现代设计方法计算题Word文档格式.docx

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=1000h𝜃

2串=1/2𝜆

=500h

2并=3/2𝜆

=1500h𝜃

2/3（𝐺

）=5/6𝜆

=833.3h

t=100h 

时，一个单元与系统的可靠度分别为：

2

𝑅

单=𝑒

0.001 

×

100=0.905𝑅

2串=𝑅

0.2=0.819

2并=1 

- 

（1 

单）2=1-（1 

𝑒

0.1）2=0.991

）=3𝑅

单2-2𝑅

单3=0.975

当 

t=500h 

500=0.6065𝑅

0.5 

2=0.3678

2并=1-（1 

0.6065）2=0.8452

单3=0.6575

t=1000h 

3.已知约束优化问题：

minf（x）=𝑥

1+3𝑥

1000=0.368𝑅

2=0.135

1）2=0.600𝑅

单2 

2𝑅

单3=0.306

从计算结果可以看出：

（1）一个单元的可靠度高于二单元串联系统的可靠度，但低于二单元并联

系统的可靠度；

（2）2/3（G）系统的平均寿命为一个单元的平均寿命的 

5/6倍，明显低

于一个单元的平均寿命。

22

S．t．𝑥

1 

2-1≥0

试写出内点罚函数与外点罚函数的表示式。

内点罚函数：

1

当-𝑥

2+1≤0，Φ（x，𝑟

𝑘

）=𝑥

外点罚函数：

1-𝑥

2+1＞0，Φ（x，𝑟

2+𝑟

（ 

1）

maxF（X）=0.5𝑥

s．t．𝑥

1𝑥

2≤400

4.现在要用钢板制作一个有盖的长方本储水箱，要求各边长均不超过 

20 

厘米，

且长度为宽度的 

倍，试确定三边长度值，使该储水箱的容积最大，要求其表

面积不超过 

400 

平方厘米。

（1）建立数学模型 

用复合形法迭代 

3 

次。

取储水箱长和高为设计变量𝑥

1，𝑥

2，则其宽 

0.5𝑥

1，数学模型为

0≤𝑥

1≤200≤𝑥

2≤20

（2）用复合形法求解

求得的近似结果为𝑋

={𝑥

1,𝑥

2}

∗

𝑇

=

{11.5.7.7}𝑇

F（X*）=509

已知右上图所示等腰直角三角形的单元刚度矩阵为：

[𝐾

]（𝑒

）=

𝐸

4

[

3

对

称

]

右图所示薄板结构中节点 

处所受载荷以

及材料的弹性模量和板厚分别为：

𝐹

100KN，E=2×

107N/cm，t=0.1cm

求节点 

处的各位移分量。

33

0 

𝑢

70.7 

103

5.用梯度法求下列无约束优化问题：

MinF（X）=𝑥

1+4𝑥

2，设初始点取为𝑋

（0）=

{2,2} 

，以梯度模为终止迭代准则，其收敛精度为 

5.

2=-7.07×

10 

2cm，𝑣

=‒ 

0.1414𝑐

𝑚

（1） 

求初始点梯度▽F（X）

▽F（X）={2𝑋

1,8𝑋

2} 

▽F（𝑋

（0）

）={4.16}𝑇

（2）第一次搜索

𝛼

（0） 

2.157

𝑋

（1）=𝑋

（0）+𝛼

（0）𝑆

（0）={1.476, 

0.923}𝑇

▽F（𝑥

（1）

）= 

{2.952, 

0.738}T

丨▽F（𝑋

）丨=3.043＜5.0

最优值 

F（𝑋

）=2.21

故满足要求，停止迭代。

最优点 

X*={1.476， 

0.0923}

6.节点和单元划分如图示的由两根杆组成的平面刚架结构，在节点 

处作用大

小为 

F 

的集中载荷，两单元在局部坐标系下的单元刚度矩阵相同，即

[𝑘

]

（1） 

]

