陕西省吴起高级中学学年高二上学期期末考试数学理基础试题.docx
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陕西省吴起高级中学学年高二上学期期末考试数学理基础试题
陕西省吴起高级中学【最新】高二上学期期末考试数学（理）基础试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、单选题
1．已知数列…，则是这个数列的（）
A．第六项B．第七项C．第八项D．第九项
2．命题且是真命题，则命题是（ ）
A．假命题B．真命题C．真命题或假命题D．不确定
3．的最小值是（ ）
A．2B．C．4D．8
4．已知为等差数列，若，则的值为（）.
A．B．C．D．
5．到两定点、的距离之差的绝对值等于4的点的轨迹（）
A．椭圆B．线段C．双曲线D．两条射线
6．在中，，则等于（ ）
A．B．C．3D．
7．抛物线的焦点坐标是（）
A．B．C．D．
8．若集合，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．已知是等比数列，，则公比=（）
A．B．C．2D．
10．已知向量，，则向量（）
A．B．
C．D．
11．若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则（）
A．B．C．D．
12．在棱长为的正方体中，是的中点，则点到平面的距离是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．在中，，则________.
14．设变量满足约束条件,则的最大值是_________.
15．已知，则向量与的夹角为________.
16．若，为抛物线的焦点，为抛物线上任意一点，则的最小值为_______.
三、解答题
17．写出下列命题的否定,并判断其真假：
（1）任何有理数都是实数；
（2）存在一个实数，能使成立.
18．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率，短轴长为，求椭圆的方程.
19．设锐角的内角，，的对边分别为，，，且
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积.
20．在下列条件下求双曲线标准方程
（1）经过两点；
（2），经过点，焦点在轴上.
21．已知等差数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）设等比数列满足,求的前项和．
22．如图，四棱锥的底面为正方形，底面，分别是的中点，．
（1）求证：
平面；
（2）求直线与平面所成的角．
参考答案
1．B
【详解】
由数列前几项归纳可知通项公式为,
时,,为数列第七项，故选B.
考点：
数列通项公式
2．B
【分析】
命题且是真命题，则命题p和命题q都为真命题.
【详解】
命题且是真命题，
由复合命题真值表可知，
命题p和命题q都为真命题.
故选B
【点睛】
本题考查含有逻辑联结词的复合命题的真假判断，属于基础题.
3．C
【解析】
【分析】
直接利用基本不等式可求得表达式的最小值.
【详解】
由基本不等式得，当且仅当时，取得最小值.故选C.
【点睛】
本小题主要考查利用基本不等式求和式的最小值，属于基础题.基本不等式的标准形式是，还可以变形为.前者，后者.要注意题目的适用范围.如果题目的表达式为，那么要对自变量的值进行讨论，不能直接用.
4．B
【解析】
【分析】
将已知条件转化为的形式，列方程组，解方程组求得的值.
【详解】
由于数列为等差数列，故有，解得，故选B.
【点睛】
本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的基本量、通项公式和前项和.基本元的思想是在等差数列中有个基本量，利用等差数列的通项公式或前项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列，进而求得数列其它的一些量的值.
5．C
【解析】
【分析】
根据双曲线的定义，直接得出选项.
【详解】
到两个定点距离之差的绝对值等于常数，并且这个常数小于这两个定点的距离，根据双曲线的定义可知：
动点的轨迹为双曲线.故选C.
【点睛】
本小题主要考查双曲线的定义，属于基础题.要注意双曲线的定义中，除了差这个关键字以外，还要注意有“绝对值”这个关键词.
6．D
【分析】
根据已知条件，利用正弦定理列方程，解方程求得的值.
【详解】
由正弦定理得，即，解得.
【点睛】
本小题主要考查利用正弦定理解三角形，属于基础题.题目是已知两角以及其中一角的对边，常用的是利用正弦定理来解三角形.如果已知条件是两边以及它们的夹角，则考虑用余弦定理来解三角形.如果已知条件是三边，则考虑用余弦定理来解三角形.如果已知两边以及一边的对角，则考虑用正弦定理来解三角形，此时要注意解的个数.
7．C
【解析】
试题分析：
即，所以抛物线焦点为，故选C．
考点：
本题主要考查抛物线的标准方程及几何性质．
点评：
简单题，注意将抛物线方程化为标准形式．
8．A
【解析】
【分析】
列一元二次不等式求得集合的范围，利用集合的包含关系，以及充要条件的概念，得出正确的选项.
【详解】
对于集合，，解得，故集合是集合的子集，也即是的充分不必要条件.故选A.
【点睛】
本小题主要考查充要条件的判断，考查一元二次不等式的解法以及集合的包含关系，属于基础题.
9．D
【分析】
由题意结合等差数列的性质得到关于q的方程，解方程即可确定公比的值.
【详解】
由等比数列的性质可得：
，即：
，解得：
.
故选D.
【点睛】
本题主要考查等比数列的性质，等比数列基本量的求解，属于基础题.
10．A
【分析】
根据空间向量的减法的坐标运算直接求解.
【详解】
由已知可得.
故选：
A.
【点睛】
本题主要考查空间向量的减法的坐标运算，属基础题.
11．B
【分析】
先根据椭圆的标准方程求得，，，再结合椭圆的离心率公式列出关于的方程，解之即得答案．
【详解】
解：
由题意知，，且，
所以，
化简后得：
.
