计算方法Word文件下载.docx
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上机作业七19
Euler法19
改进Eulaer法19
经典R-K20
上机作业一
第一题
1、分别用不动点迭代与Newton法求解方程
2x-ex+3=0
的正根与负根。
不动点迭代
程序
functiony=g1（x）
y=-x+exp（x）-3;
P0=1;
N=1000;
TOL=10^-5;
k=1;
whilek<
=N
P=g1（P0）;
ifabs（P-P0）<
TOL
break
end
k=k+1;
P0=P;
end
disp（P）;
disp（k）
结果
-1.3734
36
Newton法求负根
y=x-（2*x-exp（x）+3）/（2-exp（x））;
P0=-1;
4
Newton法求正根
1.9239
8
结果分析：
相比使用不动点迭代法时并不能确保收敛性，需要尝试不同的x和g（x），使用牛顿迭代法可以确保收敛性，所以肯定能求出正根和负根，也就是说不动点的收敛域没有牛顿法广泛
第二题
2、用Newton法求解方程x-sinx＝0的根.再用Steffensen’smethod加速其收敛。
Newton法
functiony=g2（x）
y=x-（x-sin（x））/（1-cos（x））;
%用Newton求根
N=600;
TOL=10^（-10）;
fork=1:
N
P1=g2（P0）;
ifabs（P1-P0）<
P0=P1;
end
disp（P2）;
结果0.6551
45
Steffensen
p0=1;
functiony=f（x）
y=x-sin（x）;
TOL=10^（-7）;
n=0;
p
（1）=p0;
whilen<
fork=1:
2
p（k+1）=g2（p（k））;
p1=p
（1）-（p
（2）-p
（1））^2/（p（3）-2*p
（2）+p
（1））;
f0=f（p1）;
ifabs（f0）<
n=n+1;
p
（1）=p1;
disp（p1）;
disp（n）
1.6548e-06
1
上机作业二
1、分别用Jacobi、Seidel、Sor（w=1.1,1.2,1.3,1.4,1.5）方法求解
方程组Ax=b，这里
A=
，b=
X0=
;
e=10-5
解：
jacobi迭代法
程序：
A=ones（10,10）-13*eye（10）;
b=-1*ones（10,1）;
tol=10^（-5）;
N=500;
x0=zeros（10,1）;
x=x0;
fori=1:
10
x（i）=（b（i）-A（i,:
）*x0）/A（i,i）+x0（i）;
ifnorm（x-x0）<
tol
disp（X）;
disp（k）
return
x0=x;
disp（'
发散'
）
结果：
seidel迭代法
）*x）/A（i,i）+x（i）;
disp（x）;
return;
disp（'
Sor迭代法
w=1.1;
x（i）=w*（b（i）-A（i,:
W=1.2时
W=1.3时
W=1.4时
W=1.5时
在以上三种方法都收敛的前提下，Sor方法求解收敛速度最快，Seidel次之，而Jacobi方法收敛速度最慢。
上机作业三
1、用Newton法与最速下降法求方程组
x2+2y2-2=0
X2=y
在（0.8,0.7）附近的根。
x0=[0.8,0.7];
F=[x0
（1）^2+2*x0
（2）^2-2;
x0
（1）^2-x0
（2）];
F1=[2*x0
（1）,4*x0
（2）;
2*x0
（1）,-1];
y=-F1\F;
ifnorm（y）<
tol;
最速下降法
functiony=h（t）
globalX0
g=G1（X0）;
a=X0-g*t;
y=G（a）;
functiony=G（A）
y=（A
（1）^2+2*A
（2）^2-2）^2+（A
（1）^2-A
（2））^2;
functiony=G1（A）
y（1,1）=8*A
（1）^3+8*A
（1）*A
（2）^2-8*A
（1）-4*A
（1）*A
（2）;
y（2,1）=16*A
（2）^3-14*A
（2）-2*A
（1）^2+8*A
（1）^2*A
（2）;
Tol=10^-5;
X0=[0.8;
0.7];
g=G1（X0）;
u=fminsearch（'
h'
0,100）;
X=X0-u*g;
ifG（X）<
Tol
disp（k）;
X0=X;
上机作业四
1、用幂法与反幂法求矩阵A的按模最大、最小特征值与对应的特征向量。
幂法
程序;
A=[4111;
13-11;
1-120;
1102];
v=[1;
1;
1];
lamda=0;
err=1;
while（k<
=N&
&
err>
eps）
u=A*v;
[mj]=max（abs（u））;
dc=abs（lamda-m）;
