中考数学圆知识点精讲docWord文档格式.docx
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在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对
应的其余各组量都分别相等。
4、圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
圆周角定理推论１：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。
圆周角定理推论２：
直径所对的圆周角是直角；
９０°
的圆周角所对的弦是直径。
例1如图，在半径为5cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长
是（）A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm
例2、如图，A、B、C、D是⊙O上的三点，∠BAC=30°
，则∠BOC的大小是（）
A、60°
B、45°
C、30°
D、15°
例3、如图1和图2，MN是⊙O的直径，弦AB、CD?
相交于MN?
上的一点P，
（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．
（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立若成立，加以证明；
若不成立，请说明理由．
M
AC
P
FEA
E
OBN
DBM
NDFC
（1）
（2）
（1）要说明AB=CD，只要证明AB、CD所对的圆心角相等．
解：
（1）AB=CD
理由：
（2）作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为E、F
例4．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系为什么
BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰，要证明D是BC的中点，?
只要连结AD
证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．
A
BD=CD
理由是：
知识点四、圆与三角形的关系
O
C
D
B
1、不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
2、三角形的外接圆：
经过三角形三个顶点的圆。
3、三角形的外心：
三角形三边垂直平分线的交点，即三角形外接圆的圆心。
4、三角形的内切圆：
与三角形的三边都相切的圆。
5、三角形的内心：
三角形三条角平分线的交点，即三角形内切圆的圆心。
例1如图，通过防治“非典”，人们增强了卫生意识，大街随地乱扔生活垃圾的人少了，人们自觉
地将生活垃圾倒入垃圾桶中，如图24－49所示，A、B、C?
为市内的三个住宅小区，环保公司要建一垃圾回收站，为方便起见，?
要使得回收站建在三个小区都相等的某处，请问如果你是工程师，你将如何选址．
连结AB、BC，作线段AB、BC的中垂线，两条中垂线的交点即为垃圾回收站所在的位置．例2如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°
，
则∠BOC=（
）
A．130°
B
．100°
C．50°
D
．65°
例3如图，Rt△ABC，∠C=90°
，AC=3cm，BC=4cm，则它的外心与顶点
C的距离为（
）．
A．5cmB
．2.5cm
C．3cmD
．4cm
直角三角形外心的位置是斜边的中点
BC
知识点五、直线和圆的位置关系：
相交、相切、相离
当直线和圆相交时，d＜r；
反过来，当d＜r时，直线和圆相交。
当直线和圆相切时，d＝r；
反过来，当d＝r时，直线和圆相切。
当直线和圆相离时，d＞r；
反过来，当d＞r时，直线和圆相离。
切线的性质定理：
圆的切线垂直于过切点的直径
切线的判定定理：
经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。
切线长：
在经过圆外一点的圆的切线上，这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和圆外这点的连线平分两条切
线的夹角。
例1、在中，BC=6cm，∠B=30°
，∠C=45°
，以A为圆心，当半径r多长时所作的⊙A与直线BC相切相交相离
例2．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A．
（1）CD与⊙O相切吗如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．
（2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°
，BD=10，求⊙O的半径．
（1）要说明CD是否是⊙O的切线，只要说明OC是否垂直于CD，垂足为C，?
因为C点
已在圆上．
由已知易得：
∠A=30°
，又由∠DCB=∠A=30°
得：
BC=BD=10解：
知识点六、圆与圆的位置关系
重点：
两个圆的五种位置关系中的等价条件及它们的运用．
难点：
探索两个圆之间的五种关系的等价条件及应用它们解题．
外离：
两圆没有公共点，一个圆上所有的点都在另一个圆的外部相离：
内含：
两圆没有公共点，一个圆上所有的点都在另一个圆的内部
相切：
外切：
两圆只有一个公共点，除公共点外一个圆上所有的点都在另一个圆的外部
内切：
两圆只有一个公共点，除公共点外一个圆上所有的点都在另一个圆的内部
相交：
两圆只有两个公共点。
设两圆的半径分别为r1、r2，圆心距（两圆圆心的距离）为d，则有两圆的位置关系，d与r1和r2之间的关系．
外离
d>
r1
+r2
外切
d=r1
相交
│r1
－r2│<
d<
r1+r2
内切
d=│r－r│
1
2
内含
0≤d<
│r－r
│（其中d=0，两圆同心）
例1．两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图1所示（点O，O′是圆心），分隔两个肥皂泡的
肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小．
要求∠TPN，其实就是求∠OPO′的角度，很明显，∠POO′是正三角形，如图2所示．
例2．如图1所示，⊙O的半径为7cm，点A为⊙O外一点，OA=15cm，求：
（1）作⊙A与⊙O外切，并求⊙A的半径是多少
OA
（1）
（2）
（2）作⊙A与⊙O相内切，并求出此时⊙A的半径．
（1）作⊙A和⊙O外切，就是作以A为圆心的圆与⊙O的圆心距
d=rO+rA；
（?
