全国百强校湖北省黄冈市黄冈中学届高三下学期周测数学理试题10.docx

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全国百强校湖北省黄冈市黄冈中学届高三下学期周测数学理试题10

黄冈中学2016届高三（下）理科测试题（10）

第卷（非选择题共60分）

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合,,（）

A．B．C．D．

2．若复数满足，则的实部为

A．B．C．D．

3．“”是“函数为奇函数”的

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

4．如图，有一圆柱开口容器（下表面封闭），其轴截面是边长为2的正方形，P是BC的中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一粒米，则这只蚂蚁取得米粒的所经过的最短路程是（）

A.B.C.D.

5．若等比数列的各项均为正数，且，则（）

A．50B．60C．100D．120

6．若为不等式组表示的平面区域，则当从－2连续变化到1时，动直线扫过中的那部分区域的面积为（）

A．1B．C．D．

7．从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则直线不经过第四象限的概率为（）

A．B．C．D．

8．已知双曲线与抛物线有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）

A．B．C．D．

9．已知圆锥的底面半径为,高为,在它的所有内接圆柱中,侧面积的最大值是（）

A．B．C．D．

10．若执行右边的程序框图，输出的值为的展开式中的常数项，则判断框中应填入的条件是（）

A．B．C．D．

11．已知直线被椭圆截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆截得的弦长一定为7的有（）

①②③④

A．1条B．2条C．3条D．4条

12．已知函数存在极小值，且对于的所有可能取值，的极小值恒大于，则的最小值为

A．B．C．D．

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．

13．已知，，若，则=．

14．甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁游览A、B、C。

每人只能去一个地方，A一定要有人去，则不同的游览方案有___种。

15．下面的数组均由三个数组成，它们是：

，，，，，……，若数列的前n项和为，则_______．

16．一个棱长为5的正四面体（棱长都相等的三棱锥）纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，则小正四面体的棱长的最大值为．

三．解答题：

本大题共6小题，共70分．前5题每题满分12分，最后一道选做题满分10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内．

17．在中，角，，的对边分别为，，。

（Ⅰ）若，，成等比数列，，求的值．

（Ⅱ）若角，，成等差数列，且，求面积的最大值．

18．为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：

滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为；两人滑雪时间都不会超过3小时.

（I）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；

（II）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望．

19．如图，在三棱柱中，，，为的中点，。

（Ⅰ）求证：

平面平面；

（Ⅱ）在线段（不含端点）上，是否存在点，使得二面角的余弦值为？

若存在，求出的值，若不存在，说明理由．

20．如图，抛物线的焦点为，取垂直于轴的直线与抛物线交于不同的两点，，过，作圆心为的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且。

（Ⅰ）求抛物线和圆的方程；

（Ⅱ）过点作直线，与抛物线和圆依次交于，，，，求的最小值．

21．已知函数，.（e为自然对数的底数）

（Ⅰ）若，求的最小值；

（Ⅱ）若函数有两个不同的零点，，记，

对任意，，试比较与的大小，并证明你的结论

请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑

22．（本小题满分10分）选修4—1：

几何证明选讲

如图，内接于直径为的圆，过点作圆的切线交的延长线于点，的平分线分别交和圆于点，若.

（Ⅰ）求证：

；（Ⅱ）求的值.

23．（本小题满分10分）选修4－4：

坐标系与参数方程

已知在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆锥曲线的极坐标方程为，定点，是圆锥曲线的左、右焦点．直线经过点且平行于直线．

（Ⅰ）求圆锥曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；

（Ⅱ）若直线与圆锥曲线交于两点，求．

24．（本小题满分10分）选修4—5：

不等式选讲

已知函数.

