概率论与数理统计理工类第四版吴赣昌主编课后习题答案第五章Word格式.docx
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06
频数
27
将其按区间[183.5,192.5）,⋯,[219.5,228.5）组，列出分组统计表，并画出频率直方图.
分组统计表见表
12345
组限
组频数
组频率/%
183.5,∼192.5192.5,∼201.5201.5,∼210.5210.5,∼219.5219.5,∼228.
频率直方图见下图
习题4
某地区抽样调查200个居民户的月人均收入，得如下统计资料：
月人均收入（百元）
5-66-77-88-99-1010-1111-12
合计
户数
414
200
求样本容量n,样本均值X¯
，样本方差S2.
对于抽到的每个居民户调查均收入，可见n=200.
这里，没有给出原始数据，而是给出了整理过的资料（频率分布）,
我们首先计算各组的“组中值”，然后计算X¯
和S2的近似值：
组中值ak
5.56.57.58.59.510.511.5
-
户数fk
X¯
=1n∑kakfk=1200（5.5×
18+⋯+11.5×
14）=7.945,
S2≈1n-1∑k（ak-X¯
）2fk=1n-1∑kak2fk-X¯
=1199（5.52×
18+⋯+11.52×
14）-7.9452
≈66.0402-63.=2..
习题5
设总体X服从二项分布B（10,3100）,X1,X2,⋯,Xn为来自总体的简单随机样本，
=1n∑i=1nXi与Sn2=1n∑i=1n（Xi-X¯
）2
分别表示样本均值和样本二阶中心矩，试求E（X¯
）,E（S2）.
由X∼B（10,3100）,
得
E（X）=10×
3100=310,D（X）=10×
3100×
97100=,
所以
E（X¯
）=E（X）=310,E（S2）=n-1nD（X）=291（n-1）1000n.
习题6
设某商店100天销售电视机的情况有如下统计资料
日售出台数k
天数fk
20
30
10
25
15
100
求样本容量n,经验分布函数Fn（x）.
（1）样本容量n=100;
（2）经验分布函数
Fn（x）={0,x<
20.20,2≤x<
30.50,3≤x<
40.60,4≤x<
50.85,5≤x<
61,x≥6.
习题7
设总体X的分布函数为F（x）,
概率密度为f（x）,X1,X2,⋯,Xn为来自总体X的一个样本，记
X
（1）=min1≤i≤n（Xi）,X（n）=max1≤i≤n（Xi）,
试求X
（1）和X（n）
各自的分布函数和概率密度.
设X
（1）的分布函数和概率密度分别为F1（x）和f1（x）,
X（n）的分布函数和概率密度分别为Fn（x）和fn（x）,
则
Fn（X）=P{X（n）≤x}=P{X1≤x,⋯,X（n）≤x}
=P{X1≤x}P{X2≤x}⋯P{Xn≤x}=[F（x）]n,
fn（x）=F′n（x）=n[F（x）]n-1f（x）,
F1（x）=P{X
（1）≤x}=1-P{X
（1）>
x}=1-P{X1>
x,X2>
x,⋯,Xn>
x}
=1-P{X1>
x}P{X2>
x}⋯P{Xn>
=1-[1-P{X1≤x}][1-P{X2≤x}]⋯[1-P{Xn≤x}]
=1-[1-F（x）]n,
F′1（x）=f1（x）=n[1-F（x）]n-1f（x）.
习题8
设总体X服从指数分布e（λ）,X1,X2是容量为2的样本，求X
（1），X
（2）的概率密度.
f（x）={λe-λx,x>
00,其它,
F（x）={1-e-λx,x>
00,x≥0,
X
（2）的概率密度为
f
（2）（x）=2F（x）f（x）={2λe-λx（1-e-λx）,x>
00,其它,
又X
（1）的概率密度为
f
（1）（x）=2[1-F（x）]f（x）={2λe-2λx,x>
00,其它.
习题9
设电子元件的寿命时间X（单位：
h）服从参数λ=0.0015的指数分布，今独立测试n=6元件，记录它们的失效时间，求：
（1）没有元件在800h之前失效的概率；
（2）没有元件最后超过3000h的概率.
