高一数学知识要点与公式总结Word下载.docx

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，，。

（1）函数解析式的求法：

①定义法（拼凑）：

②换元法：

③待定系数法：

④赋值法：

（2）函数定义域的求法：

含参问题的定义域要分类讨论;

对于实际问题，在求出函数解析式后;

必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。

（3）函数值域的求法：

①配方法：

转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值;

②逆求法（反求法）：

通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围;

④换元法：

通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想;

⑤三角有界法：

转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域;

⑥基本不等式法：

利用平均值不等式公式来求值域;

⑦单调性法：

函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。

⑧数形结合：

根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。

3）、函数的性质：

函数的单调性、奇偶性、周期性

单调性：

定义：

注意定义是相对与某个具体的区间而言。

判定方法有：

定义法（作差比较和作商比较）导数法（适用于多项式函数）复合函数法和图像法。

应用：

比较大小，证明不等式，解不等式。

奇偶性：

注意区间是否关于原点对称，比较f（x）与f（-x）的关系。

f（x）-f（-x）=0f（x）=f（-x）f（x）为偶函数;

f（x）+f（-x）=0f（x）=-f（-x）f（x）为奇函数。

判别方法：

定义法，图像法，复合函数法应用：

把函数值进行转化求解。

周期性：

若函数f（x）对定义域内的任意x满足：

f（x+T）=f（x）,则T为函数f（x）的周期。

其他：

f（x+a）=f（x-a）,则2a为函数f（x）的周期.

求函数值和某个区间上的函数解析式。

4）、图形变换：

函数图像变换：

（重点）要求掌握常见基本函数的图像，掌握函数图像变换的一般规律。

常见图像变化规律：

（注意平移变化能够用向量的语言解释，和按向量平移联系起来思考）

平移变换y=f（x）y=f（x+a）,y=f（x）+b

注意：

（ⅰ）有系数，要先提取系数。

如：

把函数y=f（2x）经过平移得到函数y=f（2x+4）的图象。

（ⅱ）会结合向量的平移，理解按照向量（m，n）平移的意义。

对称变换y=f（x）y=f（-x）,关于y轴对称

y=f（x）y=-f（x）,关于x轴对称

y=f（x）y=f|x|,把x轴上方的图象保留，x轴下方的图象关于x轴对称

y=f（x）y=|f（x）|把y轴右边的图象保留，然后将y轴右边部分关于y轴对称。

（注意：

它是一个偶函数）

伸缩变换：

y=f（x）y=f（x）,

y=f（x）y=Af（x+）具体参照三角函数的图象变换。

5）、反函数：

（1）定义：

（2）函数存在反函数的条件：

（3）互为反函数的定义域与值域的关系：

;

（4）求反函数的步骤：

①将看成关于的方程，解出，若有两解，要注意解的选择;

②将互换，得③写出反函数的定义域（即的值域）。

（5）互为反函数的图象间的关系：

（6）原函数与反函数具有相同的单调性;

（7）原函数为奇函数，则其反函数仍为奇函数;

原函数为偶函数，它一定不存在反函数。

三、数列

本章是高考命题的主体内容之一，应切实进行全面、深入地复习，并在此基础上，突出解决下述几个问题：

（1）等差、等比数列的证明须用定义证明，值得注意的是，若给出一个数列的前项和，则其通项为若满足则通项公式可写成.

（2）数列计算是本章的中心内容，利用等差数列和等比数列的通项公式、前项和公式及其性质熟练地进行计算，是高考命题重点考查的内容.（3）解答有关数列问题时，经常要运用各种数学思想.善于使用各种数学思想解答数列题，是我们复习应达到的目标.①函数思想：

等差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是的函数，所以等差等比数列的某些问题可以化为函数问题求解.

②分类讨论思想：

用等比数列求和公式应分为及;

已知求时，也要进行分类;

③整体思想：

在解数列问题时，应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势，运用整

体思想求解.

（4）在解答有关的数列应用题时，要认真地进行分析，将实际问题抽象化，转化为数学问题，再利用有关数列知识和方法来解决.解答此类应用题是数学能力的综合运用，决不是简单地模仿和套用所能完成的.特别注意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错.

