工程数学线性代数课后答案详细答案真正同济第五版Word格式文档下载.docx
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4124
2141
1202
3-121
10520
1232
0117
5062
⑴
a
与4“。
口厲対A+2“
4.计算下列各行列式:
ab
ac
ae
bd
-cd
de
bf
⑶
（b
rO
1
b
d
1202
■qYr〕
0-72-4
TOfi
0-152-20
1"
Hi
0117
■i#■-
2
7
n+Un
1-
■i
-15
-20
17
85
-7
-4
g
45
=0（因第3、4行成比例九
4
6
5
=0（因有两行相同）:
01+（26
'
!
■'
1+dba
1b
LP（"
1）（-1）3
—1c
0-1
c
il
•■«
-
00
1*血
aad
按门廉开*
1+^6
ad
c1+cd
---（
-1）（-DS
1+a/
-10
=（1+a6）（l+cd）+ad・
5.求解下列方程：
（1）2工+11=0；
⑵22以2丸，其中―山
I71工+1xabc
I?
/b3c3
互不相等”
「卄110
解⑴左式：
:
（龙+3）2j+11
riv（x*3）
I1工+I
100!
a+3）2戈-ii
2z+1
•T■]]
之工+3）.xl二&
+3）（<
-3）.
I工+1
于是方程的解为山严-3,可二厲皿严-厲;
（2）注意到方程左式为4阶范德蒙徳行列式，由例12的结果得因ard,c互不相等，故方程的解为=atx2=Z?
j73=（:
.
aba1b2
a4bA
6.证明:
a*ai
hb£
2aa+
b2b
=
（<
2~
I1
axby
ay+bz
az+
bx
azb
JC
ax卡
by
=3
az+bx
ax+by
ay+
bz
a2（a
+1）2
（a
+2）1
（
+3）》
b2（b
+2）2
+3严
c2（c
+D1
+2尸
d2（d
{d
十3尸
+63）
=0；
11
=（a-fe）（a-c）（a-d）（6-c）（6~J）（c-J）（a+i?
+c+d）;
t）
（5）
=碍工"
十心-1工
+-*k+a,x+fla.
«
u
证
（1）左式
a2-It1
2（a*6）
ab—b2b2a*62b01
（«
-6）2ab-b1
b2
2b
（a—/j）j=右式;
（2）将左式按第1列拆开得
axay+bzaz+bn
hyay+bzaz+bx
左式=
ayazbxa工十by
+
bzaz+bjcax+by
二aD|+bD工
azcljc+byay+
bxa^c+byay+bz
其中
.T
ay
+Ziz
az+bT
ay十6z
Z|
+bx
q-如i
y
az
w+by
"
c3ta
ax
+by
y忑
yay+bzazbx
yzaz+bx
zaz"
卜bxax+by
.’b
zxflj+Z）y
Cl—fr
xaxbyuy+bz
xyay+bz
£
y
yzjc
jcyz
乃f2
zxy
1打
yzx
巾I■门
xy上
\zxy
.V
于是
D=aD}
二右式"
2a+1
2a+5
（3）左式
2b4-I
2bI
26+5
2f+5
2d
2^+5
26+1
2c+\
=0（固有两列相同A
（4）左式=r3-ar!
ri-ari
c-fl
<
（c*a）
oa
b（b*a）bl（b^~a2）r1（r1-<
a3）
61{A+u）r2（c+£
2）J3（c/+a）
I11
0c~bd~b
0j>
Fi,—+£
1）T3
...-._f-a）（c-a）（<
/-a）
i-a
-a）
dl（dz~al）
jy
y-d2tda）~bd{ba）=t/（ab+d}（d-b）.
c（a+i4-c）d（a+b+d）
故…af
亦y
=（c~++d）-c（a+£
>
+c）]
=—/?
）[（^—c）（a+b）+d2-c1]
—（c-b）（db）（d~e）（a+Z?
+f+^）f
因此，左式=（i^a）（c—a）（J*n）（r,~/>
）（^—A）（J-c）（a+i+c+r/）=右式.证一递推法•按第1列展开，以彈立递惟公式，
=xD.+（-l）1"
+^a=zD-+a0.又*归纳基础为：
D*=%（注癒不是于是
D„t]=工D.+金”
=x（hD卄|+a|）+fla
=jr2Dlt-l+ai^+a
=^HDj+a^tx"
++arr+
=a（）+tt|x++"
■+■
证二按最后一行展开得
JI
De=艺（—1严小勺
71
=斗=
=a0+at3：
+aTx?
