直线的倾斜角与斜率直线的方程.docx
《直线的倾斜角与斜率直线的方程.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《直线的倾斜角与斜率直线的方程.docx（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
直线的倾斜角与斜率直线的方程
一、选择题
1．已知直线l1:
y＝x，l2:
ax－y＝0，其中a为实数，当这两条直线的夹角在（0，）内变动时，a的取值范围是（ ）
A．（，1）∪（1，）B．（，）
C．（，1）D．（1，）
[答案] A
[解析] 因为k1＝1，k2＝a，由数形结合知，直线l2的倾斜角α∈（，）∪（，），
所以直线l2的斜率a∈（，1）∪（1，）．
2．过点P（－1,2）且方向向量为a＝（－1,2）的直线方程为（ ）
A．2x＋y＝0B．x－2y＋5＝0
C．x－2y＝0D．x＋2y－5＝0
[答案] A
[解析] 因为方向向量a＝（－1,2），
所以直线的斜率k＝－2，又过点P（－1,2），
所以由点斜式求得直线方程为2x＋y＝0.
3．（文）（2012·山东济宁）已知点A（1,3），B（－2，－1），若直线ly＝k（x－2）＋1与线段AB相交，则k的取值范围（ ）
A．k≥B．k≤－2
C．k≥或k≤－2D．－2≤k≤
[答案] D
[解析]
如图，l过P（2,1），kPA≤k≤kPB，
kPA＝＝－2，而kPB＝，
∴－2≤k≤.
（理）点P（x，y）在以A（－3,1），B（－1,0），C（－2,0）为顶点的△ABC的内部运动（不包含边界），则的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
[答案] D
[解析] 令k＝，则k可以看成过点D（1,2）和点P（x，y）的直线斜率，显然kDA是最小值，kBD是最大值．由于不包含边界，所以k∈.
4．若点A（2，－3）是直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的公共点，则相异两点（a1，b1）和（a2，b2）所确定的直线方程是（ ）
A．2x－3y＋1＝0B．3x－2y＋1＝0
C．2x－3y－1＝0D．3x－2y－1＝0
[答案] A
[解析] ∵2a1－3b1＋1＝0,2a2－3b2＋1＝0，
∴（a1，b1），（a2，b2）是直线2x－3y＋1＝0上的点．
5．设直线l的方程为x＋ycosθ＋3＝0（θ∈R），则直线l的倾斜角α的范围是（ ）
A．[0，π） B.
C.D.∪
[答案] C
[解析] 当cosθ＝0时，方程变为x＋3＝0，其倾斜角为；
当cosθ≠0时，由直线方程可得斜率k＝－.
∵cosθ∈[－1,1]且cosθ≠0，
∴k∈（－∞，－1]∪[1，＋∞），
即tanα∈（－∞，－1]∪[1，＋∞），又α∈[0，π），
∴α∈∪.
综上知倾斜角的范围是，故选C.
6．若直线2ax＋by＋4＝0（a、b∈R）始终平分圆x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0的周长，则ab的取值范围是（ ）
A．（－∞，1]B．（0,1]
C．（0,1）D．（－∞，1）
[答案] A
[解析] 由题意知直线过圆心（－1，－2），
∴－2a－2b＋4＝0，∴a＋b＝2，
∴ab≤＝，∴ab≤1.
二、填空题
7．若直线l的斜率k的取值范围为[－1，]，则它的倾斜角α的取值范围是________．
[答案] ∪
[解析] 由－1≤k≤，即得－1≤tanα≤，
∴α∈∪.
8．一条直线l过点P（1,4），分别交x轴，y轴的正半轴于A、B两点，O为原点，则△AOB的面积最小时直线l的方程为________．
[答案] 4x＋y－8＝0
[解析] 设l：
＋＝1（a，b>0）．
因为点P（1,4）在l上，
所以＋＝1.由1＝＋≥2⇒ab≥16，
所以S△AOB＝ab≥8.
当＝＝，
即a＝2，b＝8时取等号．
故直线l的方程为4x＋y－8＝0.
三、解答题
9．（2011·江苏，18）如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆＋＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.
（1）若直线PA平分线段MN，求k的值；
（2）当k＝2时，求点P到直线AB的距离d.
[解析]
（1）
由题设知，a＝2，b＝，故M（－2,0），N（0，－），所以线段MN中点的坐标为（－1，－），由于直线PA平分线段MN，故线段PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标原点，所以k＝＝.
（2）直线PA的方程为y＝2x，代入椭圆方程得
＋＝1，解得x＝±，因此P（，），A（－，－）．
于是C（，0），直线AC的斜率为＝1，故直线AB的方程为x－y－＝0.
因此，d＝＝.