（Ⅰ）解不等式；

（Ⅱ）若的最小值为，设，，且，求的最小值．

黄冈中学2016届高三（下）理科测试题（10）参考答案

一、选择题：

（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．C2．A3．C4．D5．A6．D7．C8．A9．C10．B11．C12．A

2．A【解析】由，得，的实部为，故选A

3．C【解析】的定义域为，关于原点对称

当时，，

，故为奇函数；

反之，当为奇函数时，

又，故

所以“”是“函数为奇函数”的充要条件，故选C

10．B【解析】,

程序执行过程中，，的值依次为；

；；；；；

；程序结束，输出，则判断框中应填入的条件是，故选B。

11．C【解析】直线与直线关于原点对称，直线与直线关于轴对称，

直线与直线关于轴对称，故有3条直线被椭圆截得的弦长一定为7。

12．A【解析】

因为存在极小值，所以方程有两个不等的正根

故

由得，，分析易得的极小值点为，

因为，所以

设，则的极小值恒大于等价于恒大于

因为，所以在单调递减

故，解得，故，故选A．

二、填空题：

（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．514．6515．－199116．

15．【答案】65

【解析】4个人去3个地方游览，每人只能去一个地方，共有种方案，若八一广场没有人去，有种方案，故八一广场一定要有人去。

则不同的游览方案有81-16=65种。

三．解答题：

（本大题共6小题，共70分．）

17．解：

（Ⅰ）∵，∴………………1分

由，，成等比数列，有，又由正弦定理得，………3分

∴

………………6分

（Ⅱ）由角，，成等差数列，有，………………7分

又，由余弦定理有，

由基本不等式得，（当且仅当时等号成立）………………10分

∴（当且仅当时等号成立）………………12分

18．

19．解：

（Ⅰ）取中点为，连接，，

因为，所以，又，，

所以平面，因为平面，所以，…………………2分

由已知，，又∥，所以，因为，

所以平面，又平面，所以平面平面；………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴的方向，为单位长度1，建立如图所示的空间直角坐标系。

由题设知，，，，，，

，∴，，

设，则，…………………7分

设平面的法向量，

则，得，令，则，∴，

同理，设平面的法向量，

则，得，

令，则，，∴…………………9分

设二面角的大小为，

则

解得，…………………11分

所以在线段上，存在点，使得二面角的余弦值为，此时。

…………12分

20．解：

（Ⅰ）因为抛物线的焦点为，

所以，解得，所以抛物线的方程为。

……………………2分

由抛物线和圆的对称性，可设圆：

，

∵，∴是等腰直角三角形，不妨设在左侧，则，

∴，代入抛物线方程有。

……………………4分

由题可知在，处圆和抛物线相切，对抛物线求导得，

所以抛物线在点处切线的斜率为。

由知，所以，代入，解得。

所以圆的方程为。

……………………6分

（Ⅱ）由题知直线的斜率一定存在，设直线的方程为。

圆心到直线的距离为，

∴。

……………………8分

由得，设，，

则，由抛物线定义知，。

…………10分

所以

设，则

所以当时即时，有最小值16.……………………12分

21．解：

（1）当时，，

则，

由，得，

由，得，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

所以函数的最小值为…………5分

（2）………………6分

下面证明:

依题有：

，，两式相减得：

，整理得

则，于是

，………………8分

而

令，则设，………………10分

则，

∴　在上单调递增，则

，于是有，

即，且，∴　，

即．又，所以恒成立。

………………12分

法二：

要证，令（），则，

令，则，

∴　在上单调递减，

而，∴　。

22．解：

（Ⅰ）∵是圆的切线，∴，

又是公共角，∴∽，…………2分

∴，∴.………………4分

（Ⅱ）由切割线定理得，，∴，

又，∴………………6分

又∵是的平分线，∴，∴，

∴，，………………8分

又由相交弦定理得，。

………………10分

23．解：

（Ⅰ）∵圆锥曲线的极坐标方程为，

∴其普通方程为，……………2分

，，，∴，，

∴直线的参数方程为（为参数）.……………5分

（Ⅱ）将直线的参数方程（为参数），代入椭圆方程得：

，

∴，∴.………………10分

24．解：

（Ⅰ）因为，当时，

得,当，均满足，当时，，则，综上，所以，的解集为；…….5分

（Ⅱ）由于当，取得最小值，则，下面做乘法：

，则，（当且仅当时取等号），所以的最小值为。

…………10分