则有≤B<.
答案
（1）ER
（2）
（3）≤B＜
【变式探究】如图所示的坐标系中，第一象限内存在与x轴成30°角斜向下的匀强电场，电场强度E＝400N/C；第四象限内存在垂直于纸面向里的有界匀强磁场，x轴方向的宽度OA＝20cm，y轴负方向无限大，磁感应强度B＝1×10－4T.现有一比荷为＝2×1011C/kg的正离子（不计重力），以某一速度v0从O点射入磁场，α＝60°，离子通过磁场后刚好从A点射出，之后进入电场．
（1）求离子进入磁场B的速度v0的大小；
（2）离子进入电场后，经多少时间再次到达x轴上；
（3）若离子进入磁场B后，某时刻再加一个同方向的有界匀强磁场使离子做完整的圆周运动，求所加磁场磁感应强度的最小值．
解析 离子的运动轨迹如图所示
（2）离子进入电场后，设经过时间t再次到达x轴上．离子沿垂直电场方向做速度为v0的匀速直线运动，位移为l1
l1＝v0t
离子沿电场方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度为a，位移为l2
Eq＝ma
l2＝at2
由几何关系可知tan60°＝
代入数据解得t＝×10－7s
（3）由Bqv＝知，B越小，r越大．设离子在磁场中最大半径为R
由几何关系得R＝（r1－r1sin30°）＝0.05m
由牛顿运动定律得B1qv0＝m得B1＝4×10－4T
则外加磁场ΔB1＝3×10－4T
答案
（1）4×106m/s
（2）×10－7s
（3）3×10－4T
【感悟提升】带电粒子在组合场中的运动问题，一般都是单物体多过程问题，求解策略是“各个击破”：
（1）先分析带电粒子在每个场中的受力情况和运动情况，抓住联系相邻两个场的纽带——速度（一般是后场的入射速度等于前场的出射速度），
（2）然后利用带电粒子在电场中往往做类平抛运动或直线运动，在磁场中做匀速圆周运动的规律求解．
【命题热点突破二】带电粒子在叠加复合场中的运动
例2.如图所示，水平线AC和竖直线CD相交于C点，AC上开有小孔S，CD上开有小孔P，AC与CD间存在磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，∠DCG＝60°，在CD右侧、CG的下方有一竖直向上的匀强电场E（大小未知）和垂直纸面向里的另一匀强磁场B1（大小未知），一质量为m、电荷量为＋q的塑料小球从小孔S处无初速度地进入匀强磁场中，经一段时间恰好能从P孔水平匀速飞出而进入CD右侧，小球在CD右侧做匀速圆周运动而垂直打在CG板上，重力加速度为g.
（1）求竖直向上的匀强电场的电场强度E的大小；
（2）求CD右侧匀强磁场的磁感应强度B1的大小；
（3）若要使小球进入CD右侧后不打在CG上，则B1应满足什么条件？
解析
（1）因小球在CD右侧受重力、电场力和洛伦兹力作用而做匀速圆周运动，所以有mg＝qE，即E＝.
（2）小球进入磁场后，由于重力作用，速率不断增大，同时在洛伦兹力的作用下小球右偏，当小球从小孔P水平匀速飞出时，受力平衡有Bqv＝mg，即v＝
从S到P由动能定理得mg＝mv2，即＝
因小球从小孔P水平飞入磁场B1后做匀速圆周运动而垂直打在CG上，所以C点即为小球做圆周运动的圆心，半径即为r＝
又因B1qv＝m
联立得B1＝2B.
答案
（1）
（2）2B （3）B1≥4.3B
【变式探究】如图所示，离子源A产生的初速度为零、带电荷量为e、质量不同的正离子被电压为U1的加速电场加速后进入一电容器中，电容器两极板之间的距离为d，电容器中存在磁感应强度大小为B的匀强磁场和匀强电场．正离子能沿直线穿过电容器，垂直于边界MN进入磁感应强度大小也为B的扇形匀强磁场中，∠MNQ＝90°.（不计离子的重力）
（1）求质量为m的离子进入电容器时，电容器两极板间的电压U2；
（2）求质量为m的离子在磁场中做圆周运动的半径；
（3）若质量为4m的离子垂直打在NQ的中点S1处，质量为16m的离子打在S2处．求S1和S2之间的距离以及能打在NQ上正离子的质量范围．
解析
（1）设离子经加速电场后获得的速度为v1，应用动能定理有U1e＝mv
离子进入电容器后沿直线运动，有＝Bev1
得U2＝Bd
（3）根据
（2）中R＝，质量为4m的离子在磁场中运动打在S1处，运动半径为
R1＝
质量为16m的离子在磁场中运动
打在S2处，运动半径为R2＝
又ON＝R2－R1
由几何关系可知S1和S2之间的距离ΔS＝－R1
联立解得ΔS＝2（－1）
由R′2＝（2R1）2＋（R′－R1）2
解得R′＝R1
再根据R1≤Rx≤R1
解得m≤mx≤25m
答案
（1）Bd
（2）
（3）m≤mx≤25m
【命题热点突破三】带电粒子在交变电磁场中的运动及多解问题
例3、如图甲所示，宽度为d的竖直狭长区域内（边界为L1、L2），存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直方向上的周期性变化的电场（如图乙所示），电场强度的大小为E0，E＞0表示电场方向竖直向上．t＝0时，一带正电、质量为m的微粒从左边界上的N1点以水平速度v射入该区域，沿直线运动到Q点后，做一次完整的圆周运动，再沿直线运动到右边界上的N2点．Q为线段N1N2的中点，重力加速度为g.上述d、E0、m、v、g为已知量．
（1）求微粒所带电荷量q和磁感应强度B的大小．
（2）求电场变化的周期T.