一、选择题
1．（文）过抛物线y2＝4x的焦点，且与圆x2＋y2－2y＝0相切的直线方程是（ ）
A.x＋y－3＝0，y＝0
B.x－y－3＝0，y＝0
C.x＋y＋3＝0，x－y＋3＝0
D.x＋3y－3＝0，x－3y－3＝0
[答案] A
[解析] 抛物线焦点F（，0），圆的方程x2＋（y－1）2＝1，由图知过焦点F且与圆相切的直线有两条，其中一条是y＝0故排除C、D.另一条斜率小于0，故选A.
（理）将直线y＝x＋1绕其与y轴的交点逆时针旋转90°，再按向量a＝（1,1）平移，则平移后的直线方程是（ ）
A．y＝－x＋1B．y＝－x＋3
C．y＝x－2D．y＝x－1
[答案] B
[解析] 与y轴交点为A（0,1），绕A点逆时针旋转90°后，倾斜角为135°，且过（1,0），直线沿a＝（1,1）平移，即为先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，故过点（2,1），
∴方程为y＝－x＋3.
2．已知f（x）＝log2（x＋1），且a>b>c>0，则，，的大小关系是（ ）
A.>>B.>>
C.>>D.>>
[答案] B
[解析] 作函数f（x）＝log2（x＋1）的图像，易知表示直线的斜率．
∴>>，故选B.
二、填空题
3．（2011·安徽理，15）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x，y）为整点，下列命题中正确的是________（写出所有正确命题的编号）．
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点
②如果k与b都是无理数，则直线y＝kx＋b不经过任何整点
③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点
④直线y＝kx＋b经过无穷多个整点的充分必要条件是：
k与b都是有理数
⑤存在恰经过一个整点的直线
[答案] ①③④⑤
[解析] 本题主要考查直线方程与逻辑推理能力．
令y＝x＋，满足①，故①正确；若k＝，b＝，y＝x＋过整点（－1,0），故②错误；设y＝kx是过原点的直线，若此直线过两个整点（x1，y1），（x2，y2），则有y1＝kx1，y2＝kx2，两式相减得y1－y2＝k（x1－x2），则点（x1－x2，y1－y2）也在直线y＝kx上，通过这种方法可以得到直线l经过无穷多个整点，通过上、下平移y＝kx得对于y＝kx＋b也成立，所以③正确；④正确；直线y＝x恰过一个整点，⑤正确．
4．已知a∈R，直线（1－a）x＋（a＋1）y－4（a＋1）＝0过定点P，点Q在曲线x2－xy＋1＝0上，则PQ连线斜率的取值范围是________．
[答案] [－3，＋∞）
[解析] P（0,4），设Q（x，y），则y＝ （x≠0），k＝＝2－4＋1＝2－3≥－3.
三、解答题
5．过点P（3,0）作一直线，使它夹在两直线l12x－y－2＝0与l2x＋y＋3＝0之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程．
[分析] 设点A（x，y）在l1上，则点A关于点P的对称点B（6－x，－y）在l2上，代入l2的方程，联立求得交点，从而求得直线方程．
[解析] 方法一 设点A（x，y）在l1上，
由题意知，
∴点B（6－x，－y），
解方程组
得，k＝＝8.
∴所求的直线方程为y＝8（x－3），即8x－y－24＝0.
方法二 设所求的直线方程y＝k（x－3），则
，解得
由，解得
∵P（3,0）是线段AB的中点，
∴yA＋yB＝0，即＋＝0，
∴k2－8k＝0，解得k＝0或k＝8.
又∵当k＝0时，xA＝1，xB＝－3，
此时＝≠3，∴k＝0舍去，
∴所求的直线方程为y＝8（x－3），
即8x－y－24＝0.
方法三 设点A（x1，y1）在l1上，点B（x2，y2）在l2上，则
，解得或
∴k＝kAB＝＝8，
∴所求的直线方程为8x－y－24＝0.
6．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：
（1）过定点A（－3,4）；
（2）斜率为.
[解析]
（1）设直线l的方程是y＝k（x＋3）＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3,3k＋4，
由已知，得（3k＋4）＝±6，
解得k1＝－或k2＝－.
故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.
（2）设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝x＋b，
它在x轴上的截距是－6b，
由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1.
∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
7．（2012·莆田月考）已知两点A（－1,2），B（m,3）．
（1）求直线AB的方程；
（2）已知实数m∈，求直线AB的倾斜角α的取值范围．
[解析]
（1）当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1，当m≠－1时，直线AB的方程为y－2＝（m＋1）．
（2）①当m＝－1时，α＝；
②当m≠－1时，m＋1∈∪（0，]，
∴k＝∈（－∞，－]∪，
∴α∈∪.
综合①②知，直线AB的倾斜角α∈.
升级会员 