u=u/m;
dv=norm（u-v）;
err=max（dc,dv）;
v=u;
lamda=m;
k=k+1;
特征值='
）;
disp（lamda）;
特征向量='
disp（u）;
迭代次数='
反幂法
13-11;
1-120;
1102];
A1=inv（A）;
u=A1*v;
幂法求最大特征值算法简单，而反幂法则是求矩阵逆矩阵的最大特征值，收敛速度较快。
2、用House-holder变换求矩阵A的QR分解，并用QR方法做三次迭代。
n=size（A）;
Q=eye（n）;
n-1
c=norm（A（k:
n,k））;
w=zeros（n,1）;
w（k+1:
n）=A（k+1:
n,k）;
w（k）=A（k,k）+sign（A（k,k））*c;
P=eye（n）-2*w*w'
/norm（w）^2;
Q=Q*P;
A=P*A;
R=A;
Q='
disp（Q）;
P='
disp（P）
3次迭代
N=1;
whileN<
=3
c=norm（A（k:
w=zeros（n,1）;
w（k+1:
w（k）=A（k,k）+sign（A（k,k））*c;
P=eye（n）-2*w*w'
Q=Q*P;
A=P*A;
A=A*Q;
N=N+1;
R=A*inv（Q）;
上机作业五
1、目的：
观察lagrange插值的Runge现象。
对于函数
进行lagrange插值。
取不同的等分数n（n=5,n=10），
将区间[-1，1]n等分，取等距节点。
把插值多项式的曲线画在同一张图上进行比较。
forn=5:
5:
x=zeros（1,n+1）;
y=zeros（1,n+1）;
h=2/n;
（n+1）
x（i）=-1+（i-1）*h;
y（i）=1/（1+25*x（i）*x（i））;
symsfx
fy=0;
n+1
t=1;
ifi~=k;
t=t*（fx-x（i））/（x（k）-x（i））;
fy=fy+t*y（k）;
ezplot（fy,[-1,1]）;
holdon
ezplot（fy,[-1,1]）;
上机作业六
1、用Romberg求积公式计算积分：
精度达到10^（-6）。
a=1;
b=3;
eps=10^-6;
M=1;
h=2;
j=0;
R=zeros（4,4）;
R（1,1）=h*（exp
（1）.*cos
（1）+exp（3）.*cos（3））/2;
while（err>
j=j+1;
h=h/2;
x=a+h:
2*h:
b-h;
R（j+1,1）=R（j,1）/2+h*sum（exp（x）.*cos（x））;
forK=1:
min（3,J）
R（j+1,K+1）=R（j+1,K）+（R（j+1,K）-R（j,K））/（4^K-1）;
if（j>
3）
err=abs（R（j+1,4）-R（j,4））;
quad=R（j,4）;
disp（quad）;
上机作业七
1、分别用Euler方法（h=0.025）、改进的Euler方法（h=0.05）、经典的R-K方法（h=0.1）求初值问题的数值解计算0.1,0.2,0.3,0.4,0.5处解的近似值。
并与精确解比较，分析误差。
Euler法
x=0;
y=0.5;
h=0.025;
f=inline（'
y-x^2+1'
'
x'
y'
fori=0:
20
y=y+h*f（x,y）;
x=x+h;
if（i==3||i==7||i==11||i==15||i==19）
disp（y）;
>
euler
0.65550.82531.00891.20561.4147
精确值:
0.65740.82931.01511.21411.4256
误差：
0.00190.0040.00620.00850.0109
改进Eulaer法
h=0.05;
y1=y+h*f（x,y）;
y2=y+h*f（x,y1）;
y=（y1+y2）/2;
if（i==1||i==3||i==5||i==7||i==9）
disp（y）;
gaijinEuler
0.65730.82911.01471.21361.4250
0.65740.82931.01511.21411.4256
0.00010.00020.00040.00050.0006
经典R-K
h=0.1;
k1=h*f（x,y）;
k2=h*f（x+h/2,y+k1/2）;
k3=h*f（x+h/2,y+k2/2）;
k4=h*f（x+h,y+k3）;
y=y+（k1+2*k2+2*k3+k4）/6;
if（i==0||i==1||i==2||i==3||i==4）
End
R-K：
00000
通过对误差的分析可以看出，用Euler法、改进Euler法、经典R-K法解决同一初值问题，经典R-K法效果最好、精度最好，改进Euler法次之，Euler法最差。
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