高中数学导数专题讲义答案版Word下载.docx
《高中数学导数专题讲义答案版Word下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学导数专题讲义答案版Word下载.docx(79页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
(2)已知区间上不单调,转化为导函数在区间上存在变号零点,通常利用分离变量法求解参变量的范围;
(3)已知函数在区间上存在单调递增或单调递减区间,转化为导函数在区间上大于零或小于零有解.六、原函数单调性转化为导函数给区间正负问题的处理方法
(1)参变分离;
(2)导函数的根与区间端点直接比较;
(3)导函数主要部分为一元二次时,转化为二次函数根的分布问题.这里讨论的以一元二次为主。
七、求解函数单调性问题方法提炼:
(1)将函数单调增(减)转化为导函数恒成立;
(2),由(或)可将恒成立转化为(或)恒成立;
(3)由“分离参数法”或“分类讨论”,解得参数取值范围。
【考点分类】考点一、分类讨论求解函数单调性;
【例1-1】
(2015-2016朝阳一模理18)已知函数.(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)当时,都有成立,求的取值范围;
(Ⅲ)试问过点可作多少条直线与曲线相切?
并理由.(Ⅰ)函数的定义域为..
(1)当时,恒成立,函数在上单调递增;
(2)当时,令,得.当时,,函数为减函数;
当时,,函数为增函数.综上所述,当时,函数的单调递增区间为.当时,函数的单调递减区间为,单调递增区间为.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,
(1)当时,即时,函数在区间上为增函数,所以在区间上,,显然函数在区间上恒大于零;
(2)当时,即时,函数在上为减函数,在上为增函数,所以.依题意有,解得,所以.(3)当时,即时,在区间上为减函数,所以.依题意有,解得,所以.综上所述,当时,函数在区间上恒大于零.(Ⅲ)设切点为,则切线斜率,切线方程为.因为切线过点,则.即.………………①令,则.
(1)当时,在区间上,,单调递增;
在区间上,,单调递减,所以函数的最大值为.故方程无解,即不存在满足①式.因此当时,切线的条数为.
(2)当时,在区间上,,单调递减,在区间上,,单调递增,所以函数的最小值为.取,则.故在上存在唯一零点.取,则.设,,则.当时,恒成立.所以在单调递增,恒成立.所以.故在上存在唯一零点.因此当时,过点P存在两条切线.(3)当时,,显然不存在过点P的切线.综上所述,当时,过点P存在两条切线;
当时,不存在过点P的切线.【例1-2】
(2015-2016海淀一模理18)已知函数,.(Ⅰ)求函数的最小值;
(Ⅱ)求函数的单调区间;
(Ⅲ)求证:
直线不是曲线的切线.(Ⅰ)函数的定义域为,当变化时,,的变化情况如下表:
递减极小值递增函数在上的极小值为,所以的最小值为(Ⅱ)解:
函数的定义域为,由(Ⅰ)得,,所以所以的单调增区间是,无单调减区间.(Ⅲ)证明:
假设直线是曲线的切线.设切点为,则,即又,则.所以,得,与矛盾所以假设不成立,直线不是曲线的切线【练1-1】
(2015-2016西城一模理18)已知函数,且.(Ⅰ)求的值及的单调区间;
(Ⅱ)若关于的方程存在两个不相等的正实数根,证明:
.(Ⅰ)对求导,得,所以,解得.故,.令,得.当变化时,与的变化情况如下表所示:
00↘↗所以函数的单调减区间为,单调增区间为.(Ⅱ)解:
方程,即为,设函数.求导,得.由,解得,或.所以当变化时,与的变化情况如下表所示:
0↘↗所以函数在单调递减,在上单调递增.由,得.又因为,所以.不妨设(其中为的两个正实数根),因为函数在单调递减,且,,所以.同理根据函数在上单调递增,且,可得,所以,即.【练1-2】
(2011-2012石景山一模文18)已知函数.(Ⅰ)若函数的图象在处的切线斜率为,求实数的值;
(Ⅲ)若函数在上是减函数,求实数的取值范围.(Ⅰ)…………1分由已知,解得.…………3分(II)函数的定义域为.
