02数理逻辑离散数学讲义海南大学共十一讲.docx
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02数理逻辑离散数学讲义海南大学共十一讲
2.数理逻辑MathematicalLogic
2.1命题逻辑propositionallogical
2.1.1命题和命题联结词
2.1.1.1命题statement：
可以判断真假的陈述.
（1）地球是圆的。
p
（2）2+3=5.q
（3）你说英语吗？
（4）3-X=5.
（5）吃两片阿斯匹林！
（6）土星表面温度是华氏800度。
r
（7）明天会出太阳。
s
可以用符号表示命题:
p,q,r,s,t分别表示命题
（1）
（2）（6）（7）。
2.1.1.2复合命题compoundstatement:
用逻辑连接词可以将若干命题联接成复合命题。
（1）地球是圆的并且2+3=5.p∧q
（2）土星表面温度不是华氏800度。
~r
（3）因为地球是圆的，所以明天会出太阳。
p→s
（4）明天不会出太阳，除非2+3=5。
即，明天不会出太阳或2+3=5。
~s∨q
（5）明天出太阳，只要2+3=5。
q→s
（6）明天出太阳，仅当2+3=5。
s→q
2.1.1.3条件命题conditionalstatements
p→qimplication
p前提antecedent,hypothesis.
q结论consequent,conclusion.
逆命题converseoftheimplication
q→p
逆否命题
contrapositiveoftheimplication
~q→~p
p→q~q→~p
2.1.1.4命题变元propositionalvariable
可以代表任意以一个命题的变元符号
p,q,r,s，…
p1,p2,p3，…
2.1.1.5逻辑连接词logicalconnectives
否定negation~~p
合取conjunction∧p∧q
析取disjunction∨p∨q
蕴含implication→p→q
等价equivalence,biconditionalpq
联结词的真值表truthtable
p
q
~p
p∧q
p∨q
p→q
pq
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
2.1.2命题公式propositionalformulas
2.1.2.1命题公式的递归定义
（1）单个命题变元是命题公式。
（2）如果A,B是命题公式，则（~A）,
（A∧B）,（A∨B）,（A→B）,（AB）
都是命题公式。
例A=（（p∧（~q））→（（（~p）∨q）∧q））是命题公式.
可以省略最外层的括号:
A=（p∧（~q））→（（（~p）∨q）∧q）.
规定命题连接词的优先级：
~，∧，∨，→，，左边高于右边。
命题A可以化简为：
A=p∧~q→（~p∨q）∧q.
A可以记作A（p,q），p,q是A中变元.
2.1.2.2命题变元p1,p2,…,pn的赋值
σ（p1,p2,…,pn）
σ（p1,p2,……,pn）=（0,1,1,0,…,1）
也记作
p1σ=0,p2σ=1,p3σ=1,p3σ=0,……,pnσ=1,
一个赋值对应于命题变元的一种真假取值。
n个变元共有2n种不同的赋值。
例.令赋值σ（p1,p2,p3）=（0,1,0）,
计算命题公式
A=p∧~q→（~p∨q）∧q,
B=p→（q→r）的赋值
Aσ=（（p∧~q→（~p∨q）∧q））σ
=0∧~1→（~0∨1）∧0）=1
Bσ=pσ→（qσ→rσ）=0→（1→0）=1
2.1.2.3命题公式的真值表
truthtableofpropositions
A的真值表
p
Q
~p
~q
p∧~q
~p∨q
（~p∨q）∧q
p∧~q→（~p∨q）∧q
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
2.1.2.4命题公式的分类
2.1.2.4.1恒真式重言式tautology
无论命题变元取什么值，命题公式取值都是1（真）的公式。
对任意赋值σ，Aσ=1,A就是恒真式。
2.1.2.4.2恒假式矛盾式
contradiction,absurdity
无论命题变元取什么值，命题公式取值都是0（假）的公式。
对任意赋值σ，Aσ=0,A就是恒假式。
2.1.2.4.3可满足的命题公式contingency
不恒假的命题公式。
存在赋值σ，Aσ=1,A就是可满足的。
2.1.2.5（逻辑）等价公式AB
AB是恒真式。
命题公式A,B具有相同的真值表。
无论公式A,B中的命题变元如何取值,A,B都有相同的真假值。
对任意赋值σ，Aσ=Bσ,A,B就是等价公式。
用真值表可以判定一个公式是否恒真式，恒假式，可满足公式，可以判断两个公式是否等价。
例。
证明下列公式都是恒真式：
（1）p→p
（2）~~p→p
（3）p→（q→p）
（4）（p→（（q→r））→（（p→q）→（p→r））
（5）（~q→~p）→p→q
Proofof（3）.证法1：
真值表法
p
q
Q→p
p→（q→p）
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
证法2：
反证法
设对某个赋值σ，（p→（q→p））σ=0，
则pσ=1且（q→p）σ=0，
因此qσ=1且pσ=0。
但pσ不可能同时取值1和0，矛盾。
于是p→（q→p）不可能取值0，
只能取值1。
p→（q→p）是恒真式。
Theorem1.基本等价公式，逻辑定律
交换律commutativeproperties
1.p∧qq∧p
2.p∨qq∨p
结合律associativeproperties
3.（p∧q）∧rp∧（q∧r）.
