1201动态规划.docx
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1201动态规划
第3章动态规划
如果问题是由重叠的子问题所构成的，就可以用动态规划技术来解决。
一般来说，这样的子问题出现在对给定问题求解的递推关系中，这个递推关系包含了相同类型的更小子问题的解。
动态规划建议，与其对重叠的子问题一次又一次地求解，还不如对每个较小的子问题只求一次并把结果记录在表中，这样就可以从表中得到原始问题的解。
3.1Fibonacci数列问题
求Fibonacci数列的第n项。
f（n）=f（n-1）+f（n-2）
f
（1）=1,f
（2）=1
（1）直接递归法，此法会大量重复计算子问题的结果
intFib（intn）{
if（n==1||n==2）return1;
returnFib（n-1）+Fib（n-2）;
}
（2）动态规划方法，使用数组存储每个子问题的结果
intf[100];
intFib（intn）{
f[1]=f[2]=1;
for（inti=3;i<=n;i++）
f[i]=f[i-1]+f[i-2];
returnf[n];
}
（3）改进，只存储最后2个元素的值，避免使用数组
intFib（intn）{
intf,f1,f2;
f1=f2=1;
for（inti=3;i<=n;i++）{
f=f1+f2;
f1=f2;
f2=f;
}
returnf;
}
（4）备忘录方法，使用递归方法，但利用数组存储来避免重复计算子问题
intf[100];
intFib（intn）{
if（f[n]>0）returnf[n];
if（n==1||n==2）return1;
f[n]=Fib（n-1）+Fib（n-2）;
returnf[n];
}
3.2计算二项式系数
二项式公式为
（a+b）n=C（n,0）an+…+C（n,k）an-kbk+…+C（n,n）bn
其中C（n,k）为二项式系数
（a+b）n-1=C（n-1,0）an-1+…+C（n-1,k-1）an-kbk-1+C（n-1,k）an-k-1bk+…+C（n-1,n-1）bn-1
由（a+b）n=（a+b）（a+b）n-1可得：
（1）计算二项式系数的递归函数为
intC（intn,intk）{
if（k==0||n==k）return1;
returnC（n-1,k-1）+C（n-1,k）;
}
但用这种递归方法效率非常低（计算C（32,20）都用了好几秒钟）。
（2）用动态规划来求二项式系数
intm[100][100];
intC（intn,intk）{
for（inti=0;i<=n;i++）
m[i][0]=m[i][i]=1;
for（inti=1;i<=n;i++）
for（intj=1;jm[i][j]=m[i-1][j-1]+m[i][j-1];
returnm[n][k];
}
（3）用备忘录方法来求二项式系数
intm[100][100]={0};
intC（intn,intk）{
if（m[n][k]==0）
if（k==0||n==k）m[n][k]=1;
elsem[n][k]=C（n-1,k-1）+C（n-1,k）;
returnm[n][k];
}
3.3整数划分问题
1、把一个正整数n分成任意个正整数的和，有多少种分法？
例如正整数6有如下11种不同的划分：
6；
5+1；
4+2，4+1+1；
3+3，3+2+1，3+1+1+1；
2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1；
1+1+1+1+1+1。
设f（n,m）表示整数n的划分中，每个数不大于m的划分数。
则划分数可以分为两种情况：
a.划分中每个数都小于m。
划分数为f（n,m-1）
b.划分中至少有一个数为m。
就相当于把n-m进行划分，故划分数为f（n-m,m）
于是：
f（n,m）=f（n,m-1） +f（n-m,m）
其它条件为：
f（0,m）=1;f（1,m）=1;f（n,1）=1;
程序为
intf（intn,intm）{
if（m==1||n==1||n==0）return1;
if（nreturnf（n,m-1）+f（n-m,m）;
}
动态规划方法
intmain（）{
inta[11][11],n;
for（inti=1;i<=10;i++）
a[i][1]=a[1][i]=a[0][i]=1;
for（inti=2;i<=10;i++）{
for（intj=2;j<=i;j++）
a[i][j]=a[i][j-1]+a[i-j][j];
for（intj=i+1;j<=10;j++）
a[i][j]=a[i][i];
}
cin>>n;
cout<}
2、把一个正整数n分成m个正整数的和，有多少种分法？
