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空气中PM2.5问题的建模研究

摘要

空气质量问题始终是政府、环境保护部门和全国人民关注的热点问题，因此，对空气质量的监测、预报和控制工作显得尤为重要。

本文通过建立相关因素分析模型、PM2.5的时空分布及污染评估模型、基于满意度的最优化模型和多目标非线性规划模型等对空气质量监测指标——对人类健康危害极大的细颗粒物PM2.5的浓度进行深入研究分析。

对于问题一，在关于PM2.5的相关因素分析中，众多的因素对PM2.5有无统计上的联系，直接观察无法得到结论。

因此本文构建了Pearson相关系数模型，通过积差方法计算相关系数，以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差的乘积来反映两变量之间相关程度，并通过SPSS软件进行相关性分析从而给出6个基本监测指标的相关性分析。

对于问题二，要求描述该地区PM2.5的时空分布及其规律，并结合环境保护部新修订的《环境空气质量标准》分区进行污染评估。

用EXCEL绘制市13个监测点的PM2.5含量随时间变化图，并选取两组方差最大的地区绘制它们的PM2.5含量随时间变化图。

根据这两个图分析该地区PM2.5的时空分布及其规律，并分区进行污染评估。

对于问题三，空气质量的控制管理主要包括综合治理和专项治理两个方面，实际生活中我们采用二者结合的方案逐年达到治理目标。

为平衡预定PM2.5减排计划和投入经费合理化要求，本节建立基于满意度的最优化模型和多目标非线性规划模型，从而给出五年投入总经费和逐年经费投入的合理预算计划。

关键词：

Pearson相关因素模型PM2.5的时空分布及污染评估模型基于满意度的最优化模型多目标非线性规划模型SPSS软件

一、问题重述

空气质量问题始终是政府、环境保护部门和全国人民关注的热点问题，因此，对空气质量的监测、预报和控制工作显得尤为重要，国家和地方政府均制定了相应的政策、法规和管理办法。

启用空气质量指数AQI作为新的空气质量监测指标，以代替原来的空气质量监测指标――空气污染指数API（AirPollutionIndex）AQI作为无量纲指数，它的分项监测指标为6个基本监测指标（二氧化硫

、二氧化氮

、可吸入颗粒物PM10、细颗粒物PM2.5、臭氧

和一氧化碳CO等6项）。

新标准中，首次将产生灰霾的主要因素——对人类健康危害极大的细颗粒物PM2.5的浓度指标作为空气质量监测指标[2]。

新监测标准的发布和实施，将会对空气质量的监测，改善生存环境起到重要的作用。

针对空气质量问题的研究，本题主要对如下三个问题进行讨论研究：

一、关于PM2.5的相关因素分析：

对AQI中6个基本监测指标的相关与独立性进行定量分析，尤其是对其中PM2.5（含量）与其它5项分指标及其对应污染物（含量）之间的相关性及其关系进行分析。

二、PM2.5的分布与演变及应急处理：

描述该地区PM2.5的时空分布及其规律，并结合环境保护部新修订的《环境空气质量标准》分区进行污染评估。

三、空气质量的控制管理根据要求给出合理的PM2.5年平均治理计划，即给出每年的全年年终平均治理指标。

为数据1所在地区设计有效的专项治理计划，使得既达到预定PM2.5减排计划,同时使经费投入较为合理，要求你给出五年投入总经费和逐年经费投入预算计划，并论述该方案的合理性。

二、问题分析

问题一要求对AQI中6个基本监测指标的相关与独立性进行定量分析，尤其是对其中PM2.5（含量）与其它5项分指标及其对应污染物（含量）之间的相关性及其关系进行分析。

由于PM2.5的影响因素太多，直接观察无法得到结果，因此本文建立Pearson相关系数模型，通过两个离差的乘积来反映两变量之间相关程度。

问题二要求描述该地区PM2.5的时空分布及其规律，并结合环境保护部新修订的《环境空气质量标准》分区进行污染评估。

根据对附件2、附件3中的数据的分析，构建PM2.5的时空分布及污染评估模型，由于高压开关厂和小寨地区的PM2.5含量数据方差最大，因此画出其PM2.5随时间的变化规律图，以研究PM2.5的空间变化问题。

