启迪教育四边形讲义2Word下载.docx

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（3）已知：

如图，AB=AC，AD平分∠EAC，求证：

AD∥BC

（4）△ABC中，∠BAC=108°

，AB=AC，点D在BC上且△ABD是等腰三角形，求∠ADB的度数。

四、课内练习

1、P17：

1，2，3。

2、等腰三角形的一个外角是80°

，则这个等腰三角形底角度数只能为（）

A.180°

B.40°

C.100°

或40°

D.80°

3、等腰三角形的底边长为5cm,一腰中线分三角形周长为两部分，若两部分之差为2cm，则腰长为（）

A.7cmB.3cmC.7cm或3cmD.以上答案都不对

五、中考链接

1、△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，E在AC上，AD=AE，且∠BAD=30°

，

则∠CDE度数为（）

A.15°

B.25°

C.30°

D.45°

2.、等腰三角形腰上的高与底边所成的角与顶角的关系为（）

A.2倍B.

倍C.

倍D.无法确定

3、给出四组条件

①已知两腰②已知底边与顶角③已知底角与顶角④已知底边与底边上的高，其中能确定一个等腰三角形形状，大小的有（）

A.①和②B.③和④C.②和④D.①和④

4、如图,等腰三角形一腰上中线把这个三角形周长分为20cm和36cm,求这个三角形各边的长。

六、课堂小结

1、等腰三角形有哪些性质？

2、怎样判定一个三角形是等腰三角形？

七、课堂作业P8：

1，2，3，4

学（教）后记

开放式训练

1、下列说法正确的是（）

A．两腰对应相等的两等腰三角形全等B．两锐角对应相等的两直角三角形全等

C．两角及其夹边对应相等的两三角形全等D．面积相等的两三角形相等

2、等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1:

2，则等腰三角形顶角的度数为

A．30°

B．15°

C．60°

或120°

D．30°

或150°

3、如图在等边三角形ABC中，D、E分别在BC、AC上，且DC=AE，AD、BE交于点F，请你量一量∠BFD的度数，并证明你的结论。

4、如图在△ABC中，D、E分别是AC、AB边上的点，BD与CE交于O，给出下列四个条件⑴∠EBO=∠DCO；

⑵∠BEO=∠CDO；

⑶BE=CD；

⑷OB=OC

（1）在上述四个条件中，哪两个条件可判定ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）

（2）选择第⑴小题中的一种情形，证明：

△ABC是等腰三角形。

5、如图，已知AO=10，P是射线OC上一动点（即P点可在射线ON上运动），∠AON=60°

（1）OP为多少时，△AOP为等边三角形？

（2）OP为多少时，△AOP为直角三角形？

（3）OP为多少时，△AOP为锐角三角形？

（4）OP满足什么条件时，△AOP为钝角三角形？

6、如图，已知等边△ABC的∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，若BC上点E、F分别在OB、OC的垂直平分经上，试证明：

EF与AB关系，并加以证明。

批阅等第：

批阅时间：

月日

1.2直角三角形全等的判定

（1）

1、理解并能证明直角三角形全等的“HL”判定定理。

2、掌握直角三角形全等的判定方法，能进行相关的推理证明。

3、逐步学会分析的思考方法，发展演译推理的能力。

直角三角形全等的“HL”判定定理的证明及运用直角三角形全等的判定方法进行推理证明。

运用直角三角形全等的判定方法进行推理的能力。

自主分析、演译推理。

1、一般三角形全等的判定方法有哪些？

2、直角三角形全等的条件有哪些？

你认为具备这样的两个直角三角形一定全等吗？

为什么？

二、探索活动

（一）操作与思考

1．已知Rt△ABC,∠C=90°

.试用直尺和圆规作一个Rt△A′B′C′,使∠C′=90°

A′C′=AC,A′B′=AB。

2．比较Rt△A′B′C′与已知Rt△ABC是否重合。

（二）探索并结论

1．已知：

如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°

，

AB=A′B′，AC=A′C′。

△ABC≌△A′B′C′

2．定理：

（简写为“HL”）

3．判定两个直角三角形全等的方法有：

（三）例题学习

例1．如图，已知点B、E、F、C在一条直线上，AF⊥BC，DE⊥BC，垂足为F、E，且AB=DC，

BE=CF。

求证：

AB∥CD。

例2．如图，已知：

在Rt△ABC中，∠B=90°

，∠A=30°

。

BC=

AC。

1．P10练习1、2

2．已知△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°

，BC=B′C′。

再添加一个条件，

使△ABC≌△A′B′C′。

这个条件是（写出一个即可）。

3．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，

AD与BE相交于F。

若BF=AC，那么∠ABC=°

4．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°

∠C=30°

，DC=6cm,

则AB=cm。

5．直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和6cm,则它的面积为cm2

五、中考链接

如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将△ABC沿直线AD折叠，使AC落在斜边AB上，且与AE重合。