设f（n,m）把n分成m个正整数的和的分法。
则划分数可以分为两种情况：
a.划分中每个数都>=2。
相当于先拿出m个1，将剩下的再分，划分数为f（n-m,m）
b.划分中至少有一个数为1。
相当于把n-1分成m-1个数，故划分数为f（n-1,m-1）
于是：
f（n,m）=f（n-1,m-1）+f（n-m,m）
其它条件为：
f（n,1）=1;当n程序为
intf（intn,intm）{
if（m==1）return1;
if（nreturnf（n-1,m-1）+f（n-m,m）;
}
3、把一个正整数n分成不超过m个正整数的和，有多少种分法？
设f（n,m）表示最多用m个整数来划分n，可分为两种情况：
a.把n分成不超过m-1个正整数的和。
划分数为f（n,m-1）
b.把n分成正好m个正整数的和。
就相当于先拿出m个1，再把n-m分成不超过m个正整数的和，故划分数为f（n-m,m）
于是：
f（n,m）=f（n,m-1） +f（n-m,m）
此题居然和“1、用不大于m的数去划分n”完全等价。
4、“2、把正整数n分成m个正整数的和”可以转换为“把正整数n分成不超过m个正整数的和”，只需先拿出m个1，然后再将n-m分成不超过m个正整数的和。
即
f2（n,m）=f3（n-m,m）
3.40-1背包问题
0-1背包问题：
给定n种物品和一个背包，物品i的重量为wi，其价值为vi，背包的承重量为c。
问如何选择物品装入背包，使得物品的总价值最大。
物品的重量为：
w={w1,w2,…,wi,…,wn}，价值为：
v={v1,v2,…,vi,…,vn}，背包容量为c。
设f（i,j）表示剩余容量为j，剩余物品为i,i+1,…,n时的最优解的值，则有
例：
设n=5，c=10，w={2,2,6,5,4}，v={6,3,5,4,6}，问题求解过程示意图如下：
例1：
0/1背包问题的递归解法
#include
usingnamespacestd;
intn=5,w[]={0,2,2,6,5,4},v[]={0,6,3,5,4,6};
intf（inti,intj）{
if（i==n）returnj0:
v[n];
if（jreturnmax（f（i+1,j）,f（i+1,j-w[i]）+v[i]）;
}
例2：
用动态规划解决0/1背包问题
设n=5，c=10，w={2,2,6,5,4}，v={6,3,5,4,6}
w
v
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
6
15
2
2
3
0
0
3
3
6
6
9
9
9
10
11
3
6
5
0
0
0
0
6
6
6
6
6
10
11
4
5
4
0
0
0
0
6
6
6
6
6
10
10
5
4
6
0
0
0
0
6
6
6
6
6
6
6
#include
usingnamespacestd;
floatm[100][100];
voidKnapsack（floatv[],intw[],intc,intn）{
inti,j,jmax;
jmax=min（w[n]-1,c）;
for（j=0;j<=jmax;j++）m[n][j]=0;
for（j=w[n];j<=c;j++）m[n][j]=v[n];
for（i=n-1;i>1;i--）{
jmax=min（w[i]-1,c）;
for（j=0;j<=jmax;j++）m[i][j]=m[i+1][j];
for（j=w[i];j<=c;j++）
m[i][j]=max（m[i+1][j],m[i+1][j-w[i]]+v[i]）;
}
m[1][c]=m[2][c];
if（c>=w[1]）
m[1][c]=max（m[1][c],m[2][c-w[1]]+v[1]）;
}
voidtraceback（intw[],intc,intn,intx[]）{
for（inti=1;iif（m[i][c]==m[i+1][c]）{
x[i]=0;
}else{
x[i]=1;
c-=w[i];
}
x[n]=m[n][c]?
1:
0;
}
intmain（）{
floatv[]={0,6,3,5,4,6};
intc=10,n=5,w[]={0,2,2,6,5,4},x[6];
Knapsack（v,w,c,n）;
traceback（w,c,n,x）;
cout<<"themaxvalueis:
"<for（inti=1;i<=n;i++）
cout<}
例3：
0/1背包问题的备忘录解法
#include
usingnamespacestd;
floatm[100][100];
intn=5,w
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