（1）总体X的概率密度f（x）={（0.0015）e-0.0015x,x>
分布函数F（x）={1-e-0.0015x,x>
{没有元件在800h前失效}={最小顺序统计量X
（1）>
800},
有
P{X
（1）>
800}=[P{X>
800}]6=[1-F（800）]6
=exp（-0.0015×
800×
6）=exp（-7.2）≈0..
（2）{没有元件最后超过3000h}={最大顺序统计量X（6）<
3000}
P{X（6）<
3000}=[P{X<
3000}]6=[F（3000）]6
=[1-exp{-0.0015×
3000}]6=[1-exp{-4.5}]6
≈0.93517.
习题10
设总体X任意，期望为μ,方差为σ2,
若至少要以95%的概率保证∣X¯
-μ∣<
0.1σ,
问样本容量n应取多大？
因当n很大时，X¯
-N（μ,σ2n）,
于是
P{∣X¯
0.1σ}=P{μ-0.1σ<
<
μ+0.1σ}
≈Φ（0.1σσ/n）-Φ（-0.1σσ/n）=2Φ（0.1n）-1≥0.95,
则Φ（0.1n）≥0.975,
查表得Φ（1.96）=0.975,
因Φ（x）非减，故0.1n≥1.96,n≥384.16,
故样本容量至少取385才能满足要求.
5.2常用统计分布
对于给定的正数a（0<
a<
1）,
设za,χa2（n）,ta（n）,Fa（n1,n2）分别是标准正态分布，χ2（n）,t（n）,
F（n1,n2）分布的上a分位点，则下面的结论中不正确的是（）.
（A）z1-a（n）=-za（n）;
（B）χ1-a2（n）=-χa2（n）;
（C）t1-a（n）=-ta（n）;
（D）F1-a（n1,n2）=1Fa（n2,n1）.
应选（B）.
因为标准正态分布和t分布的密度函数图形都有是关于y轴对称的，而χ2分布的密度大于等于零，所以（A）和（C）是对的.（B）是错的.对于F分布，若F∼F（n1,n2）,
1-a=P{F>
F1-a（n1,n2）}=P{1F<
1F1-a（n1,n2）=1-P{1F>
1F1-a（n1,n2）
由于1F∼F（n2,n1）,
P{1F>
1F1-a（n1,n2）=P{1F>
Fa（n2,n1）=a,
即F1-a（n1,n2）=1Fa（n2,n1）.故（D）也是对的.
习题2
（1）
2.设总体X∼N（0,1）,X1,X2,⋯,Xn为简单随机样本，问下列各统计量服从什么分布?
（1）X1-X2X32+X42;
因为Xi∼N（0,1）,i=1,2,⋯,n,
所以：
X1-X2∼N（0,2）,
X1-X22∼N（0,1）,
X32+X42∼χ2
（2）,
故X1-X2X32+X42=（X1-X2）/2X32+X422∼t
（2）.
习题2
（2）
（2）n-1X1X22+X32+⋯+Xn2;
因为Xi∼N（0,1）,∑i=2nXi2∼χ2（n-1）,
n-1X1X22+X32+⋯+Xn2=X1∑i=2nXi2/（n-1）∼t（n-1）.
习题2（3）
（3）（n3-1）∑i=13Xi2/∑i=4nXi2.
因为∑i=13Xi2∼χ2（3）,∑i=4nXi2∼χ2（n-3）,
（n3-1）∑i=13Xi2/∑i=4nXi2=∑i=13Xi2/3∑i=4nXi2/（n-3）∼F（3,n-3）.
设X1,X2,X3,X4是取自正态总体X∼N（0,22）的简单随机样本，且
Y=a（X1-2X2）2+b（3X3-4X4）2,
则a=?
b=?
