小学数学奥数教案Word下载.docx
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由例1得到：
总和数=基准数×
加数的个数+累计差，
平均数=基准数+累计差÷
加数的个数。
在使用基准数法时，应选取与各数的差较小的数作为基准数，这样才容易计算累计差。
同时考虑到基准数与加数个数的乘法能够方便地计算出来，所以基准数应尽量选取整十、整百的数。
例2某农场有10块麦田，每块的产量如下（单位：
千克）：
462，480，443，420，473，429，468，439，475，461。
求平均每块麦田的产量。
解：
选基准数为450，则
累计差=12＋30－7－30＋23－21＋18－11＋25＋11
＝50，
平均每块产量=450＋50÷
10＝455（千克）。
答：
平均每块麦田的产量为455千克。
求一位数的平方，在乘法口诀的九九表中已经被同学们熟知，如7×
7＝49（七七四十九）。
对于两位数的平方，大多数同学只是背熟了10～20的平方，而21～99的平方就不大熟悉了。
有没有什么窍门，能够迅速算出两位数的平方呢？
这里向同学们介绍一种方法——凑整补零法。
所谓凑整补零法，就是用所求数与最接近的整十数的差，通过移多补少，将所求数转化成一个整十数乘以另一数，再加上零头的平方数。
下面通过例题来说明这一方法。
例3求292和822的值。
292=29×
29
＝（29＋1）×
（29-1）＋12
＝30×
28＋1
＝840+1
＝841。
822＝82×
82
＝（82－2）×
（82＋2）＋22
＝80×
84＋4
＝6720+4
＝6724。
由上例看出，因为29比30少1，所以给29“补”1，这叫“补少”；
因为82比80多2，所以从82中“移走”2，这叫“移多”。
因为是两个相同数相乘，所以对其中一个数“移多补少”后，还需要在另一个数上“找齐”。
本例中，给一个29补1，就要给另一个29减1；
给一个82减了2，就要给另一个82加上2。
最后，还要加上“移多补少”的数的平方。
由凑整补零法计算352，得
35×
35＝40×
30＋52=1225。
这与三年级学的个位数是5的数的平方的速算方法结果相同。
这种方法不仅适用于求两位数的平方值，也适用于求三位数或更多位数的平方值。
例4求9932和20042的值。
9932=993×
993
＝（993＋7）×
（993-7）+72
＝1000×
986＋49
＝＋49
＝。
20042=2004×
2004
＝（2004-4）×
（2004+4）＋42
＝2000×
2008＋16
＝＋16
下面，我们介绍一类特殊情况的乘法的速算方法。
请看下面的算式：
66×
46，73×
88，19×
44。
这几道算式具有一个共同特点，两个因数都是两位数，一个因数的十位数与个位数相同，另一因数的十位数与个位数之和为10。
这类算式有非常简便的速算方法。
例588×
64＝？
由乘法分配律和结合律，得到
88×
64
＝（80＋8）×
（60＋4）
60＋（80＋8）×
4
60＋8×
60＋80×
4＋8×
6＋80×
（60＋6＋4）＋8×
（60＋10）＋8×
＝8×
（6＋1）×
100+8×
4。
于是，我们得到下面的速算式：
由上式看出，积的末两位数是两个因数的个位数之积，本例为8×
4；
积中从百位起前面的数是“个位与十位相同的因数”的十位数与“个位与十位之和为10的因数”的十位数加1的乘积，本例为8×
（6＋1）。
例677×
91＝？
由例3的解法得到
由上式看出，当两个因数的个位数之积是一位数时，应在十位上补一个0，本例为7×
1＝07。
用这种速算法只需口算就可以方便地解答出这类两位数的乘法计算。
练习1
1.求下面10个数的总和：
165，152，168，171，148，156，169，161，157，149。
2.农业科研小组测定麦苗的生长情况，量出12株麦苗的高度分别为（单位：
厘米）：
26，25，25，23，27，28，26，24，29，27，27，25。
求这批麦苗的平均高度。
3.某车间有9个工人加工零件，他们加工零件的个数分别为：
68，91，84，75，78，81，83，72，79。
他们共加工了多少个零件？
4.计算：
13＋16＋10+11＋17＋12＋15＋12＋16＋13＋12。
5.计算下列各题：
（1）372；
（2）532；
（3）912；
（4）682：
（5）1082；
（6）3972。
6.计算下列各题：
（1）77×
28；
（2）66×
55；
（3）33×
19；
（4）82×
44；
（5）37×
33；
（6）46×
99。
练习1答案
1.1596。
2.26厘米。
3.711个。
4.147。
5.