4-+丘.-）工"
°
、+-
7.设n阶咅列式D"
叙％人把D上下翻转、或逆时针旋转9叭或依副对角线翻转、依欧得
Dt=i；
tD2=:
J,Di=i:
T
S*■'
5«
n'
**|盘訂…fin
证明D,=D3=（-1）"
（'
*D=P*
证
（1）先计算口.为此通过交换行将0变换成6从而找出D与D的关系.
D}的燧后一行是D的第I行，把它依次与前面的行交换，直至换到第1行，共竝行幫-1次交换卡这时最后一行是。
的第2行，把它依次与前面的行交换，直至换到第2行，共进行片-2次交换辛……，宜至最后一行是D的第卉-1行,再通过一次交换将它换到第甘一I行，这样就把D.变换成D,共进行
p1
（"
-1}+（“-2〉十…十1=知1（打-1）
次交换’放D严（7）卜7口・
注r上述交换行列式的行（列）的方法，在解题时，经當用到，它的特点悬在把盘垢一行换到某一行的同时，保持其余冲-i个行之间原有的先后次序（但行的序号可能改变）”2・同理把D左右翻转所得行列式为（
（2〉计算D齐注意到D2的第1,2,行恰好依次是D的第“冲-
1列,故若把巧上下翻转得厲“则D.的第1,2,行依次尼D的第1,2*…小列，即乔】=£
）「一于是由
（1）
D,=（-1沪_1>
D3=（-I）卜—门£
f■（-』）討・7D.
（3）计算D,注意到若把住逆时针躱转90■得方.则Ds的第1卫，…小列恰好JtD的第»
n-L-~a歹叭于是再把Dt左右翻转就得到D.由
（1）之注及⑵，有
注本例的结论值得记取+即对行列式D作转置、依副对第蝮制转、庇转180^得行列式不变；
件上下翻转、左右翻转、逆（舰】时针艇转9（T所得行列武为（-小心％,
&
卄算下列各行列式<
Dk^k阶行列式）：
a1
（1）Dn=*，其中对甬线上元素都是s未写出的元素都是5
1◎
⑵D.=
日
*
a…a
工…a
•■
V■
a…x
护（a-l）*小（a-j?
）"
（a-I）*
・•・（a-nV：
»
■«
■■B
aa1
…G~~M
…]
提示^利用范德蒙總行列式的结杲.
•H
★其中未写岀的元素都是0；
⑸DwBdet（a4）f其中=I（->
1;
1+%1…1
11十包…1
⑹D严.”*，其中叭口八y.HO*
l!
«
4
1'
1・"
1十打”
0*
*a
按幫一列
展开
（1）解一把0«
，按第一行展开得
（一1厂小
解二
（2）本题中D„是教材例8中行列式的一般形式，它是一牛非常有用的行列
式■在且后各章中育不少应用.
…J：
+（M—1）«
解利用各列的元素之和相同.提取公因式*jr+（n-1）a
—（x-a）"
1[x+（n—1）a]*
（3）解把所给行列式上下翻转，即为范德蒙德行列式，若再将它左右翻转，由于上下翎转与左右翻转所用交换次数相等，故行列式经上下翻转再左右翻转（相当于转i£
（r,参看题刀耳值不变•于是按范德蒙德行列式的结果，可得
11…1
na—jr+1
（a-w）*（<
1-n+1}**
（4）解本题与例II相仿，解法也大致相同，用递推法.
r严6
D”：
_=
J叽！
Qc,心\
AAB.----s.ta.--d=
0E4.7
即有递推公式
D和=（a„dm-bnc„）D2{-，d.
另一方面，归纳基础为D2=
利用这些结果，递推得
■（ai^i-枷G）-口（松皿-btct）.