(1)当时,,的单调递增区间为;
……5分
(2)当时.当变化时,的变化情况如下:
-+极小值由上表可知,函数的单调递减区间是;
单调递增区间是.…………8分(II)由得,…………9分由已知函数为上的单调减函数,则在上恒成立,即在上恒成立.即在上恒成立.…………11分令,在上,所以在为减函数.,所以.…………14分【练1-3】
(2015-2016朝阳期末文19)已知函数,.(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)当时,试判断函数是否存在零点,并说明理由;
(Ⅲ)求函数的单调区间.函数的定义域:
..(Ⅰ)当时,..有,即切点(1,3),.所以曲线在点处切线方程是,即.(Ⅱ)若,..令,得(舍),.-+↘极小值↗则.所以函数不存在零点.(Ⅲ).当,即时,-+↘极小值↗当,即时,的单调增区间是,;
当,即时,+-+↗极大值↘极小值↗当,即时,++↗↗+-+↗极大值↘极小值↗综上时,的单调增区间是;
减区间是.当时,的单调增区间是,;
减区间是.当时,的单调增区间是;
当时,的单调增区间是,;
减区间是.【练1-4】
(2015-2016丰台期末文20)设函数的图象与直线相切于点.(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅲ)设函数,对于,,使得,求实数的取值范围.(Ⅰ)∵函数的图象与直线相切于点,∴,.∵,∴解得.∴.(Ⅱ),令,得或;
令,得.∴的单调递增区间为,;
单调递减区间为.…8分(Ⅲ)记在上的值域为,在上的值域为,∵对于,,使得,∴.由(Ⅱ)得:
在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,,,,,∴.∵,∴.①当时,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,∴的最小值为或,的最大值为或.∵,且,∴或,∴或,即或.又∵,∴.②当时,在上单调递增,上单调递减,∴的最小值为或,的最大值为.∵,且,∴,∴,即.综上所述:
或.【练1-5】
(2015-2016朝阳二模文20)已知函数.(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)当时,若在区间上恒成立,求的取值范围.(Ⅰ)函数的定义域为,.
(1)当时,,令,解得,则函数的单调递增区间为令,解得,函数单调递减区间为.所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)当时,,令,解得或,则函数的单调递增区间为;
令,解得,函数单调递减区间为.所以函数的单调递增区间为,,单调递减区间为.(3)当时,恒成立,所以函数的单调递增区间为.(4)当时,,令,解得或,则函数的单调递增区间为,;
令,解得,则函数的单调递减区间为.所以函数的单调递增区间为,,单调递减区间为(Ⅱ)依题意,在区间上.,.令得,或.若,则由得,,函数在()上单调递增.由得,,函数在()上单调递减.所以,满足条件;
若,则由得,或;
由得,.函数在(),上单调递增,在上单调递减.,依题意,即,所以;
若,则.所以在区间上单调递增,,不满足条件;
综上,.【练1-6】
(2015-2016房山二模文19)已知函数(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若直线与曲线没有公共点,求实数的取值范围。
(Ⅰ),定义域为,令极小值所以的增区间为,减区间为。
(II)因为直线与曲线没有公共点,所以方程无实根,即无实根,等价于无实根设,即无零点。
当时,,显然无零点,符合题意;
当时,令极小值,显然不符合题意;
当时,令极大值,所以时,符合题意综上所述:
【练1-7】
(2015-2016朝阳一模文19)已知函数.(Ⅰ)若求曲线在点处的切线方程;
(Ⅲ)设,若函数在区间上存在极值点,求的取值范围.(Ⅰ)若,函数的定义域为,.则曲线在点处切线的斜率为.而,则曲线在点处切线的方程为(Ⅱ)函数的定义域为,.
(1)当时,由,且此时,可得.令,解得或,函数为减函数;
令,解得,但,所以当,时,函数也为增函数.所以函数的单调减区间为,,单调增区间为,.