用EXCEL分别作出13个监测点PM2.5含量的平均值

，按照国家环境保护部新修订的《环境空气质量标准》,对13个监测点进行环境空气功能分区与评估

。

问题三要求给出合理的PM2.5年平均治理计划、五年投入总经费以及逐年经费投入预算计划，通过构建效用函数来表明规划决策的满意度，治理满意度F越高，则说明治理方案越合理。

减少PM2.5的排放与投入总经费最少这两个约束条件之间存在矛盾性，不能够同时满足，因此本题为多目标规划问题，分别给出对各目标的分析。

同时，为简化多目标非线性函数的求解，我们采用主要目标法将多目标非线性函数转化为以投入总经费最少为主要目标的单目标规划

，建立模糊多目标非线性规划模型，从而给出五年投入总经费和逐年经费投入的合理预算计划。

三、问题假设

1、假设每年各自减少的年平均浓度符合一个递减等比数列，其等比数列的公比为q。

2、假设忽略对PM2.5产生影响的其他因素，仅考虑PM2.5的专项治理和综合治理问题。

四．符号说明

符号

解释说明

皮尔逊相关系数

表示第i年减少的年平均浓度

为关于

的效用函数

表示为PM2.5减少的年平均浓度为

的前提下综合治理的满意度

投入总经费为

表示经专项治理PM2.5减少的年平均浓度

注：

在此仅给出主要符号说明，具体细分符号论文过程中会给出详细说明。

五、模型的建立与求解

5.1PM2.5的相关因素分析模型

5.1.1相关性分析

对于众多的因素对于PM2.5有无统计上的联系，直接观察是得不到结论的，所以我们使用了Pearson相关系数模型，相关系数是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度。

，

（1）

，

（2）

我们使用了附件一中的数据，为了简化计算，在这里我们使用了SPSS软件进行相关性分析，得到的结论如下表5-1所示：

表5-1描述性统计量

均值

标准差

N

二氧化硫

28.19

17.724

238

二氧化氮

63.11

24.475

可吸入颗粒物

79.16

33.129

236

一氧化碳

25.81

14.110

臭氧

52.05

33.795

PM2.5

108.94

74.696

表5-2相关性

Pearson相关性

1

.807**

.678**

.659**

.726**

-.179**

显著性（双侧）

.000

.006

.727**

.626**

.734**

-.063

.336

.586**

.779**

-.069

.295

.822**

-.381**

-.352**

**.在.01水平（双侧）上显著相关。

红色字体标注的为我们所需要的结果

结果分析：

由运行结果可知，PM2.5与二氧化硫、二氧化氮、可吸入颗粒物、一氧化碳、臭氧均显著相关，其Pearson相关系数分别为0.726、0.734、0.779、0.822、-0.352，则表明PM2.5与二氧化硫、二氧化氮、可吸入颗粒物、一氧化碳呈显著正相关；

