中考数学压轴题解题技巧Word下载.docx

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具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，

其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。

解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。

现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。

1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想：

纵观最近几年各地的中考压轴题，绝大部分都是与坐标系有关的，其特点是通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。

2、以直线或抛物线知识为载体，运用函数与方程思想：

直线与抛物线是初中数学中的两类重要函数，即一次函数与二次函数所表示的图形。

因此，无论是求其解析式还是研究其性质，都离不开函数与方程的思想。

例如函数解析式的确定，往往需要根据已知条件列方程或方程组并解之而得。

3、利用条件或结论的多变性，运用分类讨论的思想：

分类讨论思想可用来检测学生思维的准确性与严密性，常常通过条件的多变性或结论的不确定性来进行考察，有些问题，如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。

4、综合多个知识点，运用等价转换思想：

任何一个数学问题的解决都离不开转换的思想，初中数学中的转换大体包括由已知向未知，由复杂向简单的转换，而作为中考压轴题，更注意不同知识之间的联系与转换，一道中考压轴题一般是融代数、几何、三角于一体的综合试题，转换的思路更要得到充分的应用。

中考压轴题所考察的并非孤立的知识点，也并非个别的思想方法，它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。

因此有的考生对压轴题有一种恐惧感，认为自己的水平一般，做不了，甚至连看也没看就放弃了，当然也就得不到应得的分数，为了提高压轴题的得分率，考试中还需要有一种分题、分段的得分策略。

5、分题得分：

中考压轴题一般在大题下都有两至三个小题，难易程度是第

（1）小题较易，第

（2）小题中等，第（3）小题偏难，在解答时要把第

（1）小题的分数一定拿到，第

（2）小题的分数要力争拿到，第（3）小题的分数要争取得到，这样就大大提高了获得中考数学高分的可能性。

6、分段得分：

一道中考压轴题做不出来，不等于一点不懂，一点不会，要将片段的思路转化为得分点，因此，要强调分段得分，分段得分的根据是“分段评分”，中考的评分是按照题目所考察的知识点分段评分，踏上知识点就给分，多踏多给分。

因此，对中考压轴题要理解多少做多少，最大限度地发挥自己的水平，把中考数学的压轴题变成最有价值的压台戏。

数学压轴题是初中数学中覆盖知识面最广，综合性最强的题型。

综合近年来各地中考的实际情况，压轴题多以函数和几何综合题的形式出现。

压轴题考查知识点多，条件也相当隐蔽，这就要求学生有较强的理解问题、分析问题、解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识和创新能力，当然，还必须具有强大的心理素质。

下面谈谈中考数学压轴题的解题技巧（先以2009年河南中考数学压轴题为例）。

如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点. 

（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E. 

①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?

②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?

请直接写出相应的t值. 

解

（1）点A的坐标为（4，8） 

„„„„„„„1分 

将A（4，8）、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx 

8=16a+4b 

得 

0=64a+8b 

解 

得a=-12,b=4 

∴抛物线的解析式为：

y=-1/2x2+4x 

„„„„„„„3分 

（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE=PE/AP=BC/AB,即PE/AP=4/8

∴PE=1/2AP=1/2t．PB=8-t． 

∴点Ｅ的坐标为（4+1/2t，8-t）.

∴点G的纵坐标为：

-1/2（4+1/2t）2+4（4+1/2t）=-18t2+8.„„„„„„5分 

∴EG=-18t2+8-（8-t） 

=-18t2+t. 

∵-1/8＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2. 

„„„„„„„7分 

②共有三个时刻. 

„„„„„„„8分 

t1=163， 

t2=4013，t3= 

8525„„„„„„„11分 

压轴题的做题技巧如下：

1、对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识，根据自己的情况考试的时候重心定位准确，防止 

“捡芝麻丢西瓜”。

所以，在心中一定要给压轴题或几个“难点”一个时间上的限制，如果超过你设置的上限，必须要停止，回头认真检查前面的题，尽量要保证选择、填空万无一失，前面的解答题尽可能的检查一遍。