(2)当时,函数的单调减区间为,.当时,函数的单调减区间为,.当时,由,所以函数的单调减区间为,.即当时,函数的单调减区间为,.(3)当时,此时.令,解得或,但,所以当,,时,函数为减函数;
令,解得,函数为增函数.所以函数的单调减区间为,,,函数的单调增区间为.…………9分(Ⅲ)
(1)当时,由(Ⅱ)问可知,函数在上为减函数,所以不存在极值点;
(2)当时,由(Ⅱ)可知,在上为增函数,在上为减函数.若函数在区间上存在极值点,则,解得或,所以.综上所述,当时,函数在区间上存在极值点.【练1-8】
(2015-2016东城期末理19)已知函数.(Ⅰ)当时,试求在处的切线方程;
(Ⅱ)当时,试求的单调区间;
(Ⅲ)若在内有极值,试求的取值范围.(Ⅰ)当时,,,.方程为. (Ⅱ), .当时,对于,恒成立, 所以Þ
;
Þ
0. 所以单调增区间为,单调减区间为. (Ⅲ)若在内有极值,则在内有解.令Þ
.设,所以,当时,恒成立,所以单调递减.又因为,又当时,,即在上的值域为, 所以当时,有解.设,则,所以在单调递减.因为,,所以在有唯一解.所以有:
00递减极小值递增所以当时,在内有极值且唯一.当时,当时,恒成立,单调递增,不成立.综上,的取值范围为.【练1-9】
(2015-2016大兴期末理18)已知函数.(Ⅰ)当时,求函数在点处的切线方程;
(Ⅲ)若在上恒成立,求的取值范围.
(1)当时,,所以,函数在点处的切线方程为即:
(Ⅱ)函数的定义域为:
当时,恒成立,所以,在和上单调递增当时,令,即:
,,所以,单调递增区间为,单调减区间为.(Ⅲ)因为在上恒成立,有在上恒成立。
所以,令,则.令则若,即时,,函数在上单调递增,又所以,在上恒成立;
若,即时,当时,单调递增;
当时,,单调递减所以,在上的最小值为,因为所以不合题意.即时,当时,单调递增,当时,单调递减,所以,在上的最小值为又因为,所以恒成立综上知,的取值范围是.考点二、已知函数单调求参数范围;
【例2-1】
(2015-2016石景山期末文20)已知函数,.(Ⅰ)若在处取得极小值,求的值;
(Ⅱ)若在区间为增函数,求的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,函数有三个零点,求的取值范围.(Ⅰ)由在处取得极大值,得,所以(经检验适合题意)(Ⅱ),因为在区间为增函数,所以在区间恒成立,所以恒成立,即恒成立,由于,得.所以的取值范围是.(Ⅲ),故,得或当时,,在上是增函数,显然不合题意.当时,随的变化情况如下表:
+0+↗极大值↘极小值↗要使有三个零点,故需,即,解得所以的取值范围是.【例2-2】
(2015-2016朝阳期中文19)已知函数,.(Ⅰ)若函数在区间上单调递减,求的取值范围;
(Ⅱ)当时,证明.(I)函数的定义域为.因为.又因为函数在单调减,所以不等式在上成立.设,则,即即可,解得.所以的取值范围是.(Ⅱ)当时,,.令,得或(舍).当变化时,变化情况如下表:
10+极小值所以时,函数的最小值为.所以成立.【练2-1】
(2015-2016海淀期中文18)已知函数.(Ⅰ)若曲线在点处切线的斜率为,求函数的单调区间;
(Ⅱ)若函数在区间上单调递增,求的取值范围.(Ⅰ)因为,所以曲线经过点,又,所以,所以.当变化时,,的变化情况如下表00极大值极小值所以函数的单调递增区间为,,单调递减区间为.(Ⅱ)因为函数在区间上单调递增,所以对成立,只要在上的最小值大于等于0即可.因为函数的对称轴为,当时,在上的最小值为,解,得或,所以此种情形不成立当时,在上的最小值为,解得,所以,综上,实数的取值范围是.【练2-2】
(2015-2016丰台一模文19)已知函数
(1)求曲线:
在处的切线的方程;