求CD的长。

六、课堂小结：

直角三角形全等的判定方法

七、课堂作业：

P12习题1.21，2

学（教）后记：

开放式训练：

*1．下列条件中，能判断△ABC≌△A′B′C′的是（）

A．AB=A′B′，BC=B′C′；

B．∠A=∠A′，AB=A′B′，BC=B′C′

C．∠A=∠A′=90°

，AB=A′B′，BC=B′C′D．∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′

**2．下列判断正确的是（）

A．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等

B．有两边对应相等，且有一角为30°

的两个等腰三角形全等

C．有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等

D．有两角和一边对应相等的两个三角形全等

**3．在△ABC，∠A:

∠B:

∠C=1:

2:

3，最小边BC=4㎝，最长边AB的长为（）

A．6cmB．8cmC．5cmD．

cm

**4．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，

且△AEF是边长为

的等边三角形，则EC=。

**5．如图，∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF，得出下列结论：

①∠1=∠2，②BE=CF，③△CAN≌△ABM，④CD=DN

其中正确结论的是：

**6．证明：

一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等。

***7．已知：

如图，等边△ABC内接于⊙O，D是BC上任意一点，求证：

AD=BD+DC。

***8．如图

（1），等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90，直线

经过点C且△ABC在

的一侧，AD⊥

BE⊥

，垂足分别为D、E。

（1）求证：

DE=AD+BE；

（2）若直线

与AB相交，其他条件不变，如图

（2），DE、AD、BE之间的关系又将怎样？

试证明你的结论。

1.2直角三角形全等的判定

（2）

1、掌握角平分线定理及其逆定理，并能进行相关的推理证明；

2、能证明三角形三条角平分线交于一点。

能从简单的数学例子中体会反证法的含义。

角平分线定理及其逆定理，并进行相关的推理证明。

逐步学会分析问题的思考方法，发展演译推理能力。

自主分析、大胆探索、合情推理。

你能用折纸的方法说明“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”吗？

你还能用什么方法说明这个结论是正确的？

（一）探究并结论

1、定理：

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

已知：

2、逆定理：

如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，且PD=PE。

点P在∠AOB的平分线上。

（二）拓展延伸

“如果一个点到角的两边的距离不相等，那么这个点不在这个角的平分线上。

”

你认为这个结论正确吗？

如果正确，你能证明吗？

例1：

三角形的三条角平分线交于一点。

例2：

如果，△ABC中，∠C=90°

，AC=BC，∠BAC的平分线交BC于点D，

AB=CD+AC。

1、P11练习

2、角平分线可以看成是集合。

3、在△ABC中，∠C=90°

，AD是角平分线，若BC=15cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为cm。

1、如图，△ABC中，∠C=90°

，AC=BC，AD平分∠CAB，

DE⊥AB于点E，BE=4㎝，△BDE的周长是16cm，

则BC的边长为cm。

2、下列说法不正确的是（）

A．角平分线上的点到角的两边距离相等

B．到三角形三边距离相等的点是三角形中线的交点

C．等腰三角的两底角平分线长相等

D．到直角三角形两直角边距离相等的点一定在顶角的平分线所在的直线上

3、在△ABC中，AB=AC，AD是中线，点P为AD上任意一点，则下列结论：

①点P到点B、C的距离相等；

②点P到边AB、AC的距离相等；

③∠ACP=∠ABP；

④∠APB=∠APC，其中正确结论的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

角平分线定理及逆定理

七、课堂作业

P12习题1.23，4

*1、如图，△ABC中，∠A=90°

，BD平分∠ABC，交AC于D，AB=4㎝，BD=6㎝，则点D到BC边的距离为㎝。

**2、等腰三角形的顶角为150°

，腰长为2，则此三角形的面积为。

**3、如图，已知△ABC的三条角平分线交于点O，OH⊥BC于H，若△ABC的周长为20cm，面积为30cm2，则OH=cm。

（第1题图）（第3题图）（第4题图）

**4、如图，直线

表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要使它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有：

