.1,0.05。
任射一发炮弹，求敌机被击中的概率。
A若已知敌机被击中，求击中敌机的炮弹是由处射出的概率。
3
1）设B表示目标被击中。
则由全概率公式P（B）,P（A）P（B|A），P（A）P（B|A），P（A）P（B|A）112233=0.2，0.2，0.7，0.1，0.1，0.05,0.115
P（A）P（B|A）33P（A|B）,3P（A）P（B|A），P（A）P（B|A），P（A）P（B|A）112233
0.1，0.051,,,0.0430.11523
六（一地区农民年均收入服从元，元的正态分布，求:
,500,,20该地区农民年均收入在500元~520元间的人数的百分比;
如果要使农民的年均收入在内的概率不小于0.95，则至少为多大,（,,a,,，a）a3个农民中至少有一个年均收入在500元~520元间的概率。
2，，,~N500,20
（1）
520500500500,,,,,,,P500520100.84130.50.3413,,,,,,,,,,,,,，，，，，，0000,,,,2020,,,,
，，P,,a,,,,，a,0.95
（2），
a,,,,,,,,,1,0.95，2P0.95,,,,0,,202020,,,,
a可得，，,1.96a,39.220
003Cpp（）
（1）,（3）考虑反面没有一个年收入在范围中的情形，其概率为:
，311
0031,C（0.3413）（1,0.3413）3
101,,
,PXX{0}1,,七（设随机变量（i=1,2）,且满足，则求概率X11112i,,
,424
PXX{},。
12
PXX{0}1,,PXX{0}0,,解:
由，得，即1212
PXX{1,1},,,,,,,PXX{1,1},,,PXX{1,1},,,,,,PXX{1,1}012121212
XX再根据联合分布与边际分布的关系可以求得和的联合分布。
XXPXxp{},,,101211ii,
11,10044
111004421110044PXyp{},,1112ij,424
PXX{},所以,0.12
八、有一袋麦种，其中一等的占80%，二等的占18%，三等的占2%，已知一、二、三等
麦种的发芽率分别为0.8，0.2，0.1，现从袋中任取一粒麦种:
试求它发芽的概率;
若已知取出的麦种未发芽，问它是一等麦种的概率是多少,
设事件“取出来的种子是一等种子”“取出来的种子是二等种子”A,A,12A,“取出来的种子是三等种子”3
B,“取出的种子发芽”“取出的种子未发芽”B,
P（A）,80%P（A）,18%P（A）,2%由题:
123
P（B|A）,0.8P（B|A）,0.2P（B|A）,0.1123
P（B|A）,0.2P（B|A）,0.8P（B|A）,0.9123
P（B）,P（A）P（B|A），P（A）P（B|A），P（A）P（B|A）1）全概率公式（112233
=67.8%
（2）贝叶斯公式
P（A）P（B|A）11P（A|B）,1P（A）P（B|A），P（A）P（B|A），P（A）P（B|A）112233
=0.497
九、设随机变量ξ的分布列为
ξ,0,,22
P0.20.30.30.2
2,,,，1求的分布列。
,22222（,），1（），1,,,，10，1,，122
p0.20.30.30.2
整理得η的分布列
2,，121，,4,1P0.30.50.2
十、某师院的毕业生，其中优等生，中等生，下等生各占20%，65%，15%.毕业后十年，这三类学生能成为优秀教师的概率各为80%，70%，55%.求该学院毕业的学生十年后成为优秀教师的概率。
记B={成为优秀教师}
PBPAPBAPAPBAPAPBA（）（）（|）（）（|）（）（|）,，，112233
8020706555156975,，，，，，,10010010010010010010000
十一、将一颗均匀的骰子连掷两次，以ξ表示两次所得点数之和。
求1）ξ的分布列;
2）Eξ。
1）
23456789101112
p1*******321i3636363636363636363636
12
EkPk,,,,{}2）,k,2
121,，，，，，，23...12363636
252,,736
十二、设二维离散型随机向量（ξ，η）的联合分布列为:
η012
ξ
1CCC101010
202C2C1010
302CC1010
1）求常数C;
2）求ξ，η的边缘分布列;
3）求ξ,2的条件下，η的条件分布列;
4）判断ξ与η是否相互独立。
1）C=1;
2）
η012piξ
10.10.10.10.3200.20.20.430.200.10.3
0.30.30.4pj
和的边沿分布列为:
123,
P0.30.40.3
012P0.30.30.4
3）
012,|,,2
P00.50.5整理得:
12,|,,2
P0.50.5
4）因为PPP{2,0}00.40.3{2}{0},,,,,,,,，,,,
所以与不相互独立,
X十三、一个篮球运动员的投篮命中率为0.6，以表示他首次命中时累计的投篮次数。
写
X出的分布律（
k,1P{X,k},（0.4）（0.6）k,1,2,？
分布律为考查第一章
kx，10,x,2,十四、已知连续型随机变量ξ有密度函数p（x）,,0其他,
求系数k及分布函数，并计算P{1.5<
ξ<
2.5}（解:
由密度函数的性质
22k21,p（x）dx,（kx，1）dx,（x，x）,2k，2,,02,,0
x1？
k,,F（x）,p（t）dt,2,,
当时，,p（t）,0F（x）,0x,0
xx11122当时，（）
（1）（）Fx,,tdt,t,t,x,x0,x,2,02440
当时，F（x）,1x,2
x0,0
12Fxxxx？
（）,,0,,2,4,x1,2,
12P{1.5,,,2.5},F（2.5）,F（1.5）,1,[1.5,（1.5）],0.06254
十五、设随机变量的联合分布为X,Y
X1234Y
00.000.030.050.02
10.120.050.070.01
20.080.030.080.11
30.050.04x0.06
XY,2求x,及X,Y的边际分布（直接填写在表中），给出在的条件下的条件分布（解:
x=0.2
XY,2在的条件下的条件分布为
1234Y,2X|
4141115101530
十六、设二元连续型随机向量（X,Y）的联合密度函数为
1,0,x,1,|y|,x,,f（x,y）,,0,其它.,
求的数学期望、方差和相关系数（X,Y
xP（x）,0解:
当0<
x<
1时，而或时，P（x）,1dy,2xx,0,x,1,,,,x
1P（y）,1dx,1，y当-1<
y<
0时，,,,y
10,y,1,P（y）,1dx,1,y当而y,1,P（y）,0,,,y
1221103E,,x,2xdx,x,，，E,,y（1,y）dy，y（1，y）dy,0,,,0,01330
2121122222D,,E,,（E,）,x,2xdx,（）,,（）,,032318
122D,,E,,（E,）,6
1x
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