2、解数学压轴题做一问是一问。

第一问对绝大多数同学来说，不是问题；

如果第一小问不会解，切忌不可轻易放弃第二小问。

过程会多少写多少，因为数学解答题是按步骤给分的，写上去的东西必须要规范，字迹要工整，布局要合理；

过程会写多少写多少，但是不要说废话，计算中尽量回避非必求成分；

尽量多用几何知识，少用代数计算，尽量用三角函数，少在直角三角形中使用相似三角形的性质。

3、解数学压轴题一般可以分为三个步骤：

认真审题，理解题意、探究解题思路、正确解答。

审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。

解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。

认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系，确定解题的思路和方法．当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。

压轴题解题练习

一、对称翻折平移旋转 

1．（2010年南宁）如图12，把抛物线y=-x2（虚线部分）向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到抛物线1l，抛物线2l与抛物线1l关于y轴对称.点A、O、B分别是抛物线1l、2l与x轴的交点，D、C分别是抛物线1l、2l的顶点，线段CD交y轴于点E. 

（1）分别写出抛物线1l与2l的解析式；

（2）设P是抛物线1l上与D、O两点不重合的任意一点，Q点是P点关于y轴的对称点，试判断以P、Q、C、D为顶点的四边形是什么特殊的四边形？

说明你的理由. 

（3）在抛物线1l上是否存在点M，使得S△ABM=S四边形AOED，如果存在，求出M点的坐标，如果不存在，请说明理由. 

2．（福建2009年宁德市）如图，已知抛物线C1：

y=a（x+2）2-5

的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1． 

（1）求P点坐标及a的值；

（4分） 

（2）如图

（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；

（3）如图

（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°

后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．（5分）

二、 

动态：

动点、动线 

3．（2010年辽宁省锦州）如图，抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＞x2，与y轴交于点C（0，4），其中x1、x2是方程x2－2x－8＝0的两个根． 

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）点P是线段AB上的动点，过点P作 

PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE 

的面积最大时，求点P的坐标；

（3）探究：

若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形？

若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；

若不存在，请说明理由． 

4．（2008年山东省青岛市）已知：

如图①，在Rt△ACB中，∠C＝90°

，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；

点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；

连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：

（1）当t为何值时，PQ∥BC？

（2）设△AQP的面积为y（2cm），求y与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？

若存在，求出此时t的值；

若不存在，说明理由；

（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？

若存在，求出此时菱形的边长；

若不存在，说明理由． 

5．（09年吉林省）如图所示，菱形ABCD的边长为6厘米，∠B＝60°

．从初始时刻开始，点P、Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q运动的时间为x秒时，△APQ与△ABC重叠部分．．．．的面积为y平方厘米（这里规定：

点和线段是面积为0的三角形），解答下列问题：

（1）点P、Q从出发到相遇所用时间是__________秒；

（2）点P、Q从开始运动到停止的过程中，当△APQ是等边三角形时x的值是__________秒；

（3）求y与x之间的函数关系式．

6．（2009年浙江省嘉兴市）如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB>

1．

以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB=x． 

（1）求x的取值范围；

（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；

△ABC的最大面积？

三、 

圆 

7．（2010青海） 

如图10，已知点A（3，0），以A为圆心作⊙A与Y轴切于原点，与x轴的另一个交点为B，过B作⊙A的切线l. 

（1）以直线l为对称轴的抛物线过点A及点C（0，9），求此抛物线的解析式；

（2）抛物线与x轴的另一个交点为D，过D作⊙A的切线DE，E为切点，求此切线长；

（3）点F是切线DE上的一个动点，当△BFD与EAD△相似时，求出BF的长 

． 

8．（2009年中考天水）如图1，在平面直角坐标系xOy，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象顶点为D，与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），OB＝OC，tan∠ACO＝ 

1/3.

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）若平行于x轴的直线与该抛物线交于点M、N，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆的半径长度；

（3）如图2，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上的一动点，当点P运动到什么位置时，△AGP的面积最大？

求此时点P的坐标和△AGP的最大面积． 

9．（09年湖南省张家界市）在平面直角坐标系中，已知A（－4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C，过点C作圆的切线交x轴于点D． 

（1）求点C的坐标和过A，B，C三点的抛物线的解析式；

（2）求点D的坐标；

（3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：

是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？

若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由． 

10．（2009年潍坊市）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于ABCD四点．抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点D，与直线y=x交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C． 

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴交x轴于点E，连结DE，并延长DE交圆O于F，求EF的长． 

（3）过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由． 

四、比例比值取值范围 

11．（2010年怀化）图9是二次函数y=（x+m）2+k的图象，其顶点坐标为M（1,-4）. 