（）

A．一处B．二处C．三处D．四处

*5、已知△ABC中，点D是BC的中点，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，求证：

**6、如图，已知AD∥BC，DC⊥AD，AE平分∠BAD，AE⊥BE，试问：

E是CD的中点吗？

说明你的理由。

**7、已知，如图，∠EAC、∠ACD是△ABC的两个外角，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACD，

∠BPC=

∠BAC。

**8、已知，如图，CE⊥AB于E，∠CAB=∠CAD，若AE=

（AB+AD），

试猜想：

∠B与∠ADC在数量上存在何种关系？

并证明你的猜想。

1.3平行四边形的性质

能证明平行四边形的三个性质：

①对边相等②对角相等③对角线互相平分

进一步培养学生的分析、综合的思考方法，及表达书写能力。

发展学生演绎推理能力。

平行四边形的证明。

分析综合思考的方法

自主探究，合作交流。

①叫平行四边形定义判别法

②平行四边形性质有

当初我们是如何得到这样性质的？

请复习教材回忆。

③如图AB∥A′B′，BC∥B′C′，CA∥C′A′，

图中有个平行四边形。

平行四边形对角相等

平行四边形对边相等

平行四边形对角线相等

例1．在ABCD中，AE＝

，CF＝

，求证：

①BE＝DF；

②BE∥DF

例2.已知如图，在ABCD中，BE∥DF，BE、DF分别交对角线AC于点E、F，求证：

BE＝DF。

四、课内练习：

P15练习1，2

已知如图，点E、F分别在ABCD的边AB、DC上，且DE∥BF，BD与EF相交于点O，

OE＝OF。

要求证明过程精炼、简洁（不准用全等三角形证明）

分析法：

注意分析条件，由什么样的条件，我可以得到什么样的结论？

至于这样的结论对下面的解题有何作用，先不说，但你要在脑中“反应”。

对于有两个或者两个问以上的题目，一般先完成第一个问（实际上这个是简单的，很可能是为下一个问起“搭桥”作用）再利用上面的“桥”来完成下面的问题。

]