1）、基本概念：

1、数列的定义及表示方法：

2、数列的项与项数：

3、有穷数列与无穷数列：

4、递增（减）、摆动、循环数列：

5、数列{an}的通项公式an：

6、数列的前n项和公式Sn:

7、等差数列、公差d、等差数列的结构：

8、等比数列、公比q、等比数列的结构：

2）、基本公式：

9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：

an=

10、等差数列的通项公式：

an=a1+（n-1）dan=ak+（n-k）d（其中a1为首项、ak为已知的第k项）当d0时，an是关于n的一次式;

当d=0时，an是一个常数。

11、等差数列的前n项和公式：

Sn=Sn=Sn=

当d0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0;

当d=0时（a10），Sn=na1是关于n的正比例式。

12、等比数列的通项公式：

an=a1qn-1an=akqn-k

（其中a1为首项、ak为已知的第k项，an0）

13、等比数列的前n项和公式：

当q=1时，Sn=na1（是关于n的正比例式）;

当q1时，Sn=Sn=

3）、有关等差、等比数列的结论

14、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、仍为等差数列。

15、等差数列{an}中，若m+n=p+q，则

16、等比数列{an}中，若m+n=p+q，则

17、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、仍为等比数列。

18、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。

19、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列

{anbn}、、仍为等比数列。

20、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。

21、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。

22、三个数成等差的设法：

a-d,a,a+d;

四个数成等差的设法：

a-3d,a-d,,a+d,a+3d

23、三个数成等比的设法：

a/q,a,aq;

四个数成等比的错误设法：

a/q3,a/q,aq,aq3

24、{an}为等差数列，则（c0）是等比数列。

25、{bn}（bn0）是等比数列，则{logcbn}（c0且c1）是等差数列。

4）、数列求和的常用方法：

公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。

关键是找数列的通项结构。

28、分组法求数列的和：

如an=2n+3n

29、错位相减法求和：

如an=（2n-1）2n

30、裂项法求和：

如an=1/n（n+1）

31、倒序相加法求和：

如an=

32、在等差数列中,有关Sn的最值问题常用邻项变号法求解：

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

四、常用的初等函数：

（1）一元二次函数：

一般式：

对称轴方程是顶点为

两点式：

对称轴方程是与轴的交点为

顶点式：

对称轴方程是;

顶点为;

①一元二次函数的单调性：

②二次函数求最值问题：

首先要采用配方法，

Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上，则时：

在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得;

时：

在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得;

Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上，则时：

最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得;

最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得;

有三个类型题型：

（1）顶点固定，区间也固定。

（2）顶点含参数（即顶点变动），区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外。

（3）顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数.

指数运算法则：

指数函数：

y=（a1），图象恒过点（0，1），单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a1和0

（5）对数函数：

对数函数：

y=（a1）图象恒过点（1，0），单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a1和0

（1）比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数，若底数不相同时转化为同底数的指数或对数，还要注意与1比较或与0比较。

五、不等式

1）、不等式的基本性质：

（1）特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。

（2）注意课本上的几个性质，另外需要特别注意：

①若ab0，则。

即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改变。

②如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。

③图象法：

利用有关函数的图象（指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象），直接比较大小。

④中介值法：

先把要比较的代数式与0比，与1比，然后再比较它们的大小

2）、均值不等式：

两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

基本应用：

①放缩，变形;

②求函数最值：

①一正二定三取等;

②积定和小，和定积大。

常用的方法为：

拆、凑、平方;

3）、绝对值不等式：

注意：

上述等号=成立的条件;

4）、常用的基本不等式：

5）、证明不等式常用方法：

（1）比较法：

作差比较：

作差比较的步骤：

⑴作差：

对要比较大小的两个数（或式）作差。

⑵变形：

对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和。

⑶判断差的符号：

结合变形的结果及题设条件判断差的符号。

若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。

（2）综合法：

由因导果。

（3）分析法：

执果索因。

基本步骤：

要证只需证，只需证（4）反证法：

正难则反。

（5）放缩法：

将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。

放缩法的方法有：

⑴添加或舍去一些项，⑵将分子或分母放大（或缩小）⑶利用基本不等式，⑷利用常用结论：

（6）换元法：

换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。

（7）构造法：

通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式;

6）、不等式的解法：

（1）一元一次不等式：

Ⅰ、：

⑴若，则;

⑵若，则;

Ⅱ、：

（2）一元二次不等式：

一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零;

注：

要对进行讨论：

（5）绝对值不等式：

若，则;

（1）.几何意义：

（2）解有关绝对值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方法有：

⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值;

（3）.通过两边平方去绝对值;

需要注意的是不等号两边为非负值。

（4）.含有多个绝对值符号的不等式可用按零点分区间讨论的方法来解。

（6）分式不等式的解法：

通解变形为整式不等式;

（7）不等式组的解法：

分别求出不等式组中，每个不等式的解集，然后求其交集，即是这个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共部分。

（8）解含有参数的不等式：

解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论：

①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性.