时，统计量Y服从χ2分布，其自由度是多少？
解法一
Y=[a（X1-2X2）]2+[b（3X3-4X4）]2,
令Y1=a（X1-2X2）,Y2=b（3X3-4X4）,
Y=Y12+Y22,
为使Y∼χ2
（2）,
必有Y1∼N（0,1）,Y2∼N（0,1）,
因而
E（Y1）=0,D（Y1）=1,
E（Y2）=0,D（Y2）=1,
注意到D（X1）=D（X2）=D（X3）=D（X4）=4,
由
D（Y1）=D[a（X1-2X2）]=aD（X1-X2）=a（D（X1）+22D（X2））
=a（4+4×
4）=20a=1,
D（Y2）=D[b（3X3-4X4）]=bD（3X3-4X4）
=b（9D（X3）+16D（X4））=b（4×
9+16×
4）=100b=1,
分别得a=120,b=1100.
这时Y∼χ2
（2）,
自由度为n=2.
解法二因Xi∼N（0,22）且相互独立，知
X1-2X2=X1+（-2）X2∼N（0,20）,
3X3-4X4=3X3+（-4）X4∼N（0,100）,
故X1-2X220∼N（0,1）,3X3-4X4100∼N（0,1）,
为使
Y=（X1-2X21/a）2+（3X3-4X41/b）2∼χ2
（2）,
必有X1-2X21/a∼N（0,1）,3X3-4X41/b∼N（0,1）,
与上面两个服从标准正态分布的随机变量比较即是
1a=20,1b=100,
即a=120,b=1100.
设随机变量X和Y
相互独立且都服从正态分布N（0,32）.
X1,X2,⋯,X9和Y1,Y2,⋯,Y9是分别取自总体X和Y的简单随机样本，试证统计量
T=X1+X2+⋯+X9Y12+Y22+⋯+Y92
服从自由度为9的t分布.
首先将Xi,Yi分别除以3,
使之化为标准正态.
令X′i=Xi3,Y′i=Yi3,i=1,2,⋯,9,
X′i∼N（0,1）,Y′i∼N（0,1）;
再令X′=X′1+X′2+⋯+X′9,
则X′∼N（0,9）,X′3∼N（0,1）,
Y′2=Y′12+Y′22+⋯+Y′92,
Y′2∼χ2（9）.
因此
T=X1+X2+⋯+X9Y12+Y22+⋯+Y92=X1′+X2′+⋯+X9′Y′12+Y′22+⋯+Y′92=X′Y′2=X′/3Y′2/9∼t（9）,
注意到X′,Y′2相互独立.
设总体X∼N（0,4）,
而X1,X2,⋯,X15为取自该总体的样本，问随机变量
Y=X12+X22+⋯+X1022（X112+X122+⋯+X152）
服从什么分布？
参数为多少？
因为Xi2∼N（0,1）,
故Xi24∼χ2
（1）,i=1,2,⋯,15,
而X1,X2,⋯,X15独立，故
X12+X22+⋯+X1024∼χ2（10）,X112+X122+⋯+X1524∼χ2（5）,
X12+X22+⋯+X1024/10X112+X122+⋯+X1524/5=X12+X22+⋯+X1022（X112+X122+⋯+X152）=Y
证明：
若随机变量X服从F（n1,n2）的分布，则
（1）Y=1X服从F（n2,n1）分布；
（2）并由此证明F1-α（n1,n2）=1Fα（n2,n1）.
（1）因随机变量X服从F（n1,n2）,
故可设X=U/n1V/n2,
其中U服从χ2（n1）,V服从χ2（n2）,
且U与V相互独立，设1X=V/n2U/n1,
由F分布之定义知
Y=1x=V/n2U/n1,
服从F（n2,n1）.
（2）由上侧α分位数和定义知
P{X≥F1-α（n1,n2）}=1-α,P{1X≤1F1-α（n1,n2）=1-α,
即P{Y≤1F1-α（n1,n2）=1-α,1-P{Y>
1F1-α（n1,n2）=1-α,
故
P{Y>
1F1-α（n1,n2）=α,
而P{Y≥Fα（n2,n1）}=α.