（2） 

a 

yF

i

j

l

x

其中，a 

为常数。

试引人支承条件写出总体平衡方程。

先求单元在总体坐标系下的单元刚度矩阵。

单元

（2）在总体坐标系下的单元刚度矩阵与在局部坐标系下的单元刚度矩阵相

同，即

𝑎

[ 

00

单元

（1）的坐标转换矩阵中的 

β=-90°

，单元

（1）的坐标转换矩阵为

[T]=

cos 

90°

） 

sin 

所以单元

（1）在总体坐标系下的单元刚度矩阵为：

]

（1）=[𝑇

]𝑇

]

（1）[𝑇

a

][

单元局部编码和总体编码的对应关系为：

单元

（1）ij→12

单元

（2）ij→23

单元刚度矩阵中子块对应关系为；

] 

22𝑘

23

（2）

32𝑘

33

11 

12

21 

22

，[𝑘

所以总体刚度矩阵为：

[K]=

（2） 

=a

5 

节点的位移矢量为：

{𝑢

1𝑣

1𝜃

1𝑢

2𝑣

2𝜃

2𝑢

3𝑣

3𝜃

3}

约束条件为：

1=0，𝑣

1=0，𝜃

1=0

作用到结构上的外力为：

3𝑦

=_F

所以引入支承条件的平衡方程为：

𝑣

_𝐹

7 

一组实验数据如下，试用抛物线插值方法计算 

X=92 

和 

X=198 

处的 

Y 

值。

𝑖

𝑌

90 

100 

110 

120 

130 

140 

150

0.68 

0.74 

0.79 

0.83 

0.86 

0.89 

0.92

【参考答案】

抛物线插值公式为：

（𝑥

2）（𝑥

3）

Y（x）=（𝑥

3）𝑦

+

1）（𝑥

3） 

𝑦

2）

x=136 

时

∵ 

x∈（130,140），|136-130|＞|136-140|

∴选择插值节点：

1，𝑦

1）=（130,0.86），（𝑥

2，𝑦

2）=（140,0.89），（𝑥

3，𝑦

3）=（150,0.92）

将以上数据和 

代入抛物线插值公式，得 

x-136 

时 

y 

值为：

（136 

140）（136 

150）

130）（136 

Y（136）=

（130 

140）

150） 

0.86+（140 

‒

130）（140 

150）×

0.89+

130） 

（150 

130）

140）×

0.92=0.878

8 

如图所示的平面刚架，由两个单元

（1）和

（2）组成，两单元的长度和载面

尺寸及材料特性相同，单元

（1）的局部坐标正方向为沿轴线方向节点 

指向节

点 

2，单元

（2）的局部坐标正方向为沿轴线方向由节点 

指向节点 

1，在局部

坐标系下每个单元的刚度矩阵为

100

0126

64

0‒ 

12‒ 

6

062

求刚架总体刚度矩阵[K]。

引入支撑条件，写出平衡方程。

平面刚架的坐标转换矩阵为。

12 

6 

[𝑒

]=

𝑠

𝑛

𝑐

𝑜

由局部坐标系与总体坐标系的关系知：

单元

（1）a=0，单元

（2）a=

所以𝑇

=[1]

（2）= 

在整体坐标系下，单元的刚度矩阵为：

（𝑒

）

[𝑇

）][K]（𝑒

）[𝑇

）]

∴[𝐾

=[𝑇

（1）]-[𝐾

]

（1）

]

（2）-[𝑇

（2）]𝑇

]

（2）[𝑇

（2）]-[𝐾

]

