中考数学压轴题专题初中数学旋转的经典综合题及详细答案docx.docx

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中考数学压轴题专题初中数学旋转的经典综合题及详细答案

一、旋转

1．操作与证明：

如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一

起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．

（1）连接AE，求证：

△AEF是等腰三角形；猜想与发现：

（2）在

（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论．结论1：

DM、MN的数量关系是；

结论2：

DM、MN的位置关系是；拓展与探究：

（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则

（2）中的两个结论还成立吗？

若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

【答案】

（1）证明参见解析；

（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析.

【解析】

试题分析：

（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出

△ABE≌△ADF，得到AE=AF，从而证明出△AEF是等腰三角形；

（2）DM、MN的数量关

系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置

关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角

相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出

MN∥AE，MN=AE，利用三角形全等证出AE=AF，而DM=AF，从而得到DM，MN数量相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关

系得到∠DMN=∠DGE=90°．从而得到DM、MN的位置关系是垂直.

试题解析：

（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，∵△CEF

是等腰直角三角形，∠C=90°，∴CE=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF，

∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；

（2）DM、MN的数量关系是相等，

DM、MN的位置关系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF=2DM，∵MN是△AEF的中位线，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM，

AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE，

∴∠DMN=∠FMN+∠DMF=∠DAF+∠BAE+∠FAE=∠BAD=90，°∴DM⊥MN；（3）

（2）中的两个结论还成立，连接AE，交MD于点G，∵点M为AF的中点，点N为EF的中点，

∴MN∥AE，MN=AE，由已知得，AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF，CE=CF，又

∵BC+CE=CD+CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，在Rt△ADF中，∵点M为AF的

中点，∴DM=AF，∴DM=MN，∵△ABE≌△ADF，∴∠1=∠2，∵AB∥DF，∴∠1=∠3，同理可证：

∠2=∠4，∴∠3=∠4，∵DM=AM，∴∠MAD=∠5，

∴∠DGE=∠5+∠4=∠MAD+∠3=90，°∵MN∥AE，∴∠DMN=∠DGE=90，°∴DM⊥MN．所以

（2）中的两个结论还成立.

考点：

1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.三角形中位线定理；4.旋转的性质．

2．（操作发现）

（1）如图1，△ABC为等边三角形，先将三角板中的

60°角与∠ACB重合，再将三角板绕

点C按顺时针方向旋转（旋转角大于

点D，在三角板斜边上取一点F，使

0°且小于30°），旋转后三角板的一直角边与

CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=30°，连接

AB交于

AF，

EF．

①求∠EAF的度数；

②DE与EF相等吗？

请说明理由；（类比探究）

（2）如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，先将三角板的90°角与∠ACB重合，

再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于45°），旋转后三角板的一直

角边与AB交于点D，在三角板另一直角边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使

∠DCE=45，°连接AF，EF．请直接写出探究结果：

①∠EAF的度数；

②线段AE，ED，DB之间的数量关系．

【答案】

（1）①120°②DE=EF；

（2）①90°②AE2+DB2=DE2【解析】

试题分析：

（1）①由等边三角形的性质得出AC=BC，∠BAC=∠B=60°，求出

∠ACF=∠BCD，证明△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=60，°求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=120；°

②证出∠DCE=∠FCE，由SAS证明△DCE≌△FCE，得出DE=EF即可；

（2）①由等腰直角三角形的性质得出AC=BC，∠BAC=∠B=45°，证出∠ACF=∠BCD，由SAS证明△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=45°，AF=DB，求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°；

