河北省衡水中学届高三下期期中考试 数学理.docx

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河北省衡水中学届高三下期期中考试数学理

河北省衡水中学2015届高三下期期中考试

数学（理）试题

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前。

考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．

3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知i为虚数单位，则复数

A．B．C．D．

2．已知集合,，则

A．B．C．D．

3．已知,则

A．B．C．D．

4．下列说法中，不正确的是

A．已知，命题“若，则”为真命题；

B．命题“”的否定是“”；

C．命题“p或q”为真命题，则命题p和命题q均为真命题；

D．“x>3”是“x>2”的充分不必要条件．

5．已知偶函数f（x），当时，f（x）=2sinx，当时，，则

A．B．1C．3D．

6．执行下面的程序框图，如果输入的依次是1,2,4,8，则输出的S为

A．2B．C．4D．6

7．如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则与平面所成的角的大小为

A．B．C．D．

8．已知O、A、B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2km处，B地在O地正北方向2km处，某测绘队员在A、B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点，用测绘仪进行测绘．O地为一磁场，距离其不超过的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确．则该测绘队员能够得到准确数据的概率是

A．B．C．D．

9．已知抛物线的焦点F恰好是双曲线的一个焦点，两条曲线的交点的连线经过点F，则双曲线的离心率为

A．B．

C．D．

10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

A．64B．72

C．80D．112

11．已知平面图形ABCD为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线，其余各边均在此直线的同侧），且AB=2，BC=4，CD=5，DA=3，则四边形ABCD面积S的最大值为

A．B．C．D．

12．已知函数，若关于x的方程有8个不同的实数根，则由点（b，c）确定的平面区域的面积为

A．B．C．D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分．

13．已知平面向量a，b的夹角为，|a|=2，|b|=1，则|a+b|=．

14．将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的种数为（用数字作答）．

15．设过曲线（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在过曲线上一点处的切线，使得，则实数a的取值范围为．

16．已知椭圆的两个焦点分别为,设P为椭圆上一点，的外角平分线所在的直线为l，过分别作l的垂线，垂足分别为R、S，当P在椭圆上运动时，R、S所形成的图形的面积为．

三、解答题：

本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

设数列的前n项和为，，，且、、为等差数列的前三项．

（1）求数列、的通项公式；

（2）求数列的前n项和．

18．（本小题满分12分）

集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为、、，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需费用为100元．

（1）求集成电路E需要维修的概率；

（2）若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X的分布列和期望．

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AP=AD=AB=,BC=t，∠PAB=∠PAD=．

（1）当时，试在棱PA上确定一个点E，使得PC∥平面BDE，并求出此时的值；

（2）当时，若平面PAB⊥平面PCD，求此时棱BC的长．

20．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E．

（1）求曲线E的方程；

（2）设P是曲线E上的动点，点B、C在y轴上，△PBC的内切圆的方程为，求△PBC面积的最小值．

21．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）若f（x）在区间[2,3]上单调递增，求实数a的取值范围；

（2）设f（x）的导函数的图象为曲线C，曲线C上的不同两点、所在直线的斜率为k，求证：

当a≤4时，|k|>1．

请考生在第22~24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（本小题满分10分）选修4-1：

几何证明选讲

如图，已知和相交于A、B两点，AD为的直径，延长DB交于C，点G为弧BD的中点，连结AG分别交、BD于点E、F，连结CE．

（1）求证：

;

（2）求证：

．

23．（本小题满分10分）选修4-4：

坐标系与参数方程

已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）分别写出的普通方程，的直角坐标方程．

（2）已知M、N分别为曲线的上、下顶点，点P为曲线上任意一点，求|PM|+|PN|的最大值．

24．（本小题满分10分）选修4-5：

不等式选讲

已知函数的定义域为R．

（1）求实数m的取值范围．

（2）若m的最大值为n，当正数a、b满足时，求的最小值．

-END-