（3）改变宽度d，使微粒仍能按上述运动过程通过相应宽度的区域，求T的最小值．
（2）设微粒从N1运动到Q的时间为t1，做圆周运动的周期为t2，则＝vt1⑤（1分）
qvB＝m⑥（2分）
2πR＝vt2⑦（1分）
联立③④⑤⑥⑦得t1＝；t2＝⑧（2分）
电场变化的周期T＝t1＋t2＝＋⑨（1分）
（3）若微粒能完成题述的运动过程，要求d≥2R⑩（1分）
联立③④⑥得R＝⑪（1分）
设在N1Q段直线运动的最短时间为t1min，由⑤⑩⑪得
t1min＝
因t2不变，T的最小值Tmin＝t1min＋t2＝.（2分）
【感悟提升】空间存在的电场或磁场是随时间周期性变化的，一般呈现“矩形波”的特点．交替变化的电场及磁场会使带电粒子顺次经过不同特点的电场、磁场或叠加的场，从而表现出多过程现象，其特点较为隐蔽，应注意以下两点：
（1）仔细确定各场的变化特点及相应时间，其变化周期一般与粒子在磁场中的运动周期关联．
（2）把粒子的运动过程用直观草图进行分析．
【变式探究】如图甲所示，两竖直线所夹区域内存在周期性变化的匀强电场与匀强磁场，变化情况如图乙、丙所示，电场强度方向以y轴负方向为正，磁感应强度方向以垂直纸面向外为正．t＝0时刻，一质量为m、电量为q的带正电粒子从坐标原点O开始以速度v0沿x轴正方向运动，粒子重力忽略不计，图乙、丙中E0＝，t0＝，B0已知．要使带电粒子在0～4nt0（n∈N）时间内一直在场区运动，求：
（1）在t0时刻粒子速度方向与x轴的夹角；
（2）右边界到O的最小距离；
（3）场区的最小宽度．
解析
（1）由牛顿第二定律，得E0q＝ma
vy＝t0（2分）
E0＝
tanθ＝（1分）
θ＝37°（1分）
（2）x1＝v0t0（1分）
如图所示，由几何关系得
x2＝R1－R1cos53°（1分）
B0qv＝m（1分）
v＝（1分）
x＝x1＋x2＝（π＋0.5）（1分）
答案
（1）37°
（2）（π＋0.5）
（3）（1.5n＋1.5＋π）
【高考真题解读】
1．（2015·福建理综，22，20分）如图,绝缘粗糙的竖直平面MN左侧同时存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向右，电场强度大小为E，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B.一质量为m、电荷量为q的带正电的小滑块从A点由静止开始沿MN下滑，到达C点时离开MN做曲线运动．A、C两点间距离为h，重力加速度为g.
（1）求小滑块运动到C点时的速度大小vC；
（2）求小滑块从A点运动到C点过程中克服摩擦力做的功Wf；
（3）若D点为小滑块在电场力、洛伦兹力及重力作用下运动过程中速度最大的位置,当小滑块运动到D点时撤去磁场,此后小滑块继续运动到水平地面上的P点．已知小滑块在D点时的速度大小为vD，从D点运动到P点的时间为t，求小滑块运动到P点时速度的大小vP.
（3）如图，小滑块速度最大时，速度方向与电场力、重力的合力方向垂直．撤去磁场后小滑块将做类平抛运动，等效加速度为g′
g′＝⑥
且v＝v＋g′2t2⑦
解得vP＝⑧
答案
（1）
（2）mgh－
（3）
2．（2015·重庆理综，9，18分）如图为某种离子加速器的设计方案．两个半圆形金属盒内存在相同的垂直于纸面向外的匀强磁场．其中MN和M′N′是间距为h的两平行极板，其上分别有正对的两个小孔O和O′，O′N′＝ON＝d，P为靶点，O′P＝kd（k为大于1的整数）．极板间存在方向向上的匀强电场，两极板间电压为U.质量为m、带电量为q的正离子从O点由静止开始加速，经O′进入磁场区域．当离子打到极板上O′N′区域（含N′点）或外壳上时将会被吸收．两虚线之间的区域无电场和磁场存在，离子可匀速穿过，忽略相对论效应和离子所受的重力．求：
（1）离子经过电场仅加速一次后能打到P点所需的磁感应强度大小；
（2）能使离子打到P点的磁感应强度的所有可能值；
（3）打到P点的能量最大的离子在磁场中运动的时间和在电场中运动的时间．
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