②证出∠DCE=∠FCE，由SAS证明△DCE≌△FCE，得出DE=EF；在Rt△AEF中，由勾股定理得出AE2+AF2=EF2，即可得出结论．

试题解析：

解：

（1）①∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，

∠BAC=∠B=60．°∵∠DCF=60，°∴∠ACF=∠BCD．

在△ACF和△BCD中，∵AC=BC，∠ACF=∠BCD，CF=CD，∴△ACF≌△BCD（SAS），

∴∠CAF=∠B=60，°∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120；°

②DE=EF．理由如下：

∵∠DCF=60°，∠DCE=30，°∴∠FCE=60﹣°30°=30，°∴∠DCE=∠FCE．在△DCE和△FCE中，∵CD=CF，∠DCE=∠FCE，CE=CE，∴△DCE≌△FCE（SAS），∴DE=EF；

（2）①∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AC=BC，

∠BAC=∠B=45．°∵∠DCF=90，°∴∠ACF=∠BCD．在△ACF和△BCD中，∵AC=BC，

∠ACF=∠BCD，CF=CD，∴△ACF≌△BCD（SAS），∴∠CAF=∠B=45，°AF=DB，

∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=90；°

②AE2+DB2=DE2，理由如下：

∵∠DCF=90，°∠DCE=45，°∴∠FCE=90﹣°45°=45，°∴∠DCE=∠FCE．在△DCE和△FCE中，∵CD=CF，∠DCE=∠FCE，CE=CE，∴△DCE≌△FCE（SAS），∴DE=EF．在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2，又∵AF=DB，∴AE2+DB2=DE2．

3．（12

分）如图

1，在等边△ABC中，点

D，E分别在边

AB，AC上，AD=AE，连接

BE，

CD，点

M、N、P分别是

BE、CD、BC的中点．

（1）观察猜想：

图

1中，△PMN的形状是

；

（2）探究证明：

把△ADE绕点

A逆时针方向旋转到图

2的位置，△PMN

的形状是否发生

改变？

并说明理由；

（3）拓展延伸：

把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=1，AB=3，请直接写出△PMN的周长的最大值．

【答案】

（1）等边三角形；

（2）△PMN的形状不发生改变，仍然为等边三角形,理由见解析；

（3）6

【解析】

分析：

（1）如图1，先根据等边三角形的性质得到AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°，则

BD=CE，再根据三角形中位线性质得

1

CE，PN∥AD，PN=

1

PM∥CE，PM=

BD，从而得到

2

2

PM=PN，∠MPN=60°，从而可判断△PMN为等边三角形；

（2）连接CE、BD，如图2，先利用旋转的定义，把

△ABD绕点A逆时针旋转60°可得到

△CAE，则BD=CE，∠ABD=∠ACE，与

（1）一样可得

PM=PN，∠BPM=∠BCE，

∠CPN=∠CBD，则计算出∠BPM+∠CPN=120，°从而得到∠MPN=60，°于是可判断△PMN为

等边三角形．

（3）利用AB﹣AD≤BD≤AB+AD（当且仅当点B、A、D共线时取等号）得到BD的最大值

为4，则PN的最大值为2，然后可确定△PMN的周长的最大值．详解：

（1）如图1．

∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°．

∵AD=AE，∴BD=CE．

∵点M、N、P分别是BE、CD、BC的中点，

11

∴PM∥CE，PM=CE，PN∥AD，PN=BD，

22

∴PM=PN，∠BPM=∠BCA=60，°∠CPN=∠CBA=60，°

∴∠MPN=60，°∴△PMN为等边三角形；

故答案为等边三角形；

（2）△PMN的形状不发生改变，仍然为等边三角形．理由如下：

连接CE、BD，如图2．

∵AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=60°，

∴把△ABD绕点A逆时针旋转60°可得到△CAE，

∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，

与

（1）一样可得PM∥CE，PM=

1

1

CE，PN∥AD，PN=

BD，

2

2

∴PM=PN，∠BPM=∠BCE，∠CPN=∠CBD，

∴∠BPM+∠CPN=∠CBD+∠CBD=∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE=60°+60=120°，°∴∠MPN=60，°∴△PMN为等边三角形．

1

（3）∵PN=BD，∴当BD的值最大时，PN的值最大．

2

∵AB﹣AD≤BD≤AB+AD（当且仅当点B、A、D共线时取等号）

∴BD的最大值为1+3=4，∴PN的最大值为2，∴△PMN的周长的最大值为6．

点睛：

本题考查了旋转的性质：

对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定