I
（5）鹏
2…
H-1
“n—2算—[
1…
n一
G»
ftA■■J
iii
0…
曹■
n—
■*d]
*'
■
W
•
71—1
n"
2
n-3…
…1
D.=
n
-2
2n-3w-1
-2-1
-2-I
（6）解将原行列式化为上三角形行列式，为此，从第2行起’各行均减去第1行’得与例1.340仿的行列式
阶■FJI
[+al1…1
一叭flj
bl…1
0伽
*«
*»
V
i=2f■■■,n
■ill
•V
--i
-a1■“an
0…aa
■1.：
.i
其中“1+«
（+6，*釦（1十訊）于是
="
讪噫》
3）-12
9.^D=]3,D的（f,j）元的代数余子式葩作A,求
201—1
1-53-3
AI】+3Ajj—2Am+2Au*
解与例巧相仿/囂十誓于用13-2’2替换D的第
3行对应元素所得行列式，即
=24*
10.
5xl+6j7a
jj+5je；
+6x3
用克拉默法则解下列方程组；
j|+Xj+—51
0.
j72十5xj+6工”=0h
xI+2x2~+4i4=-2;
（1>
i”
2^|-3j}jtj-5j*=-2>
3xi+j：
2+2j^.十1l.Ti=0;
2-3
-5
11
卩
i
1-
[°
-5-
•3
1|o
亠2-
■1
8
\11
II-13
01
II'
14
*2尸
5）1
q
-22-1
亠2-3-J
口-
2rt
-to
9
-13
35
按门
-27
23
-12
-10
-3
=-284；
-31
-2-4
-22
33
ra~2r（口-3r（
-47
-29
32
I.
_22
75
15
「15
-47S
-2914
=-4261
□-3心
*5
Io
一2
D」=
一13
「29
T7
=142.
由克拉默法则•得
而
⑵D=
5600
560
600
1560
临C,哄开
156
—
0156
015
0015
=5
=65j
（*）
于是0=325-114=211；
由
D2=
05
1160
500
056
160
按门展开
=-19+180=
161；
61
50
10
=5-114=-109?
氐=
60
按"
t1
rti（*
）式
■1+65=64.
15
5+15
由克拉默法则，得
_Dt_151一D—］6i6_109_6_64
乃-万一.jtt比一廿丽吊=©
■二~2n^<
=_D=m'
11.问瓶护取何值时，齐欧线性方程组
S工］十+j3=o,
“I+2/tr:
+jc3=0
有非零解?
解由定理5'
・此时方程组的系数行列式必须为山
故只宿当^=0^A=1时•方程组才可能有非零解.•当严=0,原方程组成为
fXi］+x2+jj—0T
［工［+Xj—0t
显然X）=l1j：
3=t-Atjr3^-1是它的一牛非零解；
当A=lf原方程组成为
J）+xj+x30,［帀+fjUCj+-0,
旳十工灼+Xy=Qt蛊然“I=-l,jj=0^1=1是它的一个非零解一因此，当站=0或A=1时•方程组有非零解.
注定理賓或定理亍）仅表明齐氏线性方程组聲有非零解，它的系数行列
式必为零•至于这条件是否充分将在第三章中予以解抉•目前还是应验证它有非零解"
下题也是同样1S形”
12问A取何值时，齐次线性方程组
f（1~A）jI-2孔+4j：
3=0,
■*2斗+-X）巧+Tj=0（
+X：
+（1-A>
Jt3=0
有菲零解？
解若方程组有非零解，由定理5S它的系数行列式D=0.
1-A一2
23-A
L1
1J
1-^|]-A
1I1-A
0172A-1
0-3+A4—.（1"
A）z
3-A
-A（A-2）（A-3）.
1-A2^—1
+*■>
1-XA
-3+A4-（1-A）!
A**33A—A2
1-A
故D=0=>
A=0或人=2或A=3t并且不难验证;
当人=0时’工产-2^2-11j：
3=1;
当A=2H'
}tjT]--2严=3*巧=1：
当人=3时口严-1.^=5,^=2均是该方程组的非零解.所H当A=0.2,3时方程组有非零解.
〔5
oj
11J
（4）|
）
4/
•4
0-
-2」
S
A13
aJ
r
⑸（和T-
巧1
巧）
flu
力
%
ojj*
Ij
i：
Jx3
J
j'
j
⑵（1,2⑶
k
I.计算下列黑积:
（4
3'
；
⑶.
（_L2）s
⑵
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