高等数学1B第一次作业答案西南交通大学网络教育学院.docx

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高等数学1B第一次作业答案西南交通大学网络教育学院

一、问答题（将解答输入文本框中，共41道小题）

1.

求下列函数的定义域:

（1）y=x2−4,

（2）y=14−x2,（3）设f（x）的定义域是[0,1],求f（ln⁡x）的定义域.

[本题2分]

参考答案：

解:

（1）

D=（−∞, 2]∪[2, +∞）,

（2）

D=（−2, 2）,

（3）由

ln⁡x∈[0,1]可得其定义域为

[1,e].

2.若f（t）=2t2+2t2+5t+5t,证明f（t）=f（1t）.[本题2分]

参考答案：

证明:

f（1t）=21t2+2t2+5t+51t=f（t）.

3.设f（x）=2x2+6x−3,求ϕ（x）=12[f（x）+f（−x）]及ψ（x）=12[f（x）−f（−x）],并指出ϕ（x）及ψ（x）中哪个是奇函数哪个是偶函数?

[本题2分]

参考答案：

解:

ϕ（x）=12[f（x）+f（−x）]=2x2−3是偶函数,

ψ（x）=12[f（x）−f（−x）]=6x是奇函数.

4.

求下列极限:

（1）lim⁡x→1x2−2x+1x2−1;

（2）lim⁡h→0（x+h）2−x2h;（3）lim⁡x→∞x2−12x2−x−1;（4）lim⁡x→∞x2+xx4−3x2+1;（5）lim⁡x→4x2−6x+8x2−5x+4;（6）lim⁡n→∞1+2+3+⋯+（n−1）n2;（7）lim⁡n→∞（n+1）（n+2）（n+3）5n3;（8）lim⁡x→1（11−x−31−x3）

参考答案：

解:

（1）

lim⁡x→1x2−2x+1x2−1=lim⁡x→1（x−1）2（x−1）（x+1）=lim⁡x→1x−1x+1=0.

（2）

lim⁡h→0（x+h）2−x2h=lim⁡h→0 （2x+h）=2x.

（3）

lim⁡x→∞x2−12x2−x−1=lim⁡x→∞1−1x22−1x−1x2=12.

（4）

lim⁡x→∞x2+xx4−3x2+1=lim⁡x→∞1x2+1x31−3x2+1x4=0.

（5）

lim⁡x→4x2−6x+8x2−5x+4=lim⁡x→4（x−2）（x−4）（x−1）（x−4）=lim⁡x→4x−2x−1=23.

（6）

lim⁡n→∞1+2+3+⋯+（n−1）n2=lim⁡n→∞n（n−1）2n2=lim⁡n→∞12（1−1n）=12.

（7）

lim⁡n→∞（n+1）（n+2）（n+3）5n3=lim⁡n→∞15（1+1n）（1+2n）（1+3n）=15.

（8）

lim⁡x→1（11−x−31−x3）=lim⁡x→1x2+x−2（1−x）（x2+x+1）=lim⁡x→1（x−1）（x+2）（1−x）（x2+x+1）=1

5.

计算下列极限:

（1）lim⁡x→0sin⁡ωxx;

（2）lim⁡x→0tan⁡3xx;（3）lim⁡x→0sin⁡2xsin⁡5x;（4）lim⁡x→0xcot⁡x;（5）lim⁡x→01−cos⁡2xxsin⁡x;（6）lim⁡x→+∞x（x2+1−x）

[本题2分]

参考答案：

解:

（1）根据重要极限可得

lim⁡x→0sin⁡ωxx=ω.

（2）

lim⁡x→0tan⁡3xx=lim⁡x→0sin⁡3xx1cos⁡3x=3.

（3）

lim⁡x→0sin⁡2xsin⁡5x=lim⁡x→0sin⁡2xxxsin⁡5x=25.

（4）

lim⁡x→0xcot⁡x=lim⁡x→0xsin⁡xcos⁡x=1.

（5）

lim⁡x→01−cos⁡2xxsin⁡x=lim⁡x→01−cos⁡2xx2xsin⁡x=lim⁡x→0[sin⁡2xx2]211+cos⁡2x=2.

（6）

lim⁡x→+∞x（x2+1−x）=lim⁡x→+∞xx2+1+x=lim⁡x→+∞11+1x2+1=12

6.

利用夹逼准则证明:

（1）lim⁡n→∞（nn2+π+nn2+2π+⋯+nn2+nπ）=1;

（2）lim⁡x→∞（1n2+1+1n2+2+⋯+1n2+n）=1

参考答案：

证明:

（1）因为

n2n2+nπ≤nn2+π+nn2+2π+⋯+nn2+nπ≤n2n2+π,

而

lim⁡n→∞n2n2+π=lim⁡n→∞n2n2+nπ=1,

所以

lim⁡n→∞（nn2+π+nn2+2π+⋯+nn2+nπ）=1.