与臭氧呈负相关。

PM2.5的分布与演变及应急处理

5.2.1总体思路：

该问题要求描述该地区PM2.5的时空分布及其规律，并结合环境保护部新修订的《环境空气质量标准》分区进行污染评估。

用excel绘制市13个监测点的PM2.5含量随时间变化图，并选取两组方差最大的地区绘制它们的PM2.5含量随时间变化图。

根据这两图来分析该地区PM2.5的时空分布及其规律，并分区进行污染评估。

5.2.2PM2.5的时空分布及污染评估模型：

步骤一研究PM2.5随时间变化问题：

由excel绘制13个监测点的PM2.5含量随时间变化图如图1：

图113个监测点的PM2.5含量随时间变化图

从下图可以看出13个监测点PM2.5数据变化趋势和幅度基本一致，而且随着时间的推移在波动中呈逐渐下降趋势。

且可以看出冬季PM2.5的含量明显高于春季，说明季节因素对PM2.5有很大影响。

而季节因素主要影响风向变化，由此可推断出风向也是影响PM2.5含量的重要因素。

步骤二研究PM2.5随空间间变化问题：

由于高压开关厂和小寨地区的PM2.5含量数据方差最大，因此画出其PM2.5随时间的变化规律图，以研究PM2.5的空间问题，变化图2如所示。

由图可看出，小寨的PM2.5含量比高压开关厂明显滞后。

查阅资料得知高压开关厂位于西面，距离市中心约5km，小寨位于正南方向，距离市中心约3km。

由于地理因素的影响，全年盛行西北风，将正处于小寨西北方向的高压开关厂的污染物带至小寨，对这里的空气质量造成了较大影响。

图2高压开关厂和小寨地区的PM2.5随时间变化图

步骤三用excel分别作出13个监测点PM2.5含量的平均值

，如下表所示：

表5-3各个监测点PM2.5含量的平均值

高压开关厂

兴庆小区

纺织城

小寨

市人民体育场

高新西区

经开区

214.893805

195.5333

189.4636

176.1363636

206.1414141

212.3818

197.89

长安区

阎良区

临潼区

曲江文化集团

广运潭

草滩

全市平均

179.872727

191.8455

180.2449

183.8990826

205.4205607

211.5405

195.0522

由上表可得：

高压开关厂的PM2.5含量是13个监测站中最大的；

市人民体育场、广运潭、草滩PM2.5含量也较高；

小寨、临潼区的PM2.5含量较低。

步骤四按照国家环境保护部新修订的《环境空气质量标准》,对13个监测点进行环境空气功能分区与评估

则一级区为；

曲江文化集团、广运潭、草滩；

二级区为：

高压开关厂、兴庆小区、纺织城、小寨、高新西区、市人民体育场、经开区、长安区、阎良区、临潼区。

市大气环境中的可吸入颗粒物含量高，13个监测点pm2.5超标现象均不低于70%。

出现在高压开关厂超标率甚至高达88.6%，市人民广场超标率达84%，可见工业污染、商业区人流、车流多，绿化率低导致了这一现象的出现。

高新技术开发区、旅游度假区的绿化率高，工业企业的排污量少，可吸入颗粒物的年日均值较少。

上述分析可见，研究区域围的大气环境质量最差的区域出现在工业区和商业区，高新技术开发区和旅游度假区的空气质量较好，但全市PM2.5质量普遍不好。

5.3空气质量的控制管理

5.3.1总体思路

空气质量的控制管理主要包括综合治理和专项治理两个方面，实际生活中我们采用二者结合的方案逐年达到治理目标。

5.3.2基于满意度的最优化模型

步骤一根据未来五年逐年减少PM2.5的年平均浓度这一问题要求，本节假设每年各自减少的年平均浓度符合一个递减等比数列，其等比数列的公比为q。

本问题属于规划与决策分析问题，可以通过构建效用函数

来表明规划决策的满意度。

PM2.5减少的年平均浓度越高，决策部门越满意，但是同时当年投入的治理总经费就会相对较高，因此可取效用函数：

（3）

表示第i年减少的年平均浓度，系数

通过“高频滤波系统中下限截止频率”的计算方法确定为0.2。

步骤二假设治理满意度为F，满意度越高，则说明治理方案越合理，则未来五年的最大满意度表示为

Max

（4）

其中，

表示第i年减少的年平均浓度，

的效用函数，

的前提下，综合治理的满意度。

步骤三根据上述对最大满意度的目标分析，构建基于满意度

的目标规划函数为：

，（5）

（6）

运用Lingo编程（见附件2）可求最优结果为：

最大满意度为99.59%，逐年减少上年减少量的95.31%，未来五年的年平均浓度治理计划如表所示：

表5-4未来五年PM2.5的具体年平均浓度治理计划表

年份

该年PM2.5年平均减少的浓度（单位为

）

该年年终PM2.5要求达到的年平均浓度（单位为

第一年

53.8165

226.1835

第二年

51.29264

174.89086

第三年

48.88714

126.00375

第四年

46.59445

79.40928

第五年

44.40928

35

5.3.3模糊多目标非线性规划模型

经上述分析可知，减少PM2.5的排放与投入总经费最少这两个约束条件之间存在矛盾性，不能够同时满足，因此本小题为多目标非线性规划问题

，下面是对各目标的分析：

目标一投入总经费最少

根据题目要求，本题忽略对PM2.5产生影响的其他因素，仅考虑PM2.5的专项治理和综合治理问题。

假设投入总经费为

，专项治理和综合治理投入的费用分别为

则投入的总费用最少可表示为

Min

（7）

，

表示第i年经综合治理PM2.5减少的年平均浓度，

表示经专项治理PM2.5减少的年平均浓度。

目标二PM2.5减排计划满意度最大化

经分析可知，影响PM2.5减排计划的主要因素为专项治理和综合治理的投入费用，构建关于专项治理和综合治理的总满意度函数F，总的满意度越高，说明PM2.5的减排计划越合理，则未来五年PM2.5减排计划的实施满意度最大可表示为

