初中数学规律题总结精品文档.docx

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初中数学规律题解题基本方法

（一）数列的找规律

初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，本文就此类题的解题方法进行探索：

一、基本方法——看增幅

（一）如增幅相等（此实为等差数列）：

对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n个数可以表示为：

a+（n-1）b，其中a为数列的第一位数，b为增幅，（n-1）b为第一位数到第n位的总增幅。

然后再简化代数式a+（n-1）b。

例：

4、10、16、22、28……，求第n位数。

分析：

第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅相都是6，所以，第n位数是：

4+（n-1）×6＝6n－2

（二）如增幅不相等，但是，增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。

如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。

此种数列第n位的数也有一种通用求法。

基本思路是：

1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅；

2、求出第1位到第第n位的总增幅；

3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。

举例说明：

2、5、10、17……，求第n位数。

分析：

数列的增幅分别为：

3、5、7，增幅以同等幅度增加。

那么，数列的第n-1位到第n位的增幅是：

3+2×（n-2）=2n-1，总增幅为：

［3+（2n-1）］×（n-1）÷2＝（n+1）×（n-1）＝n2-1

所以，第n位数是：

2+n2-1=n2+1

此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察凑的方法求出，方法就简单的多了。

（三）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。

此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。

二、基本技巧

（一）标出序列号：

找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。

找出的规律，通常包序列号。

所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。

例如，观察下列各式数：

0，3，8，15，24，……。

试按此规律写出的第100个数是。

解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个数。

我们把有关的量放在一起加以比较：

给出的数：

0，3，8，15，24，……。

序列号：

1，2，3，4，5，……。

容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。

因此，第n项是n2-1，第100项是1002-1。

（二）公因式法：

每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与n2、n3,或2n、3n,或2n、3n有关。

例如：

1，9，25，49，（），（），的第n为（2n-1）2

（三）看例题：

A：

2、9、28、65.....增幅是7、19、37....，增幅的增幅是12、18答案与3有关且............即：

n3+1

B：

2、4、8、16.......增幅是2、4、8.......答案与2的乘方有关即：

2n

（四）有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用

（一）、

（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系。

再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。

例：

2、5、10、17、26……，同时减去2后得到新数列：

0、3、8、15、24……，

序列号：

1、2、3、4、5

分析观察可得，新数列的第n项为：

n2-1，所以题中数列的第n项为：

（n2-1）+2＝n2+1

（五）有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找出规律，并恢复到原来。

例：

4，16，36，64，？

，144，196，…？

（第一百个数）

同除以4后可得新数列：

1、4、9、16…，很显然是位置数的平方。

（六）同技巧（四）、（五）一样，有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数（一般为1、2、3）。

当然，同时加、或减的可能性大一些，同时乘、或除的不太常见。

（七）观察一下，能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列，再分别找规律。

三、基本步骤

先看增幅是否相等，如相等，用基本方法

（一）解题。

如不相等，综合运用技巧

（一）、

（二）、（三）找规律

如不行，就运用技巧（四）、（五）、（六），变换成新数列，然后运用技巧

（一）、

（二）、（三）找出新数列的规律

最后，如增幅以同等幅度增加，则用用基本方法

（二）解题

四、【典型例题】

例1观察下列算式：

……

用你所发现的规律写出的末位数字是__________。

观察下列式子：

；；；……

请你将猜想得到的式子用含正整数n的式子表示来__________。

五、图形找规律

小时侯我们都玩过搭积木的游戏，今天我们不妨重拾童年趣事，利用手中的火柴棒搭建一些常见的图形，探索规律。

合作交流，探索规律：

活动一：

探索常见图形的规律，用火柴棒按下图的方式搭三角形

  ⑴填写下表：

 ⑵照这样的规律搭建下去，搭n个这样的三角形需要多少根火柴棒？

★注意引导学生概括“探索规律”的一般步骤：

①     寻找数量关系；

②     用代数式表示规律

③     验证规律。

★练习：

四棱柱有几个顶点、几条棱、几个面？

五棱柱呢？

十棱柱呢？

n棱柱呢？

活动二：

探索具体情景下事物的规律

问题1.若有两张长方形的桌子，把它们拼成一张大的长方形桌子，有几种拼法？

问题2.若按图2方式摆放桌子和椅子

⑴一张桌子可坐6人，2张桌子可坐      人。

⑵按照上图方式继续排列桌子，完成下表：

问题3.如果按图3的方式将桌子拼在一起

⑴2张桌子拼在一起可坐多少人？

3张呢？

n张呢？

⑵教室有40张这样的桌子，按上图方式每5张拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐   人。