（1）1369；
（2）2809；
（3）8281；
（4）4624；
（5）11664；
（6）。
6.
（1）2156；
（2）3630；
（3）627；
（4）3608；
（5）1221；
（6）4554。
第2讲速算与巧算
（二）
上一讲我们介绍了一类两位数乘法的速算方法，这一讲讨论乘法的“同补”与“补同”速算法。
两个数之和等于10，则称这两个数互补。
在整数乘法运算中，常会遇到像72×
78，26×
86等被乘数与乘数的十位数字相同或互补，或被乘数与乘数的个位数字相同或互补的情况。
72×
78的被乘数与乘数的十位数字相同、个位数字互补，这类式子我们称为“头相同、尾互补”型；
26×
86的被乘数与乘数的十位数字互补、个位数字相同，这类式子我们称为“头互补、尾相同”型。
计算这两类题目，有非常简捷的速算方法，分别称为“同补”速算法和“补同”速算法。
例1
（1）76×
74＝？
（2）31×
39＝？
分析与解：
本例两题都是“头相同、尾互补”类型。
（1）由乘法分配律和结合律，得到
76×
74
＝（7＋6）×
（70+4）
＝（70＋6）×
70＋（7＋6）×
4＝70×
70＋6×
70＋70×
4＋6×
＝70×
（70＋6＋4）＋6×
（70＋10）＋6×
＝7×
（7+1）×
100＋6×
于是，我们得到下面的速算式：
（2）与
（1）类似可得到下面的速算式：
由例1看出，在“头相同、尾互补”的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因数的个位数之积（不够两位时前面补0，如1×
9＝09），积中从百位起前面的数是被乘数（或乘数）的十位数与十位数加1的乘积。
“同补”速算法简单地说就是：
积的末两位是“尾×
尾”，前面是“头×
（头+1）”。
我们在三年级时学到的15×
15，25×
25，…，95×
95的速算，实际上就是“同补”速算法。
例2
（1）78×
38＝？
（2）43×
63＝？
本例两题都是“头互补、尾相同”类型。
（1）由乘法分配律和结合律，得到
78×
38
＝（70＋8）×
（30＋8）
30＋（70＋8）×
8
30+8×
30＋70×
8＋8×
30＋8×
（30＋70）＋8×
3×
100＋8×
＝（7×
3＋8）×
8。
（2）与
（1）类似可得到下面的速算式：
由例2看出，在“头互补、尾相同”的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因数的个位数之积（不够两位时前面补0，如3×
3＝09），积中从百位起前面的数是两个因数的十位数之积加上被乘数（或乘数）的个位数。
“补同”速算法简单地说就是：
积的末两位数是“尾×
头+尾”。
例1和例2介绍了两位数乘以两位数的“同补”或“补同”形式的速算法。
当被乘数和乘数多于两位时，情况会发生什么变化呢？
我们先将互补的概念推广一下。
当两个数的和是10，100，1000，…时，这两个数互为补数，简称互补。
如43与57互补，99与1互补，555与445互补。
在一个乘法算式中，当被乘数与乘数前面的几位数相同，后面的几位数互补时，这个算式就是“同补”型，即“头相同，尾互补”型。
例如
，因为被乘数与乘数的前两位数相同，都是70，后两位数互补，77＋23＝100，所以是“同补”型。
又如
，
等都是“同补”型。
当被乘数与乘数前面的几位数互补，后面的几位数相同时，这个乘法算式就是“补同”型，即“头互补，尾相同”型。
例如，
等都是“补同”型。
在计算多位数的“同补”型乘法时，例1的方法仍然适用。
例3
（1）702×
708=？
（2）1708×
1792＝？
（1）
（2）
计算多位数的“同补”型乘法时，将“头×
（头+1）”作为乘积的前几位，将两个互补数之积作为乘积的后几位。
注意：
互补数如果是n位数，则应占乘积的后2n位，不足的位补“0”。
在计算多位数的“补同”型乘法时，如果“补”与“同”，即“头”与“尾”的位数相同，那么例2的方法仍然适用（见例4）；
如果“补”与“同”的位数不相同，那么例2的方法不再适用，因为没有简捷实用的方法，所以就不再讨论了。
例42865×
7265＝？
练习2
计算下列各题：
1.68×
62；
2.93×
97；
3.27×
87；
4.79×
39；
5.42×
6.603×
607；
7.693×
8.4085×
6085。
第3讲高斯求和
德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：
1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？
老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？
原来小高斯通过细心观察发现：
1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为
（1+100）×
100÷
2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：
（1）1，2，3，4，5，…，100；
（2）1，3，5，7，9，…，99；
（3）8，15，22，29，36，…，71。
其中
（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；
（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；
（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：
和=（首项+末项）×
项数÷
2。