Max

（8）

其中，F表示综合治理和专项治理下的满意度，

表示综合治理的效用函数，

表示专项治理下的效用函数，

表示未来五年综合治理下的满意度，

表示未来五年专项治理下的满意度。

模糊多目标非线性规划模型的建立

基于上述的多目标分析，结合相关约束条件，构造多目标非线性规划函数：

（9）

5.3.4模型的求解

为简化多目标非线性函数的求解，采用主要目标法将多目标非线性函数转化为以投入总经费最少为主要目标的单目标规划

，简化后的其他约束不变，仅考虑以下变化、

>

b（10）

b的取值影响着满意度F的大小，本文经综合考虑，取b=90%,运用Lingo编程（见附件2）可求最优结果为：

在保证满意度的前提下，投入治理的总经费最少为64.03053百万单位，q为1，未来五年具体的投入总经费和逐年经费投入预算计划表如下：

表5-5未来五年综合治理和专项治理投入经费的年预算表

该年综合治理投入经费（百万单位）

该年专项治理投入经费（百万单位）

0.8211

12.005

合计

4.1055

60.025

六、模型评价

基于Pearson相关系数的统计推断对数据的分布类型是很敏感的，不论变量之间的联合概率密度函数是不是正态的，Pearson相关系数都是用来衡量两个随机变量之间的线性相关程度的。

对于二元正态数据，样本的相关系数是总体相关系数的极大似然估计，并且具有渐进无偏性和有效性，也即是说在数据来自正态分布，且样本大小适中或是足够大的时候，不可能构造一个比样本相关相关系数更加精确的量来估计变量之间的相关性。

对于非正态总体，样本相关系数依然是渐进无偏的，但是可能不是有效的估计。

只要样本均值、方差、协方差是一致的（可以通过应用大数定律来保证），样本相关系数是总体相关系数的一个一致估计量。

PM2.5的时空分布及污染评估模型主要以图表的形式描述该地区PM2.5的时空分布及其规律。

一方面，图表方式的表达，更加直观的表现了模型的结果，但是另一方面，仅考虑了平面上PM2.5的的浓度大小，并没有考虑温度、季节湿度等其他方面的影响。

多目线性标规划是优化问题的一种,由于其存在多个目标,要求各目标同时取得较优的值,使得求解的方法与过程都相对复杂。

通过将目标函数进行模糊化处理,可将多目标问题转化为单目标,借助工具软件,从而达到较易求解的目标。

七、模型推广

由于决策环境的不确定性和决策者对偏好信息的不能准确表达,模糊优化理论应运而生。

与此对应的,模糊多目标问题也被越来越多的学者研究。

在现实生活中,模糊多目标规划问题也是各种各样的,如模糊多目标线性规划,模糊多目标整数规划,模糊多目标非线性规划等。

模糊多目标规划模型理论已经非常成熟了,关键在于求解模糊多目标规划

，即模糊多目标规划的重点在于如何将此模型转化为确定性和单目标规划问题。

将模糊数转化为确定的区间数,利用区间数将模糊多目标规划转化为两个确定型的多目标规划。

参考文献

[1]雪峰，洁，奎，袁泉,等，数学的实践与认识，空气中PM2.5问题的建模研究，第44卷第15期，2014（08）

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url=huMw8SX3zj0W8iCCSnJwTkca62v5qrqSbuC6pA5SYQiV4Sg5PeyDRriORcuVXzD5WFm-FUiqiNQVsWhmLXkgD7JUM6MPKcl3A6hF3REzW2C2015年8月11日

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url=sNrxM1Z7bMmDx6_sKD1wV7ji8387L8gMKNLKf2SFE4c3Dt2hyDP7_3cOqtJZ9D2MB4xhrHpabXIRjluKUP00GdGnVOxIuY_k0EC-VGapkim2015年8月14日

[6]肖蓉，等，模糊多目标规划模型及其应用，西南石油大学，49-50，2014（06）