综合法：

由问题入手，要证明这样的问题，我得有什么样的条件，那这样的条件又如何从已知条件中得到？

如果条件中很“难”直接得到，我是不是要“创造”出这样的条件。

这种思维在表达书写时，大家不太习惯。

所以我们要注意自己的表达书写格式。

比如证明平行四边形对角相等，就要创造出连接一组对角线从而可以证明全等三角形来完成。

七、课堂作业

开放性训练

*1、如图平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，∠B＝100°

则∠DAE等于（）

A．100°

B．80°

D．40°

**2、平行四边形ABCD中，边AB＝a，对角线AC＝b、BD＝c，则a、b、c的取值可以是下列中的（）

A．a=4，b=6，c=8B．a=6，b=4，c=8

C．a=8，b=4，c=6D．a=5，b=4，c=3

**3、如图平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC＝12，BD＝10，AB=m，那么m的取值范围是（）

A．10＜m＜12

B．2＜m＜22

C．1＜m＜11D．5＜m＜6

**4、如图在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的平分线，

F是AB的中点，AB＝6，BC＝4，则AE：

EF：

FB＝。

*5、如图已知O是ABCD的对角线交点，AC＝38mm，BD＝24mm，

AD＝14mm，那么△OBC的周长等于。

**6、如图已知ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O任作一直线分别交于AD、CB的延长线于E、F，求证：

**7、已知如图，点O为ABCD的对角线BD的中点，直线EF经过点O，分别交BA、DC的延长线于点E、F，求证：

AE＝CF。

**8、已知如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8cm，BC＝10cm，∠C＝120°

（1）求BC边上的高AH的长；

（2）求平行四边形ABCD的面积。

**9、如图在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，且AE＝CF，求证：

DE＝BF。

***10、已知平行四边形ABCD中，AB＝2BC，DF⊥BC，垂足为F，E为AB的中点，连结DE、EF。

∠DEA＝∠EFB。

***11、如图1，已知△ABC的高AE＝5，BC＝

，∠ABC＝45°

，F是AE上的点，G是点E关于F的对称点，过点G作BC的平行线与AB交于H、与AC交于I，连接IF并延长交BC于J，边接HF并延长交BC于K。

（1）请你探索并判断四边形HIKJ是怎样的四边形？

并对你得到的结论给予证明；

（2）当点F在AE上运动并使点H、I、K、J都在△ABC的三条边上时，求线段AF的长的取值范围。

平行四边形的判定

1、能熟练证明平行四边形的判定定理。

2、进一步培养学生的分析、综合的思考方法，及表达书写能力，发展学生演绎推理的能力。

3、初步体会证明过程中的反证法的思想及其说理的过程。

平行四边形的判定定理的证明及运用，思维的逻辑性，书写的规范性。

自主探索、合作交流，一题多解

一、情境创设

回忆已探索过平行四边形有哪些判定方法？

你能证明这些判定方法是正确的吗？

证明下列命题：

1、

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形2、对角线互相平分的四边形是平行四边形

3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形4、一组对边平行、一组对角相等的四

边形是平行四边形

5、两组对角分别相等的四边形是平行四边形

判断正误：

1、你认为“一组对边平行，另一组对边相等的四边形”是平行四边形吗？

2、你认为“在四边形ABCD中，如果OA=OC，OB≠OD，那么四边形ABCD不是平行四边形”这个结论正确吗？

1、如图，AD∥BC，AD=BC，且E、F分别是AD、BC的中点，图中有哪些四边形是平行四边形？

说说你的理由。

2、已知,如图,在□ABCD中，对角线AC、BD交于点O,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E、F，

四边形AECF是平行四边形。

3、如图，AB与CD相交于E，AE=EB，CE=ED，D为线段FB的中点，CF与AB交于点G，若CF=15cm，求GF之长．

P20练习1，2

如图，BD平分∠ABC,DE//BC,EF//AC,试判断BE与CF是否相等？

并简要说明。

2、如图，在□ABCD中，P1、P2是对角线BD的三等分点，求证：

四边形AP1CP2是平行四边形．

平行四边形的判定方法

P26习题1.38、9

*1、关于四边形ABCD：

①两组对边分别平行②两组对边分别相等③有两组角相等④对角线AC和BD相等⑤一组对边平行，一组对边相等⑥一组对边平行，一组对角相等。

以上六个条件中，可以判定四边形ABCD是平行四边形的有（）

A、2个B、3个C、4个D、5个

*2、如图所示,已知AD∥BC,要使四边形ABCD为平行四边形,需要增加

条件_______。

（只需填一个你认为正确的条件即可）

*3、BD是平行四边形ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需要添加的一个条件是_________。

**4、如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE。

（1）⊿AFD≌⊿CEB。

（2）四边形ABCD是平行四边形。

*5、如图，在□ABCD中，AC交BD于点O，点E、F分别是OA、OC的中点，请判断线段BE、DF的关系，并证明你的结论。

**6、已知：

如图所示，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF经过点O并且分别和AB、CD相交于点E、F，又知G、H分别为OA、OC的中点．

四边形EHFG是平行四边形．

**7、在一次数学实践探究活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等；

（1）根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有组；

（2）请在图中的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线；

（3）由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？

规律：

**8、如图，平行四边形纸条ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，张老师请同学将纸条的下半部分□ABFE沿EF翻折，得到一个V字形图案。

（1）请你在原图中画出翻折后的图形

；

（用尺规作图，不写画法，保留作图痕迹）

（2）已知∠A=630，求∠B′FC的大小。

**9、请将四个全等直角梯形（如图），拼成一个平行四边形，并画出两种不同的拼法示意图（拼出的两个图形只要不全等就认为是不同的拼法）．

第9题图

1.3矩形的性质

1、掌握矩形的性质；

2、能运用矩形的性质定理，进行证明。

矩形性质的运用。

矩形性质定理的综合应用。

对比学习，在探索——猜想——证明中进一步发展推理论证的能力。

学海导航

1、平行四边形有哪些性质？

2、什么样的平行四边形是矩形？

1、矩形是特殊的平行四边形，因此，除具有平行四边形的所有性质之外，而且还有一些特殊的性质。

性质定理1：

矩形的4个角都是。

2、性质定理2：

矩形的对角线。

3、如图，矩形的对角线AC、BD相交于点O，观察图中的Rt△ABC，你发现它有什么性质吗？

如图，矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，

BO是Rt△ABC斜边AC上的中线，并且BO=

AC。

直角三角形斜边上的中线等于。

如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，且AC=2AB，

△AOB是等边三角形。

如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，求PE+PF的值。

例3：

已知，如图BD、CE是△ABC的两条高，M、N分别是BC、DE中点。

MN⊥DE。

1、P16练习1，2

2、如图，E为矩形ABCD对角线BD上一点，AE⊥BD于E，∠ADE:

∠EDC=2:

3，则

∠CAE=。

3、如图，将矩形纸片沿对角线BD折叠，使点C落在平面上的点C＇处，BC＇交AD于点E，若∠EBD=30°

，则∠C＇DE的度数为。

4、矩形ABCD的周长为56cm，它的两条对角线相交于点O，△BOC与△AOB的周长差为4cm，则BC=，AB=。

如图，在矩形ABCD中，F是BC边上一点，AF的延长线交DC的延长线于点