）?
作
OA
与⊙O相内切，就是作以A为圆心的圆与⊙O的圆心距d=rA－rO．
例3．如图所示，点A坐标为（0，3），OA半径为1，点B在x轴上．
（1）若点B坐标为（4，0），⊙B半径为3，试判断⊙A与⊙B位置关系；
（2）若⊙B过M（－2，0）且与⊙A相切，求B点坐标．
y
Ox
知识点七、正多边形和圆
讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、?
边长之间的关系．
使学生理解四者：
正多边形半径、中心角、?
弦心距、边长之间的关系．
正多边形的中心：
所有对称轴的交点；
正多边形的半径：
正多边形外接圆的半径。
正多边形的边心距：
正多边形内切圆的半径。
正多边形的中心角：
正多边形每一条边所对的圆心角。
正n边形的n条半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形，每个等腰三角形又被相应的边心距分成两个全等的直角三角形。
例1．如图，已知正六边形ABCDEF，其外接圆的半径是a，?
求正六边形的周长和面积．
要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应
与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OM⊥AB垂于M，在Rt△AOM?
中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长．正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的．
ED
FC
AMB
例2．在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为
AB，顶点C在半
圆圆周上，其它两边分别为
6和8，现要建造一个内接于△ABC?
的矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，
如图24－94的设计方案是使AC=8，BC=6．
（1）求△ABC的边AB上的高h．
（2）设DN=x，且h
DNNF，当x取何值时，水池DEFN的面积最大
hAB
（3）实际施工时，发现在AB上距B点1．85的M处有一棵大树，问：
这棵大树是否位于最大矩形
水池的边上如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩
形水池能避开大树．
NF
h
ADGEB
要求矩形的面积最大，先要列出面积表达式，再考虑最值的求法，初中阶段，尤其现学的知识，应用配方法求最值．（3）的设计要有新意，?
应用圆的对称性就能圆满解决此题．
知识点八、弧长和扇形、圆锥侧面积面积
n°
的圆心角所对的弧长
L=nR，扇形面积S扇=n
R2
、圆锥侧面积面积及其它们的应用．
180
360
公式的应用．
1．n°
的圆心角所对的弧长L=nR
2．圆心角为n°
的扇形面积是
S扇形=nR2
3.全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的，所以全面积
=
rL+r2．
例1．操作与证明：
如图所示，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O处，并将纸板绕O点旋转，求证：
正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长
度为定值a．
如图所示，不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB、AD?
分别交于点M、N，连结OA、OD．∵
四边形ABCD是正方形
∴OA=OD，∠AOD=90°
，∠MAO=∠NDO，
又∠MON=90°
，∠AOM=∠DON∴△AMO≌△DNO
∴AM=DN∴AM+AN=DN+AN=AD=a
特别地，当点M与点A（点B）重合时，点N必与点D（点A）重合，此时AM+AN仍为定值a．故总有
正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．
例2．已知扇形的圆心角为120°
，面积为300cm2．
（1）求扇形的弧长；
（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少
（1）由S扇形=nR2
求出R，再代入
L=nR求得．
（2）若将此扇形卷成一个圆锥，?
扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长，就可求圆的半径，其截面是一个以底是直径，
?
圆锥母线为腰的等
腰三角形．
考查目标一、主要是指圆的基础知识，包括圆的对称性，圆心角与弧、弦之间的相等关系，圆周角与圆心角之间的关系，直径所对的圆周角是直角，以及垂径定理等内容。
这部分内容是圆的基础知识，学生要学会利用相关知识进行简单的几何推理和几何计算
例1、如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交BC于D．
（1）请写出五个不同类型的正确结论；
（2）若BC=8，ED＝2，求⊙O的半径．解题思路：
运用圆的垂径定理等内容
例2.已知：
如图等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧PC上的一点（端点除外），延长BP至D，使
BDAP，连结CD．
（1）若AP过圆心O，如图①，请你判断△PDC是什么三角形并说明理由．
（2）若AP不过圆心O，如图②，△PDC又是什么三角形为什么
（1）△PDC为等边三角形．
图①
图②
例3.