又Y为连续型随机变量，故P{Y≥1F1-α（n1,n2）=α,
从而
Fα（n2,n1）=1F1-α（n1,n2）,
即F1-α（n1,n2）=1Fα（n2,n1）.
查表求标准正态分布的上侧分位数：
u0.4,u0.2,u0.1与u0.05.
u0.4=0.253,
u0.2=0.8416,
u0.1=1.28,u0.05=1.65.
查表求χ2分布的上侧分位数：
χ0.952（5）,
χ0.052（5）,
χ0.992（10）与χ0.012（10）.
1.145,
11.071,
2.558,
23.209.
查表求F分布的上侧分位数：
F0.95（4,6）,F0.975（3,7）与F0.99（5,5）.
0.1623,0.0684,0.0912.
查表求t分布的下侧分位数：
t0.05（3）,t0.01（5）,t0.10（7）与t0.005（10）.
2.353,3.365,1.415,3.169.
5.3抽样分布
已知离散型均匀总体X,其分布律为
X
246
pi
1/31/31/3
取大小为n=54的样本，求：
（1）样本平均数X¯
落于4.1到4.4之间的概率；
（2）样本均值X¯
超过4.5的概率.
μ=E（X）=13×
（2+4+6）=4,
σ2=E（X2）-[E（X）]2=13×
（22+42+66）-42=83,
μX¯
=μ=4,
σX¯
2=σ2n=8/354=481,
=29.
令Z=X¯
-42/9,
则n充分大时，Z∼近似N（0,1）.
（1）P{4.1<
4.4}=P{4.1-42/9<
Z<
4.4-42/9
≈Φ（1.8）-Φ（0.45）=0.9641-0.6736=0.2905.
（2）P{X¯
>
4.5}=P{Z>
4.5-42/9=1-P{Z≤2.25}
≈1-Φ（2.25）=1-0.9878=0.0122.
设总体X服从正态分布N（10,32）,X1,X2,⋯,X6是它的一组样本，设
=16∑i=16Xi.
（1）写出X¯
所服从的分布；
（2）求X¯
11的概率.
（1）X¯
∼N（10,326）,
即X¯
∼N（10,32）.
11}=1-P{X¯
≤11}=1-Φ（11-1032）
≈1-Φ（0,8165）≈1-Φ（0.82）=0.2061.
设X1,X2,⋯,Xn是总体X的样本，X¯
=1n∑i=1nXi,
分别按总体服从下列指定分布求E（X¯
）,D（X¯
）.
（1）X服从0-1分布b（1,p）;
（2）*X服从二项分布b（m,p）;
（3）X服从泊松分布P（λ）;
（4）X服从均匀分布U[a,b];
（5）X服从指数分布e（λ）.
（1）由题意，X的分布律为：
P{X=k}=Pk（1-P）1-k（k=0,1）.
E（X）=p,D（X）=p（1-p）.
）=E（1n∑i=1nXi）=1n∑i=1nE（Xi）=1n⋅np=p,
D（X¯
）=D（1n∑i=1nXi）=1n2∑i=1nD（X1）=1n2⋅np（1-p）=1np（1-p）.
（2）由题意，X的分布律为：
P{X=k}=CmkPk（1-p）m-k（k=0,1,2,⋯,m）.
同
（1）可得
）=mp,D（X¯
）=1nmp（1-p）.
（3）由题意，X的分布律为：
P{X=k}=λkk!
e-λ（λ>
0,k=0,1,2,⋯）.
E（X）=λ,D（X）=λ.
）=λ,D（X¯
）=1nλ.
（4）由E（X）=a+b2,D（X）=（b-a）212,
）=a+b2,D（X¯
）=（b-a）212n.
（5）由E（X）=1λ,D（X）=1λ2,
）=1λ,D（X¯
）=1nλ2.
某厂生产的搅拌机平均寿命为5年，标准差为1年，假设这些搅拌机的寿命近似服从正态分布，求：
（1）容量为9的随机样本平均寿命落在4.4年和5.2年之间的概率；
（2）容量为9的随机样本平均寿命小于6年的概率。
（1）由题意知X¯
∼N（5,1n）,n=9，则标准化变量
Z=X¯
-51/9=X¯
-51/3∼N（0,1）.