⑶在⑵中，改成每8张桌子拼成1张大桌子，则共可坐  人。

 活动三：

探索图表的规律

下面是2000年八月份的日历：

⑴日历中的绿色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？

⑵这个关系对其它这样的方框成立吗？

你能用代数式表示这个关系吗？

⑶这个关系对任何一个月的日历都成立吗？

为什么？

⑷你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗？

用代数式表示。

⑸你还能提出那些问题？

4图3—4①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点，得到图3—4②；再分别连结图3—4②中间的小三角形三边的中点，得到图3—4③，按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形个数的规律，完成下列问题。

……

（1）将下表填写完整

图形编号

1

2

3

4

5

…

三角形个数

1

5

9

…

（2）在第n个图形中有____________________个三角形（用含n的式子表示）。

例6．如图，把一个面积为1的正方形分等分成两个面积为的矩形，接着把面积为的矩形等分成两个面积为的正方形，再把面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，如此进行下去，试利用图形提示的规律计算：

例7．把棱长为的正方体摆成如图的形状，从上向下数，第一层1个，第二层3个……按这种规律摆放，第五层的正方体的个数是

例8.观察下列图形并填表。

个数

1

2

3

4

5

6

7…

周长

5

8

11

14

…

六、巩固练习题

1．用黑白两颜色的正六边形地面砖按如图所示规律，拼成若干个图案：

（1）第4个图案中有白色地面砖块；

（2）第个图案中有白色地面砖块。

……

2．下列每个图形都是若干个棋子围成的正方形图案，图案的每条边（包括两个顶点）上都有个棋子，每个图案棋子总数为S，按下图的排列规律推断，S与之间的关系可以用式子来表示。

……

3．观察与分析下面各列数的排列规律，然后填空。

①5，9，13，17，，。

②4，5，7，11，19，，。

③10，20，21，42，43，，，174，175。

④4，9，19，34，54，，，144。

⑤45，1，43，3，41，5，，，37，9。

⑥6，1，8，3，10，5，12，7，，。

⑦0，1，1，2，3，5，，。

⑧180，155，131，108，，。

⑨5，15，45，135，，。

⑩60，63，68，75，，。

4．你能很快算出吗？

为了解决这个问题，我们考察个位上的数为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成10•+5,即求的值（为自然数），你试分析这些简单情况，从中控索其规律，并归纳，推测出结论（在下面空格内填上你的控索结果）。

通过计算，控索规律：

可写成

可写成

可写成

可写成

…………

可写成

可写成

从第

（1）的结果，归纳、推测得：

根据上面的归纳、推测，请算出：

5．观察下列几个算式，找出规律：

1＋2＋1=4

1＋2＋3＋2＋1=9

1＋2＋3＋4＋3＋2＋1=16

1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1=25

……

利用上面规律，请你迅速算出：

①1＋2＋3＋…＋99＋100＋99＋…＋3＋2＋1=

②据①你会算出1＋2＋3＋…＋100是多少吗？

③据上你能推导出1＋2＋3＋…＋的计算公式吗？

12．给出下列算式：

，，，，…，观察上面的一系列等式，你能发现什么规律？

用代数式表示这个规律是。

6．研究下列算式，你会发现有什么规律？

；；；……

请将你找出的规律用公式表示出来：

。

7．如图的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律填写：

所表示的数：

。

所表示的数：

。

8．因为，，

那么。

9．将1，，，，，，…按一定规律排成下表：

试找出在第行第个数

10．如下图：

（1）

（2）

11．把1到200的数像下表那样排列，用正方形框子围住横的3个数，竖的3个数，这9个数的和是162。

如果在表的另外的地方，也用正方形围住另外的9个数。

当正方形左上角的数是100时，这9个数的和是多少？

当正方形中9个数的和是1557时，最大的数是多少？

12．将1至1001个数如下图的格式排列。

用一个长方形框入12个数，要使这12个数的和等于

（1）1986；

（2）2529；（3）1989是否办得到？

如果办不到，简单说明理由：

如果办得到，写出长方形框里的最大的数和最小的数。

13．（2010年山东省青岛市）如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要枚棋子，摆第n个图案需要枚棋子．

【关键词】规律

14、（2010盐城）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是

A．38B．52C．66D．74

关键词：

数字排列规律

15．（2010年门头沟区）如图，，过上到点的距离分别为的点作的垂线与相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为．

则第一个黑色梯形的面积；观察图中的规律，

第n（n为正整数）个黑色梯形的面积．

【关键词】规律题、梯形面积

16.（2010年山东省济南市）如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由点开始按的顺序沿菱形的边循环运动，行走2010厘米后停下，则这只蚂蚁停在点．

【关键词】点的移动

17、（2010年毕节地区）搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②，图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要根钢管．