例11＋2＋3＋…＋1999＝？
这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得
原式=（1＋1999）×
1999÷
2＝。
注意：
利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例211＋12＋13＋…＋31＝？
这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×
21÷
2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。
根据首项、末项、公差的关系，可以得到
项数=（末项-首项）÷
公差+1，
末项=首项+公差×
（项数-1）。
例33＋7＋11＋…＋99＝？
3，7，11，…，99是公差为4的等差数列，
项数=（99－3）÷
4＋1＝25，
原式=（3＋99）×
25÷
2＝1275。
例4求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。
末项=25＋3×
（40-1）＝142，
和=（25＋142）×
40÷
2＝3340。
利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。
例5在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。
问：
（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？
（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？
分析：
最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：
由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。
（1）最大三角形面积为
（1＋3＋5＋…＋15）×
12
＝［（1＋15）×
8÷
2］×
＝768（厘米2）。
2）火柴棍的数目为
3＋6＋9+…+24
＝（3＋24）×
2=108（根）。
答：
最大三角形的面积是768厘米2，整个图形由108根火柴摆成。
例6盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；
第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。
这时盒子里共有多少只乒乓球？
一只球变成3只球，实际上多了2只球。
第一次多了2只球，第二次多了2×
2只球……第十次多了2×
10只球。
因此拿了十次后，多了
2×
1＋2×
2＋…＋2×
10
＝2×
（1＋2＋…＋10）
55＝110（只）。
加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。
综合列式为：
（3-1）×
（1＋2＋…＋10）＋3
［（1＋10）×
10÷
2］＋3＝113（只）。
练习3
1.计算下列各题：
（1）2＋4＋6＋…＋200；
（2）17＋19＋21＋…＋39；
（3）5＋8＋11＋14＋…＋50；
（4）3＋10＋17＋24＋…＋101。
2.求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。
3.求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。
4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。
时钟一昼夜敲打多少次？
5.求100以内除以3余2的所有数的和。
6.在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？
第四讲
我们在三年级已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。
数的整除具有如下性质：
性质1如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。
例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。
性质2如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。
例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。
性质3如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。
例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×
7＝63整除。
利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。
为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：
（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。
（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。
（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。
（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。