(2)若函数在定义域内是单调函数,求的取值范围;
(3)当时,
(1)中的直线与曲线:
有且只有一个公共点,求的取值范围。
(1)由已知得,切点坐标为,,,所以切线方程为
(2)由已知得,函数的定义域为,又因为函数在定义域中是单调函数,所以有恒成立或者恒成立1、当恒成立时,即恒成立,恒成立,即大于的最大值令,,有所以在定义域中单调递减,无最大值,所以不存在满足条件。
2、当恒成立时,即恒成立,恒成立,即小于的最小值由上种情况可知,单调递减,但恒有,因此的取值范围为(3)当时,
(1)中的直线与曲线:
有且只有一个公共点即只有一个根,令,,有只有一个零点,1、当时,,在单调递减,在单调递增,在取得最小值2,大于0因此恒大于0,所以舍去2、当时,解得,1-0+0-减极小值增极大值减易知,而当时,,所以在只存在一个零点。
3、当时,解得,1-0+减极小值增当时,,所以若只有一个零点,必须有即,综上所述,的取值范围为和【练2-3】
(2015-2016朝阳期末理18)已知函数,其中.(Ⅰ)若在区间上为增函数,求的取值范围;
(Ⅱ)当时,(ⅰ)证明:
(ⅱ)试判断方程是否有实数解,并说明理由.函数定义域,.(Ⅰ)因为在区间上为增函数,所以在上恒成立,即,在上恒成立,则(Ⅱ)当时,,.(ⅰ)令,得.令,得,所以函数在单调递增.令,得,所以函数在单调递减.所以,.所以成立.(ⅱ)由(ⅰ)知,,所以.设所以.令,得.令,得,所以函数在单调递增,令,得,所以函数在单调递减;
所以,,即.所以,即.所以,方程没有实数解.【练2-4】
(2015-2016海淀期中理18)已知函数,曲线在点处的切线为.(Ⅰ)若直线的斜率为,求函数的单调区间;
(Ⅱ)若函数是区间上的单调函数,求的取值范围.(Ⅰ)因为直线的斜率为所以所以所以令解得所以当和时,当时,所以的单调增区间为和,单调减区间为(Ⅱ)要使在上单调只需或在恒成立
(1)在恒成立等价于,即解得
(2)在恒成立,当时,,即,解得(舍)或(舍)当时,,即,解得综上所述考点三、已知函数不单调求参数范围;
【例3-1】已知函数.当时,若在区间上不单调,求的取值范围.解法一:
∵令,解得,因为在区间上不单调,所以区间上存在极值点,所以,或即,或所以或∴.解法二:
∵因为函数在区间不单调,所以函数在上存在零点.令,解得,区间长为,∴在区间上不可能有个零点.所以即:
∵,∴,又∵,∴.【例3-2】已知函数,若在区间上不单调,求的取值范围考点四、已知函数存在单调区间求参数范围;
【例4-1】设函数,.若函数在上存在单调递增区间,试求实数的取值范围.解法一:
设,依题意,在区间上存在子区间使得不等式成立.注意到抛物线开口向上,所以只要,或即可由,即,得,由,即,得,所以,所以实数的取值范围是.解法二:
,依题意得,在区间上存在子区间使不等式成立.又因为,所以.设,所以小于函数在区间的最大值.又因为,由解得;
由解得.所以函数在区间上递增,在区间上递减.所以函数在,或处取得最大值.又,,所以,所以实数的取值范围是.【例4-2】
(2010-2011朝阳二模理18)设函数,.(Ⅰ)若,求函数在上的最小值;
(Ⅱ)若函数在上存在单调递增区间,试求实数的取值范围;
【练4-1】已知函数,.函数在上存在单调递增区间,求的取值范围.【答案当时,令,解得则在上单调递增区间,满足题意.当时当,即时,,在上单调递减(舍)当,即,且时令,解得:
,当时,则在上单调递增区间,满足题意当时,要使在上存在单调递增区间,则,即,解得所以综上所述得:
的取值范围为:
解法二:
在上存在单调递增区间等价于在存在区间使成立,即存在使成立设当时,,则所以,的取值范围为:
考点五、两个函数在具有相同的单调性求参数范围;
【例5-1】
(2012-2013西城一模文18)已知函数,,其中.(Ⅰ)求的极值;