（2）-

𝐴

单元

（1）局部码对应的总码为，2，单元

（2）局部码对应的总码为 

3.1

9.已知某零件的工作应力和材料强度均服从指数分布，且强度和应力的均值分

别为µ

𝑟

=210Mpa 

和µ

=160Mpa，试确定零件的可靠度。

零件的工作应力和材料强度均服从指数分布，

且µ

=210MPA；

µ

=160Mpa

∴𝜆

=µ

，𝜆

R=𝜆

210

210 

160=0.5675676

将下列实验测试数据拟合成 

y=ax 

形式的经验公式。

（计算过程中保留小数点后

该零件的可靠度为：

R=0.5675676

𝑏

两位）

1.18 

1.58 

2.40 

3.00 

3.80

2.76 

3.29 

4.23 

4.83 

5.57

将 

Y=axb 

两边取对数，得：

lny=lna+blnx

令 

U=lnyA=lnaB=bV=lnx，则原式变为：

U：

A+BV

将表数据取对数：

𝑉

𝑈

0.17 

0.46 

0.88 

1.10 

1.34

1.02 

1.19 

1.44 

1.57 

1.72

按以上的𝑉

，𝑈

进行最小二乘拟合得

{5A+（

5

）B=

（

）A+（ 

5𝐴

3. 

95𝐵

6. 

94

代入数据得{3. 

95𝐴

4. 

02𝐵

a=𝑒

=2.5 

b=B=0.6

求解得 

A=0.92B=0.60

拟合的经验公式为 

y=2.5𝑥

0.6

10.如图所示的平面刚架，由两个单元

（1）和

（2）组成，两单元的长度和载

面尺寸及材料特性相同，单元

（1）的局部坐标正方向为沿轴线方向节点 

指向

节点 

1，在局

部坐标系下每个单元的刚度矩阵为.

解. 

平面刚架的坐标转换矩阵为

单元

（1）a=0，单元

（2）a=90°

所以

（1）=[1]

）]𝑇

[K]（𝑒

（1）]=[𝐾

（2）]=[𝐾

]

（2）=

3,1

33 

31

所以按照刚度集成法，可得出总体风度矩阵为：

]22

（1）

]11

（1） 

]11

（2）

]21

（1）

]31

（2）

]12

（1） 

]13

（2）

]33

（2）

=2

13 

8

由于只有在节点 

处作用有沿 

轴负方向的外载荷 

F=100N，所以节点载荷矢量

为{F}={0,0,0,0 

100,0,0,0,0}

支撑条件为𝑢

3=𝑣

3=𝜃

3=0，所以等式右端的力矢量无须修改，矩阵[K]中 

至 

9 

的

各行各列修改成除主对角线元素为 

外，其余各元素均为零 

分

总体平衡方程为

4 

100

11.某机电系统由 

台相同设备组成，各设备可靠度为 

0.9，若该系统至少有

台设备正常运行就可以保证整个系统正常工作，试求该系统的可靠度。

该系统的每台设备或是正常工作或是发生故障，其失效数为正整数。

因此

是离散型随机变量，且服从二项分布。

∴系统的可靠度由下式计算

∑𝑖

0𝐶

𝑁

R（r）=

F

由题意知：

r=3，N=10，R=0.9，F=1-0.9=0.1，则

10！

R（3）=（10 

0）！

0！

0.9

（10 

0）

0.10+（10 

1）！

1！

0.9（10 

1）×

0.11

2）！

2！

0.9 

2） 

0.12+（10 

3）！

3！

3）×

0.13≈0.9872

该系统的可靠度为 

0.9872

1.20

2.40

3.20

4.54

5.82

7.63

16.41

24.19

40.65

60.41

001

201

12. 

已知△ABC= 

111 

，将该三角形沿 

X 

方向移动 

个单元，沿 

方向移动

个单位后，再放大一倍，求变换后△ABC 

各顶点的坐标。

这是一组合变换，先求出组合变换的变换矩阵。

沿 

个单位，沿 

个单位，变换矩阵为

010

1= 

121

放大一倍，变换矩阵为：

2= 

所以组合变换矩阵为：

T=

1𝑇

所以变换后的三角形顶点的坐标短阵为：

ˊBˊCˊ=ABC*T=

变换后的三角形各顶点的坐标为：

A（2，4），B（6,4），C（4,6）

13.用最小二乘法将下列数据拟合成 

Y=𝑎

2𝑥

（计算

结果中保留两位小数）

乘法拟合思想得：

{

5𝑎