正弦定理教案全.docx

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正弦定理教案全

1.1.1正弦定理

教学要求：

通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题.

教学重点：

正弦定理的探索和证明及其基本应用.

教学难点：

已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数.

教学过程：

一、复习引入：

1.在任意三角形行中有大边对大角，小边对小角的边角关系？

是否可以把边、角关系准确量化？

2.在中，角A、B、C的正弦对边分别是，你能发现它们之间有什么关系吗？

结论★：

。

二、讲授新课：

探究一：

在直角三角形中，你能发现三边和三边所对角的正弦的关系吗？

直角三角形中的正弦定理：

sinA=sinB=sinC=1即c=.

探究二：

能否推广到斜三角形？

（先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）

当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据三角函数的定义，有,则.同理，（思考如何作高？

），从而.

探究三：

你能用其他方法证明吗？

1．证明一：

（等积法）在任意斜△ABC当中

S△ABC=.

两边同除以即得：

==.

2．证明二：

（外接圆法）如图所示，∠A＝∠D，∴，

同理=2R，＝2R.

3．证明三：

（向量法）过A作单位向量垂直于，由+=边同乘以单位向量得…..

正弦定理：

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

=2R

[理解定理]

1公式的变形：

2.正弦定理的基本作用为：

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形.

3.利用正弦定理解三角形使,经常用到:

①②③

三、教学例题：

例1已知在.

分析已知条件→讨论如何利用边角关系→示范格式→小结：

已知两角一边

解：

∴

由得

由得

评述：

此类问题结果为唯一解，学生较易掌握，如果已知两角和两角所夹的边，也是先利用内角和180°求出第三角，再利用正弦定理.

例2

解：

，

练习：

P4——1.2题

例3在

解：

∵

∴

【变式】

四、小结：

五、课后作业

1在△ABC中，,则k为（2A）

A2RBRC4RD（R为△ABC外接圆半径）

2在中，已知角，则角A的值是

A.B.C.D.或

3、在△ABC中,

4、在中，若，则A=。

5、在△ABC中，,则三角形ABC的面积为

5、在中，已知，解三角形。

六、心得反思

1.1.1正弦定理学案

学习目标：

①发现并掌握正弦定理及其证明方法；②会用正弦定理解决三角形中的简单问题。

预习自测

1.正弦定理的数学表达式

2.一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做.

3．利用正弦定理可以解决两类三角形的问题

（1）

（2）

问题引入：

1、在任意三角形行中有大边对大角，小边对小角的边角关系.是否可以把边、角关系准确量化？

2、在中，角A、B、C的正弦对边分别是，你能发现它们之间有什么关系吗？

结论★：

。

二合作探究：

1、探究一：

在直角三角形中，你能发现三边和三边所对角的正弦的关系吗？

2、探究二：

能否推广到斜三角形？

（先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）

3、探究三：

你能用其他方法证明吗？

4、正弦定理的变形：

5、正弦定理的应用（能解决哪类问题）：

三例题讲解

例1已知在

例2

例3在

【变式】

思考：

通过上面的问题，你对使用正弦定理有什么想法？

四课堂练习：

必修5课本P4T1、2

五课后作业：

1在△ABC中，,则k为（）

A2RBRC4RD（R为△ABC外接圆半径）

2△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为（）

A直角三角形B等腰直角三角形C等边三角形D等腰三角形

3在中，已知角，则角A的值是

A.B.C.D.或

4、在中，若，则A=。

5、在中，已知，解三角形。

六心得反思

1．1．2解三角形的进一步讨论

教学目标

掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法。

教学重点

在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；

三角形各种类型的判定方法。

教学过程

Ⅰ.课题导入

[创设情景]

思考：

在ABC中，已知，，，解三角形。

（由学生阅读课本第9页解答过程）

从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。

下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。

Ⅱ.讲授新课

[探索研究]

探究一．在ABC中，已知，讨论三角形解的情况

分析：

先由可进一步求出B；

则，从而

1．当A为钝角或直角时，必须才能有且只有一解；否则无解。

2．当A为锐角时，如果≥，那么只有一解；

3.如果，那么可以分下面三种情况来讨论：

（1）若，则有两解；

（2）若，则只有一解；

（3）若，则无解。

（以上解答过程详见课本第910页）

评述：

注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且

时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。

探究二你能画出图来表示上面各种情形下的三角形的解吗？

三例题讲解

例1.根据下列条件，判断解三角形的情况

（1）a＝20，b＝28，A＝120°.无解

（2）a＝28，b＝20，A＝45°；一解

（3）c＝54，b＝39，C＝115°；一解

（4）b＝11，a＝20，B＝30°；两解

[随堂练习1]

（1）在ABC中，已知，，，试判断此三角形的解的情况。

（2）在ABC中，若，，，则符合题意的b的值有_____个。

（3）在ABC中，，，，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。

（答案：

（1）有两解；

（2）0；（3））

例2.在中,已知判断的形状．

解：

令，由正弦定理，得，，．代入已知条件，得，即．又，，，所以，从而为正三角形．

说明：

（1）判断三角形的形状特征，必须深入研究边与边的大小关系：

是否两边相等？

是否三边相等？

还要研究角与角的大小关系：

是否两角相等？

是否三角相等？

有无直角？

有无钝角？

（2）此类问题常用正弦定理（或将学习的余弦定理）进行代换、转化、化简、运算，揭示出边与边，或角与角的关系，或求出角的大小，从而作出正确的判断．

[随堂练习2]

1.△ABC中，，则△ABC为（A）

A.直角三角形B.等腰直角三角形

C.等边三角形D.等腰三角形

2.已知ABC满足条件，判断ABC的类型。

答案：

ABC是等腰或直角三角形

Ⅳ.课时小结

（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；

（2）三角形各种类型的判定方法；

Ⅴ.课后作业

1.根据下列条件，判断解三角形的情况

2在中，a=15,b=10,A=60°，则=

A－BC－D

3已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=,A+C=2B,则sinC=.

六心得反思

1.1.2解三角形的进一步讨论学案

【学习目标】1.掌握已知三角形的两边及其中一边的对角时对解个数的讨论；

2.三角形各种形状的判断方法；

【学习重难点】1.已知三角形的两边及其中一边的对角时对解个数的讨论；三角形各种形状的判断方法。

一、情景问题：

我们在解三角形时可以会出现一些我们预想不到的结果，现在请大家思考下面问题：

在中，已知，解三角形。

二、探索研究：

探究一．在ABC中，已知，讨论三角形解的情况

结论：

探究二你能画出图来表示上面各种情形下的三角形的解吗？

三例题讲解

例1.根据下列条件，判断解三角形的情况

（1）a＝20，b＝28，A＝120°.无解

（2）a＝28，b＝20，A＝45°；一解

（3）c＝54，b＝39，C＝115°；一解

（4）b＝11，a＝20，B＝30°；两解

[变式练习1]

（1）在ABC中，已知，，，试判断此三角形的解的情况。

（2）在ABC中，若，，，则符合题意的b的值有_____个。

（3）在ABC中，，，，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。

例2.在中,已知判断的形状．

[变式练习2]

1.△ABC中，，则△ABC为（）

A.直角三角形B.等腰直角三角形

C.等边三角形D.等腰三角形

2.已知ABC满足条件，判断ABC的类型。

四.尝试小结

五.课后作业

1.根据下列条件，判断解三角形的情况

2在中，a=15,b=10,A=60°，则=

A－BC－D

3已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=,A+C=2B,则sinC=.

六、心得反思