(Ⅱ)若存在区间,使和在区间上具有相同的单调性,求的取值范围.(Ⅰ)的定义域为,且.………………2分①当时,,故在上单调递增.从而没有极大值,也没有极小值.………4分②当时,令,得.和的情况如下:
↘↗故的单调减区间为;
单调增区间为.从而的极小值为;
没有极大值.…………6分(Ⅱ)解:
的定义域为,且.…………8分③当时,在上单调递增,在上单调递减,不合题意.………………9分④当时,,在上单调递减.当时,,此时在上单调递增,由于在上单调递减,不合题意.……………11分当时,,此时在上单调递减,由于在上单调递减,符合题意.综上,的取值范围是.…………13分【例5-2】已知函数,,其中.若存在区间,使和在区间上具有相同的单调性,求的取值范围.的定义域为,当,在单调递减,当时,在单调递减,单调递增,的定义域为,且.当时,显然,从而在上单调递增.此时在上单调递增,符合题意.当时,在上单调递增,在上单调递减,不合题意.当时,令,得.和的情况如下表:
↘↗当时,,此时在上单调递增,由于在上单调递减,不合题意.当时,,此时在上单调递减,由于在上单调递减,符合题意.综上,的取值范围是.导数专题二、极值问题【知识点】一、函数的极值定义函数在点附近有定义,如果对附近的所有点都有则称是函数的一个极大值,记作;
如果对附近的所有点都有则称是函数的一个极小值,记作极大值与极小值统称为极值,称为极值点.极大值与极小值统称为极值.极大值点与极小值点统称为极值点.极值点出现在函数的驻点(导数为0的点)或不可导点处(导函数不存在,也可以取得极值,此时驻点不存在)。
可导函数的极值点必定是它的驻点。
但是反过来,函数的驻点却不一定是极值点,例如,点是它的驻点,却不是它的极值点。
极值点上的导数为零或不存在,且函数的单调性必然变化。
极值问题主要建立在分类讨论的基础上,二、求函数的极值点和极值注意事项:
1.求极值或极值点,必须点明是极大还是极小。
若没有另一个,要说明没有。
2.要知道如何判断是否存在极值或者极值点。
3.如果已知极值或者极值点,求参数的时候,最后结果需要检验。
4.极值点是导函数的根,如果有两个根,要在合适的时候想到伟达定理。
三、求函数极值的三个基本步骤第一步、求导数;
第二步、求方程的所有实数根;
第三步、考察在每个根附近,从左到右,导函数的符号如何变化.如果的符号由正变负,则是极大值;
如果由负变正,则是极小值.如果在的根的左右侧,的符号不变,则不是极值.【考点分类】考点一、分类讨论求函数极值(点);
(2015-2016海淀一模文19)已知函数.(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)求函数的零点和极值;
(Ⅲ)若对任意,都有成立,求实数的最小值.(Ⅰ)设切线斜率为,所以,,所以曲线在点处的切线方程为,即。
(Ⅱ)令,解得。
当时,;
时,,所以函数零点有且只有一个,为1.令,即解得。
当时,,所以函数在处取得极小值,无极大值。
(Ⅲ)由(II)知,当时,;
时,,且在上单调递减,在上单调递增,所以在处取得最小值。
且。
,,所以只需。
所以。
所以的最小值为1。
【例1-2】
(Ⅲ)求函数的极值点.考点二、已知函数极值(点)情况求参数范围;
(2)当时,由(Ⅱ)可知,在上为增函数,在上为减函数.若函数在区间上存在极值点,则,解得或,所以.综上所述,当时,函数在区间上存在极值点.【例2-2】
00递减极小值递增所以当时,在内有极值且唯一.当时,当时,恒成立,单调递增,不成立.综上,的取值范围为.【练2-1】
(2015-2016房山二模理18)已知函数(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;