（1）求出图象与x轴的交点A,B的坐标；

（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使S△PAB=5/4S△MAB

若存在，求出P点的坐标；

若不存在，请说明理由；

（3）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：

当直线y=x+b（b<

1）与此图象有两个公共点时，求b的取值范围。

12．（湖南省长沙市2010年）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，0A=8

cm，，OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒

cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．

（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；

（2）求证：

四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；

（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线

+bx+c

经过B、P两点，过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．

13．（成都市2010年）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a

+bx+c与x轴交于AB、两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（-3、0），若将经过A、C两点的直线y=kx+b沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线x=-2.

（1）求直线AC及抛物线的函数表达式；

（2）如果P是线段AC上一点，设△ABP、△BPC的面积分别为S△AB、S△BPC，S△ABS：

BPC=2：

3，求点P的坐标；

（3）设Q的半径为l，圆心Q在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在Q与坐标轴相切的情况？

若存在，求出圆心Q的坐标；

若不存在，请说明理由．并探究：

若设⊙Q的半径为r，圆心Q在抛物线上运动，则当r取何值时，⊙Q与两坐轴同时相切？

五、探究型 

14．（内江市2010）如图，抛物线Y=mx2-2mx-3m（m>

0）,

与x轴交于A、点，与y轴交于C点. 

（1）请求出抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A、B的坐标；

（2）经探究可知，△BCM与△ABC的面积比不变，试求出这个比值；

（3）是否存在使BCM△为直角三角形的抛物线？

若存在，请求出；

如果不存在，请说明理由. 

15．（重庆市潼南县2010年）如图, 

已知抛物线

X2+bx+c

与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）. 

（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时D的坐标；

（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由.

16．（2008年福建龙岩）如图，抛物线ax2+-5x+4经过ABC△的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC． 

（1）求抛物线的对称轴；

（2）写出A、B、C三点的坐标并求抛物线的解析式；

若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P坐标；

不存在，请说明理由． 

17．（09年广西钦州）26．（本题满分10分） 

如图，已知抛物线y＝

x2+bx+c

34

x2

＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点， 

A点的坐标为（－1，0），过点C的直线y＝3

4t

x－3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动

点，过P作PH⊥OB于点H．若PB＝5t，且0＜t＜1． 

（1）填空：

点C的坐标是_▲_，b＝_▲_，c＝_▲_；

（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；

（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？

若存在，求出所有t的值；

18．（09年重庆市）已知：

如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝2，OC＝3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E． 

（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；

（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与

（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为56，那么EF＝2GO是否成立？

若成立，请给予证明；

若不成立，请说明理由；

（3）对于

（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？

若存在，请求出点Q的坐标；

若不存在，请说明理由．

19．（09年湖南省长沙市）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于A（－3，0）、B两点，与y轴相交于点C（0，3）．当x＝－4和x＝2时，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的函数值y相等，连结AC、BC．

（1）求实数a，b，c的值；

（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连结MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；

（3）在

（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为顶点的三角形与△ABC相似？

20．（08江苏徐州）如图1，一副直角三角板满足AB＝BC，AC＝DE，∠ABC＝∠DEF＝90°

，∠EDF＝30°

【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板．．．．DEF．．．绕．点．E．旋转．．，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q【探究一】在旋转过程中，

（1）如图2，当CE1EA＝时，EP与EQ满足怎样的数量关系？

并给出证明.

（2）如图3，当CE2EA＝时EP与EQ满足怎样的数量关系？

，并说明理由.

（3）根据你对

（1）、

（2）的探究结果，试写出当CEEA＝m时，EP与EQ满足的数量关系式为_________,其中m的取值范围是_______（直接写出结论，不必证明）

【探究二】若，AC＝30cm，连续PQ，设△EPQ的面积为S（cm2），在旋转过程中：

（1）S是否存在最大值或最小值？

若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由.

（2）随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化？

不出相应S值的取值范围.

六、最值类

22．（2010年恩施）如图11，在平面直角坐标系中，二次函数cbxxy2的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP/C，那么是否存在点P，使四边形POP/C为菱形？

若存在，请求出此时点P的坐标；

若不存在请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.

解中考数学压轴题秘诀

（一）数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。

（二）几何型综合题：

在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和