②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论.

③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况（有时要分析△），比较两个根的大小,设根为（或更多分、、讨论。

六，三角公式汇总

1）、任意角的三角函数

在角的终边上任取一点，记：

，

正弦：

余弦：

正切：

余切：

正割：

余割：

我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：

如图，与单位圆有关的有向线段、、分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线。

2）、同角三角函数的基本关系式

倒数关系：

商数关系：

，。

平方关系：

3）、诱导公式

⑴、、、、的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。

（口诀：

函数名不变，符号看象限）

⑵、、、的三角函数值，等于的异名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。

函数名改变，符号看象限）

4）、和角公式和差角公式

5）、二倍角公式

二倍角的余弦公式有以下常用变形：

（规律：

降幂扩角，升幂缩角）

6）、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式）

万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切来表示。

7）、和差化积公式

了解和差化积公式的推导，有助于我们理解并掌握好公式：

两式相加可得公式⑴，两式相减可得公式⑵。

两式相加可得公式⑶，两式相减可得公式⑷。

8）、积化和差公式

我们可以把积化和差公式看成是和差化积公式的逆应用。

9）、辅助角公式

其中：

角的终边所在的象限与点所在的象限相同，

10）、正弦定理

（为外接圆半径）

11）、余弦定理

七、平面向量

1.基本概念：

向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。

2.加法与减法的代数运算：

（1）.

（2）若a=（）,b=（）则ab=（）.

向量加法与减法的几何表示：

平行四边形法则、三角形法则。

向量加法有如下规律：

+=+（交换律）;

+（+c）=（+）+c（结合律）;

+0=+（-）=0.

3.实数与向量的积：

实数与向量的积是一个向量。

（1）||=||

（2）当0时，与的方向相同;

当0时，与的方向相反;

当=0时，=0.

（3）若=（），则=（）.

两个向量共线的充要条件：

（1）向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b=.

（2）若=（）,b=（）则‖b.

平面向量基本定理：

若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使得=e1+e2.

4.P分有向线段所成的比：

设P1、P2是直线上两个点，点P是上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数使=，叫做点P分有向线段所成的比。

当点P在线段上时，当点P在线段或的延长线上时，

分点坐标公式：

5.向量的数量积：

（1）.向量的夹角：

（2）.两个向量的数量积：

（3）.向量的数量积的性质：

（4）.向量的数量积的运算律：

6.主要思想与方法：

本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等。

由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。

八、立体几何

1.平面的基本性质：

掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。

能够用斜二测法作图。

2.空间两条直线的位置关系：

平行、相交、异面的概念;

会求异面直线所成的角和异面直线间的距离;

证明两条直线是异面直线一般用反证法。

3.直线与平面

①位置关系：

平行、直线在平面内、直线与平面相交。

②直线与平面平行的判断方法及性质,判定定理是证明平行问题的依据。

③直线与平面垂直的证明方法有哪些?

④直线与平面所成的角：

关键是找它在平面内的射影，范围是{00.900}

⑤三垂线定理及其逆定理：

每年高考试题都要考查这个定理.三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系与空间图形的度量.如：

证明异面直线垂直，确定二面角的平面角，确定点到直线的垂线.

4.平面与平面

（1）位置关系：

平行、相交，（垂直是相交的一种特殊情况）

（2）掌握平面与平面平行的证明方法和性质。

（3）掌握平面与平面垂直的证明方法和性质定理。

尤其是已知两平面垂直，一般是依据性质定理，可以证明线面垂直。

（4）两平面间的距离问题点到面的距离问题

（5）二面角。

二面角的平面交的作法及求法：

①定义法，一般要利用图形的对称性;

一般在计算时要解斜三角形;

②垂线、斜线、射影法，一般要求平面的垂线好找，一般在计算时要解一个直角三角形。

③射影面积法，一般是二面交的两个面只有一个公共点，两个面的交线不容易找到时用此法?

九、三角形的面积公式

（两边一夹角）

与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。

金代元好问《示侄孙伯安》诗云：

“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。

”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。

清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。

可见，“教师”一说是比较晚的事了。

如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。

辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。

（为内切圆半径）

海仑公式（其中）

宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。

至元明清之县学一律循之不变。

明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。

到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。

其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。

而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。

“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。

于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。

在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。