（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。
（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。
其中
（1）
（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容。
因为100能被4（或25）整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4（或25）整除。
因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。
这就证明了（4）。
类似地可以证明（5）。
（6）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。
837＝800＋30＋7
＝8×
100＋3×
10＋7
（99＋1）＋3×
（9＋1）＋7
99＋8＋3×
9＋3＋7
＝（8×
99＋3×
9）＋（8＋3＋7）。
因为99和9都能被9整除，所以根据整除的性质1和性质2知，（8x99＋3x9）能被9整除。
再根据整除的性质2，由（8＋3＋7）能被9整除，就能判断837能被9整除。
利用（4）（5）（6）还可以求出一个数除以4，8，9的余数：
（4‘）一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。
（5＇）一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。
（6＇）一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。
例1在下面的数中，哪些能被4整除？
哪些能被8整除？
哪些能被9整除？
234，789，7756，8865，3728.8064。
能被4整除的数有7756，3728，8064；
能被8整除的数有3728，8064；
能被9整除的数有234，8865，8064。
例2在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除？
如果56□2能被9整除，那么
5＋6＋□＋2＝13＋□
应能被9整除，所以当十位数是5，即四位数是5652时能被9整除；
如果56□2能被8整除，那么6□2应能被8整除，所以当十位数是3或7，即四位数是5632或5672时能被8整除；
如果56□2能被4整除，那么□2应能被4整除，所以当十位数是1，3，5，7，9，即四位数是5612，5632，5652，5672，5692时能被4整除。
到现在为止，我们已经学过能被2，3，5，4，8，9整除的数的特征。
根据整除的性质3，我们可以把判断整除的范围进一步扩大。
例如，判断一个数能否被6整除，因为6＝2×
3，2与3互质，所以如果这个数既能被2整除又能被3整除，那么根据整除的性质3，可判定这个数能被6整除。
同理，判断一个数能否被12整除，只需判断这个数能否同时被3和4整除；
判断一个数能否被72整除，只需判断这个数能否同时被8和9整除；
如此等等。
例3从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被2，5，3整除的数，并将这些数从小到大进行排列。
因为组成的三位数能同时被2，5整除，所以个位数字为0。
根据三位数能被3整除的特征，数字和2＋7＋0与5＋7＋0都能被3整除，因此所求的这些数为270，570，720，750。
例4五位数
能被72整除，问：
A与B各代表什么数字？
已知
能被72整除。
因为72＝8×
9，8和9是互质数，所以
既能被8整除，又能被9整除。
根据能被8整除的数的特征，要求
能被8整除，由此可确定B＝6。
再根据能被9整除的数的特征，
的各位数字之和为
A＋3＋2＋9＋B＝A＋3－f－2＋9＋6＝A＋20，
因为l≤A≤9，所以21≤A＋20≤29。
在这个范围内只有27能被9整除，所以A＝7。
解答例4的关键是把72分解成8×
9，再分别根据能被8和9整除的数的特征去讨论B和A所代表的数字。
在解题顺序上，应先确定B所代表的数字，因为B代表的数字不受A的取值大小的影响，一旦B代表的数字确定下来，A所代表的数字就容易确定了。
例5六位数
是6的倍数，这样的六位数有多少个？
因为6＝2×
3，且2与3互质，所以这个整数既能被2整除又能被3整除。
由六位数能被2整除，推知A可取0，2，4，6，8这五个值。
再由六位数能被3整除，推知
3＋A＋B＋A＋B＋A＝3＋3A＋2B
能被3整除，故2B能被3整除。
B可取0，3，6，9这4个值。
由于B可以取4个值，A可以取5个值，题目没有要求A≠B，所以符合条件的六位数共有5×
4＝20（个）。
例6要使六位数
能被36整除，而且所得的商最小，问A，B，C各代表什么数字？
因为36＝4×
9，且4与9互质，所以这个六位数应既能被4整除又能被9整除。
六位数
能被4整除，就要
能被4整除，因此C可取1，3，5，7，9。
要使所得的商最小，就要使
这个六位数尽可能小。
因此首先是A尽量小，其次是B尽量小，最后是C尽量小。
先试取A=0。
的各位数字之和为12＋B＋C。
它应能被9整除，因此B＋C＝6或B＋C＝15。
因为B，C应尽量小，所以B＋C＝6，而C只能取1，3，5，7，9，所以要使
尽可能小，应取B＝1，C＝5。
当A=0，B=1，C＝5时，六位数能被36整除，而且所得商最小，为÷
36＝4171。
练习4
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