故选：
B．
【点睛】
本题考查椭圆的几何性质，以及根据椭圆的标准方程和离心率求得，，，化简计算，属于基础题．
12．A
【分析】
以为空间直角坐标原点建立空间直角坐标系，通过点面距离公式，计算点到平面的距离.
【详解】
以为空间直角坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系.由于是中点，故，且，设是平面的法向量，故，故可设，故到平面的距离.故选A.
【点睛】
本小题主要考查利用空间向量计算点到面的距离.计算过程中要先求得平面的法向量.属于基础题.
13．60°
【解析】
cosB＝＝＝，B＝60°
故答案为60°
点睛：
本题重点考查了余弦定理的应用，cosB＝.
14．
【分析】
画出约束条件满足的可行域，通过向上平移基准直线找到使取得最大值的位置，然后求解.
【详解】
画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数过点时取得最大值，
联立解得点
故的最大值为.
故答案为：
18.
【点睛】
本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值，较易.解答时准确画出约束条件满足的可行域、确定取得最优解的位置是关键.
15．
【分析】
通过两个向量的夹角公式，先计算出向量夹角的余弦值，由此得到两个向量的夹角.
【详解】
设两个向量的夹角为，则，故.
【点睛】
本小题主要考查两个向量夹角的计算，考查两个向量的夹角公式，属于基础题.
16．
【分析】
设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|进而把问题转化为求
|PA|+|PD|取得最小，进而可推断出当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，答案可得．
【详解】
设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|
∴要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小
当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，为3+=
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生数形结合的思想和抛物线定义的应用．
17．
（1）至少有一个有理数不是实数，假命题;
（2）任意一个实数，不能使成立.真命题
【分析】
（1）原命题为全称命题，其否定为特称命题，由此写出原命题的否定.原命题是真命题，故其否定为假命题.
（2）原命题为特称命题，其否定为全称命题，由此写出原命题的否定.由于在实数范围内不成立，故原命题是假命题，故其否定为真命题.
【详解】
（1）根据全称命题的否定是特称命题可知，原命题的否定为：
至少有一个有理数不是实数.由于有理数是实数，故原命题为真命题，其否定为假命题.
（2）根据特称命题的否定是全称命题可知，原命题的否定为：
任意一个实数，不能使成立.由于在实数范围内不成立，所以原命题为假命题，那么它的否定就是真命题.
【点睛】
本小题主要考查全称命题与特称命题，以及它们的否定，考查命题真假性的判断.属于基础题.
18．椭圆的方程为或
【分析】
根据题意列式得到进而得到方程.
【详解】
由,
∴椭圆的方程为或.
故答案为或.
【点睛】
这个题目考查了椭圆方程的求法，求方程一般都是通过题意得到关于a,b,c的齐次方程进而得到结果.
19．（I）（II）
【分析】
（1）根据条件及正弦定理得到，于是可得所求角的大小．
（2）先由余弦定理得到，然后再根据正弦定理求出三角形外接圆的半径，进而可得圆的面积．
【详解】
（1）由正弦定理及条件得，
∵，
∴，
又三角形为锐角三角形，
∴．
（2）在中由余弦定理得，
∴．
设外接圆的半径为，
则，
∴，
∴外接圆的面积为．
【点睛】
考查用正余弦定理解三角形的应用，解题时注意正弦定理中的比值与三角形外接圆半径间的关系，属于基础题．
20．
（1）;
（2）
【分析】
（1）设出双曲线的方程，代入两个点的坐标，由此计算得双曲线的方程.
（2）设出双曲线的方程，代入点，由此求得双曲线的方程.
【详解】
（1）由于双曲线过点，故且焦点在轴上，设方程为，代入得，解得，故双曲线的方程为.
（2）由于双曲线焦点在轴上，故设双曲线方程为.将点代入双曲线方程得，解得，故双曲线的方程为.
【点睛】
本小题主要考查双曲线方程的求法，属于基础题.解题过程中，要注意双曲线的焦点是在哪个坐标轴上.
21．
（1）
（2）
【分析】
（1）根据基本元的思想，将已知条件转化为的形式，列方程组，解方程组可求得的值.并由此求得数列的通项公式.
（2）利用
（1）的结论求得的值，根据基本元的思想，，将其转化为的形式，由此求得的值，根据等比数列前项和公式求得数列的前项和.
【详解】
解：
（1）设的公差为，则由得,
故的通项公式，即．
（2）由
（1）得．
设的公比为，则，从而，
故的前项和．
【点睛】
本小题主要考查利用基本元的思想解有关等差数列和等比数列的问题，属于基础题.
22．（Ⅰ）详见解析（II）45°
【分析】
以为坐标原点建立空间直角坐标系.
（1）计算出直线的方向向量和平面的法向量，它们的数量积为零，由此证得直线和平面平行.
（2）计算出平面的法向量，利用直线与平面的法向量计算出线面角的正弦值，由此得到线面角的大小.
【详解】
证明：
（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，
，
设平面的法向量，
则,取,得，
∵，平面，
∴平面．
解：
（2）平面的法向量，
设直线与平面所成的角为，
则，
∴，
∴直线与平面所成的角为45°．
【点睛】
本小题主要考查利用空间向量证明线面平行，考查利用空间向量求直线与平面所成角的大小，属于中档题.
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