（1）如图OA、OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C是OB延长线上任意一点：
过点C作CD切
⊙O于点D，连结AD交DC于点E．求证：
CD=CE
（2）若将图中的半径OB所在直线向上平行移动交OA于F，交⊙O于B’，其他条件不变，那么上述结论CD=CE还成立吗为什么
（3）若将图中的半径OB所在直线向上平行移动到⊙O外的CF，点E是DA的延长线与CF的交点，其他条件不变，那么上述结论CD=CE还成立吗为什么
本题主要考查圆的有关知识，考查图形运动变化中的探究能力及推理能力．
解答：
（1）证明：
连结OD则OD⊥CD，∴∠CDE+∠ODA=90°
（2）CE=CD仍然成立．
（3）CE=CD仍然成立．
考查目标二、主要是指点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系的相关内容。
学生要学会用动态的观点理解和解决与圆有关的位置关系的问题。
例1、AB是⊙O的直径，PA切⊙O于A，OP交⊙O于C，连BC．若P30o，求B的度数．
运用切线的性质.
OC
QPA切⊙O于A，AB是⊙O的直径，∴
PAO
90o．
QP
30o，∴
AOP
60o．∴
30o
例2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE
CD，垂足为E，DA平分BDE．
（1）求证：
AE是⊙O的切线；
（2）若
DBC
30o，DE1cm，求BD的长．
运用切线的判定
（1）证明：
连接OA，QDA平分
BDE，
BDA
EDA．
QOA
OD，
ODA
OAD．
OAD
OA∥CE．
QAE
DE，
AED
90o，OAE
DEA
AE
OA．
AE是⊙O的切线．
（2）QBD是直径，
BCD
BAD
QDBC
30o，
BDC
60o，
BDE
120o
．
QDA平分
EDA
60o．
ABD
EAD
30o．
在Rt△AED中，
90o，EAD
30o，AD
2DE．
在Rt△ABD中，
90o，ABD
30o，BD
2AD
4DE．
QDE的长是1cm，BD的长是4cm．
考查目标三、主要是指圆中的计算问题，包括弧长、扇形面积，以及圆柱与圆锥的侧面积和全面积的计算，这部分内容也是历年中考的必考内容之一。
学生要理解圆柱和其侧面展开图矩形、圆锥和其侧面展开图扇形之间的关系。
例1、如图，已知在⊙O中，AB=43，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30°
.
（1）求图中阴影部分的面积；
（2）若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面
圆的半径.
（1）法一：
过O作OE⊥AB于E，则AE=1AB=23。
在Rt△AEO中，∠BAC=30°
，cos30°
=AE．
F
∴OA=AE=23=4．
cos303
又∵OA=OB，∴∠ABO=30°
．∴∠BOC=60°
∵AC⊥BD，∴
BC
CD．∴∠COD=∠BOC=60°
．∴∠BOD=120°
∴S阴影=nπOA2
=120g2
16．
π4
π
3
法二：
连结AD．
∵AC⊥BD，AC是直径，∴AC垂直平分
BD。
∴AB=AD，BF=FD，BC
CD。
∴∠BAD=2∠BAC=60°
，∴∠BOD=120°
∵BF=1AB=2
3，sin60°
=AF，AF=AB·
sin60°
=43×
3=6。
AB
∴OB=BF+OF．即（23）2
（6OB）2
OB2．∴OB=4．∴S阴影=1S圆=16π。
法三：
连结BC．
∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC=90°
。
∵AB=4
3，∴AC
4
8
cos30
∵∠A=30°
AC⊥BD，∴∠BOC=60°
120
16
∴S
阴影
π。
π·
OA=
×
4·
π=
以下同法一。
（2）设圆锥的底面圆的半径为
r，则周长为2πr，∴2πr
120πg4∴r
4。
例2.如图，从一个直径是
2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为
90o的扇形．
①
②
（1）求这个扇形的面积（结果保留
（2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与
③
此扇形围成一个圆锥请说明理由．
（3）当⊙O的半径R（R
0）为任意值时，
（2）中的结论是否仍然成立请说明理由．
（1）连接BC，由勾股定理求得：
AC
S
nR2
AO
eO
（2）连接
并延长，与弧
和
交于
nR
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