而
P{4.4<
5.2}=P{4.4-51/3<
-51/3<
5.2-51/3
=P{-1.8<
0.6}≈Φ（0.6）-Φ（-1.8）
=0.7257-0.0359=0.6898
6}=P{X¯
6-51/3=P{Z<
3}≈Φ（3）=0.9987.
设X1,X2,⋯,X16及Y1,Y2,⋯,Y25分别是两个独立总体N（0,16）和N（1,9）的样本，以X¯
和Y¯
分别表示两个样本均值，求P{∣X¯
-Y¯
∣>
1}.
∼N（0,1616），Y¯
∼N（1,925），X¯
∼N（-1,1+925），即
X¯
∼N（-1,3425）．
标准化变量X¯
，令Z=X¯
34/5∼N（0,1），所以
P{∣X¯
1}=1-P{∣X¯
∣≤1}=1-P{-1≤X¯
≤1}
=1-P{0≤X¯
+134/5≤234/5
≈1-Φ（1.715）+Φ（0）
=1-0.9569+0.5=0.5431．
假设总体X服从正态分布N（20,32）,
样本X1,⋯,X25来自总体X,
计算
P{∑i=116Xi-∑i=1725Xi≤182.
令Y1=∑i=116Xi,Y2=∑i=1725Xi,
由于X1,⋯,X25相互独立同正态分布N（20,32）,
因此有Y1与Y2相互独立，且Y1∼N（320,122）,
Y2∼N（180,92）,
Y1-Y2∼N（140,152）,
P{∑i=116Xi-∑i=1725Xi≤182=P{Y1-Y2≤182},
=P{Y1-Y2-14015≤2.8≈Φ（2.8）=0.997.
从一正态总体中抽取容量为n=16的样本，假定样本均值与总体均值之差的绝对值大于2的概率为0.01,
试求总体的标准差.
设总体X∼N（μ,σ2）,
样本均值为X¯
则有
-μσ/n=X¯
-μσ/4∼N（0,1）.
因为
-μ∣>
2}=P{∣X¯
-μσ/4∣>
8σ=2P{Z>
8σ=2[1-Φ（8σ）]=0.01,
所以Φ（8σ）=0.995.
查标准正态分布表，得8σ=2.575,
从而σ=82.575=3.11.
设在总体N（μ,σ2）中抽取一容量为16的样本，这里μ,σ2均为未知.
（1）求P{S2/σ2≤2.041},
其中S2为样本方差；
（2）求D（S2）.
（1）因为是正态总体，根据正态总体下的统计量分布可知
（n-1）S2σ2∼χ2（n-1）.
这里n=16,
P{S2/σ2≤2.041}=P（15S2σ2≤15×
2.041）
=1-P{15S2σ2>
30.615（查χ2分布表可得）
=1-0.01=0.99.
（2）因为（n-1）S2σ2∼χ2（n-1）,
又知
D（（n-1）S2σ2）=2（n-1）,
D（S2）=σ4（n-1）2D（（n-1）S2σ2）=σ4（n-1）2⋅2（n-1）=2n-1σ4=215σ4
（因为n=16）.
设总体X∼N（μ,16）,X1,X2,⋯,X10为取自该总体的样本，已知P{S2>
a}=0.1,
求常数a.
因为（n-1）S2σ2∼χ2（n-1）,n=10,σ=4,
P{S2>
a}=P{9S216>
916a=0.1.
查自由度为9的χ2分布表得，916a=14.684,
所以a≈26.105.
设X1,X2,⋯,Xn和Y1,Y2,⋯,Yn分别取自正态总体
X∼N（μ1,σ2）和Y∼N（μ2,σ2）
且相互独立，问以下统计量服从什么分布？
（1）（n-1）（S12+S22）σ2;
（2）n[（X¯
）-（μ2-σ2）]2S12+S22.
（1）由（n-1）S12σ2∼χ2（n-1）,
（n-1）S
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