（2）因为

nn2+n≤1n2+1+1n2+2+⋯+1n2+n≤nn2+1,

而

lim⁡n→∞nn2+1=lim⁡n→∞nn2+n=1,

所以

lim⁡x→∞（1n2+1+1n2+2+⋯+1n2+n）=1.

7.

研究下列函数的连续性:

（1）f（x）={x2,  0≤x≤1,2−x, 1

（2）f（x）={x,−1≤x≤1,1,x<−1或x>1.

[本题2分]

参考答案：

证明:

（1）仅需要讨论在

x=1点的连续性.因为

lim⁡x→1−f（x）=lim⁡x→1−x2=1,

lim⁡x→1+f（x）=lim⁡x→1−（2−x）=1,

所以

f（x）在

x=1点连续.

（2）仅需要讨论在

x=±1点的连续性.因为

lim⁡x→1−f（x）=lim⁡x→1−x=1,

lim⁡x→1+f（x）=lim⁡x→1−1=1,

所以

f（x）在

x=1点连续.同理

lim⁡x→−1−f（x）=lim⁡x→1−1=1,

lim⁡x→−1+f（x）=lim⁡x→1−x=−1,

所以

f（x）在

x=−1点不连续.

8.

证明方程x5−3x=1至少有一个根介于1和2之间.

[本题2分]

参考答案：

证明:

设

f（x）=x5−3x−1,

显然是连续的,又

f

（1）=1−3−1=−3<0,

f

（2）=25−6−1=25>0,

由零点定理知存在

c∈（1, 2）,

使得

f（c）=c5−3c−1=0,

即方程

x5−3x=1至少有一个根介于1和2之间.

9.

求下列函数的导数:

（1）y=x4;

（2）y=x23;（3）y=x1.6;（4）y=1x;（5）y=1x2;（6）y=x3x5

[本题2分]

参考答案：

解:

（1）

y′=4x3,

（2）

y′=23x−1/3,

（3）

y′=1.6x0.6,

（4）

y′=−12xx,

（5）

y′=−2x3,

（6）

y′=165x11/5

10.

求曲线y=cos⁡x上点（π3,12）处的切线方程和法线方程.

[本题2分]

参考答案：

解:

k=−sin⁡x|x=π/3=−32,

所以切线方程和法线方程分别为:

y−12=32（x−π2）,

y−12=−23（x−π2）

11.求曲线y=ex在点（0,1）处的切线方程.[本题2分]

参考答案：

解:

k=ex|x=0=1,

所以切线方程和法线方程分别为:

y−1=x,

y−1=−x.

12.

设函数f（x）={x2,x≤1,ax+b,x>1.

为了使函数f（x）在x=1处连续且可导,a、b应取什么值?

[本题2分]

参考答案：

解:

由连续性可知

1=lim⁡x→1+f（x）=a+b,

由可导知

2=（ax+b）′|x=1=a所以

a=2,  b=−1.

13.

求下列函数的导数:

（1）y=5x2−2x+3ex;

（2）y=2tan⁡x+sec⁡x−1;（3）y=sin⁡x⋅cos⁡x;（4）y=x2ln⁡x

[本题2分]

参考答案：

解:

（1）

y′=10x−2xln⁡2+3ex,

（2）

y′=2sec⁡2x+sec⁡xtan⁡x,

（3）

y′=cos⁡2x−sin⁡2x=cos⁡2x,

（4）

y′=2xln⁡x+x

14.写出曲线y=x−1x与x轴交点处的切线方程.[本题2分]

参考答案：

解:

交点为

（±1, 0）,

斜率为

k=y′=（1+1x2）|x=±1=2,

所以切线方程为:

y=2（x±1）

15.

求下列函数的导数:

（1）y=（2x+5）4;

（2）y=cos⁡（4−3x）;（3）y=ln⁡（1+x2）;（4）y=sin⁡2x;（5）y=sin⁡2xx;（6）y=ln⁡（x+a2+x2）

[本题2分]

参考答案：

解:

（1）

y′=8（2x+5）3,

（2）

y′=3sin⁡（4−3x）,

（3）

y′=2x/（1+x2）,

（4）

y′=sin⁡2x,

（5）

y′=2xcos⁡2x−sin⁡2xx2,

（6）

y′=（x+a2+x2）−1（1+xa2+x2）=1a2+x2

16.

求下列函数的二阶导数:

（1）y=2x2+ln⁡x;

（2）y=e2x−1;（3）y=xcos⁡x

[本题2分]

参考答案：

解:

（1）

y′=4x+1x,