4.（p∨q）∨rp∨（q∨r）.
分配律distributiveproperties
5.p∧（q∨r）p∧q∨p∧r.
6.p∨（q∧r）（p∨q）∧（p∨r）.
幂等律idempotentproperties
7.p∨pp.
8.p∧pp.
双重否定propertyofnegation
9．~~pp
DeMorgan’slaw
10.~（p∨q）~p∧~q
11.~（p∧q）~p∨~q
吸收律absorbproperties
12.p∨（p∧q）p
13.p∧（p∨q）p
零一律
14．p∨~p1.
15．p∧~p0.
16．p∨11.
17．p∧1p.
18．p∨0p.
19．p∧00.
Theorem2.
（a）p→q~p∨q
（b）p→q~q→~p
（c）pq（p→q）∧（q→p）
（d）~（p→q）p∧~q
（e）~（pq）（p∧~q）∨（q∧~p）
2.1.3命题公式的等价变换
利用基本等价公式可以作公式的等价变换，（等值运算）把一个公式化为与之等价的另一个公式；
可以将一个公式化简，或化为某种特定形式。
例。
化简命题公式
A=p∧~q→（~p∨q）∧q.
解A~（p∧~q）∨（~p∨q）∧q
（~p∨q）∨（（~p∨q）∧q）
~p∨q
2.1.4对偶公式
dualpropositionsformula
不含联结词→，的命题公式A中，将∨换成∧，将∧换成∨，如果有0，1，就将0换成1，1换成0，所的命题公式称为A的对偶公式,记作A*.
（A*）*=A,即A,A*互为对偶公式.
（p∧q）*=p∨q
（~（p∨q））*=~（p∧q）
（~p∨（q∧r））*=~p∧（q∨r）
Proposition设A,B是两个命题公式，
AB则A*B*。
A是恒真式1，则A*是恒假式0。
A=p∨~p=1A*=p∧~p=0
2.1.5范式normalformulapropositions
2.4.1析取范式
命题变元p1,p2,……,pn的基本合取项
basicconjunctionterms
Q1∧Q2∧……∧Qn
其中每个
Qi=pi或~pi1≤i≤n.
p1p2…pn有2n个基本合取项。
p1p2p3的8个基本合取项为
p1∧p2∧p3，p1∧p2∧~p3，
p1∧~p2∧p3，~p1∧p2∧p3，
p1∧~p2∧~p3，~p1∧~p2∧p3，
~p1∧p2∧~p3，~p1∧~p2∧~p3。
命题变元p1,p2,…,pn的赋值σ（p1,p2,…,pn）对应的基本合取项：
Q1∧Q2∧……∧Qn
其中每个
Qi=piifpiσ=1
Qi=~piifpiσ=0.
设Q1∧Q2∧……∧Qn是命题变元p1,p2,…,pn的一个基本合取项，
σ是p1,p2,…,pn的一个赋值，则
（Q1∧Q2∧……∧Qn）σ=1
当且仅当
Q1∧Q2∧……∧Qn是σ对应的基本合取项。
p1p2p3的8个基本合取项对应的赋值:
p1∧p2∧p3，000m0
p1∧p2∧~p3，001m1
p1∧~p2∧p3，010m2
p1∧~p2∧~p3，011m3
~p1∧p2∧p3，100m4
~p1∧p2∧~p3，101m5
~p1∧~p2∧p3，110m6
~p1∧~p2∧~p3，111m7
若干基本合取项的析取叫析取范式
normaldisjunctionformulas
定理每个可满足的命题公式都等价于唯一一个析取范式。
先给出命题公式的真值表，找出取值为1的所有赋值，这些赋值对应的基本合取项的析取就是所求的析取范式。
也可以通过等价变换得到析取范式：
p→（q→r）~p∨~q∨r~p∧（q∨~q）∧（r∨~r）∨（p∨~p）∧~q∧（r∨~r）∨（p∨~p）∧（q∨~q）∧r
~p∧q∧r∨~p∧~q∧r∨~p∧q∧~r∨~p∧~q∧~r∨p∧~q∧r∨p∧~q∧~r∨~p∧~q∧r∨~p∧~q∧~r∨p∧q∧r∨p∧~q∧r∨~p∧q∧r∨~p∧~q∧r
~p∧q∧r∨~p∧q∧~r∨~p∧~q∧~r∨p∧~q∧r∨p∧~q∧~r∨~p∧~q∧r∨~p∧~q∧~r∨p∧q∧r
2.4.2合取范式
命题变元p1,p2,……,pn的基本析取项
basicdisjunctionterms
Q1∨Q2∨……∨Qn
其中每个
Qi=pi或~pi1≤i≤n.
p1p2…pn有2n个基本合取项。
p1p2p3的8个基本合取项为
p1∨p2∨p3，p1∨p2∨~p3，
p1∨~p2∨p3，~p1∨p2∨p3，
p1∨~p2∨~p3，~p1∨~p∨p3，
~p1∨p2∨~p3，~p1∨~p2∨~p3。
命题变元p1,
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