最小二乘法线性与非线性拟合Word下载.docx
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2.88
2.2576
1.9683
1.9258
2.0862
2.109
2.1979
2.5409
2.9627
3.155
3.2052
试用已知数据求出待定系数的值。
在Matlab中输入以下程序
x=[0,0.2,0.4,0.7,0.9,0.92,0.99,1.2,1.4,1.48,1.5]'
;
y=[2.88;
2.2576;
1.9683;
1.9258;
2.0862;
2.109;
2.1979;
2.5409;
2.9627;
3.155;
3.2052];
A=[ones（size（x））exp（-3*x）,cos（-2*x）.*exp（-4*x）x.^2];
c=A\y;
c'
运行结果为
ans=
1.2200
2.3397
-0.6797
0.8700
下面画出由拟合得到的曲线及已知的数据散点图
x1=[0:
0.01:
1.5]'
A1=[ones（size（x1））exp（-3*x1）,cos（-2*x1）.*exp（-4*x1）x1.^2];
y1=A1*c;
plot（x1,y1,x,y,'
o'
）
事实上，上面给出的数据就是由已知曲线
y（x）=0.8700-0.6797*e^（-3*x）+2.3397*cos（-2*x）*exp（-4*x）+1.2200*x^2
产生的，由上图可见拟合效果较好。
多项式最小二乘拟合
在Matlab的线性最小二乘拟合中，用得较多的是多项式拟合，其命令是
A=polyfit（x,y,m）
其中表示函数中的自变量矩阵，表示因变量矩阵，是输出的系数矩阵，即多项式的系数。
多项式在自变量x处的函数值y可用以下命令计算：
y=polyval（A,x）
对下面一组数据作二次多项式拟合，即要求出二次多项式中的，使最小。
0.1
0.3
0.5
0.6
0.8
1
－0.447
1.978
3.28
6.16
7.08
7.34
7.66
9.56
9.48
9.30
11.2
在Matlab中输入以下命令
x=0:
.1:
1;
y=[-0.4471.9783.286.167.087.347.669.569.489.3011.2];
a=polyfit（x,y,2）
a=
-9.8108
20.1293
-0.0317
f=vpa（poly2sym（a）,5）
%vpa（polyval2sym（），n）只适用于关于多项式函数的拟合。
因为此函数对于自变量统一规定为“x”，将由polyfit（）所得出的系数按自变量幂次升降放在相应的位置。
f=
-9.8108*x^2+20.129*x-.31671e-1
y1=polyval（a,x）;
plot（x,y,'
x,y1）
（二）非线性最小二乘拟合
（1）lsqcurvefit（）
lsqcurvefit（）是非线性最小二乘拟合函数，其本质上是求解
最优化问题。
其使用格式为
x=lsqcurvefit（fun,x0,xdata,ydata）
其中，fun是要拟合的非线性函数，x0是初始参数，xdata，ydata是拟合点的数据，该函数最终返回系数矩阵。
假设已知
并已知该函数满足原型为，其中为待定系数。
10;
y=0.12*exp（-0.213*x）+0.54*exp（-0.17*x）.*sin（1.23*x）;
f=inline（'
a
（1）*exp（-a
（2）*x）+a（3）*exp（-a（4）*x）.*sin（a（5）*x）'
'
a'
x'
）;
%建立函数原型，则可以根据他来进行下面的求取系数的计算
[a,res]=lsqcurvefit（f,[1,1,1,1,1],x,y）;
res
0.1197
0.2125
0.5404
0.1702
1.2300
res=
7.1637e-007
所求得的系数与原式中的系数相近。
如果向进一步提高精度，则需修改最优化的选项，函数的调用格式也将随之改变。
ff=optimset;
ff.TolFun=1e-20;
ff.TolX=1e-15;
%修改精度，即是修改其限制条件
[a,res]=lsqcurvefit（f,[1,1,1,1,1],x,y,[],[],ff）;
%两个空矩阵表示系数向量的上下限
0.1200
0.2130
0.5400
0.1700
9.5035e-021
下面绘图
x1=0:
y1=f（a,x1）;
（2）lsqnonlin（）
lsqnonlin（）函数是另一种求最小二乘拟合的函数，其本质上是求解最优化问题
最优化解。
它的应用格式为
x=lsqnonlin（fun,x0）
其中，fun的定义与lsqnonlin（）函数中fun的定义有差别，x0仍为初始参数向量，将输出的系数结果放在变量中。
说明lsqnonlin（）函数的使用方法。
首先编写目标函数（curve_fun.m）
functiony=curve_fun（p）%非线性最小二乘拟合函数
x=[0.020.020.060.060.110.110.220.220.560.561.101.10];
y=[764797107123139159152191201207200];
y=p
（1）*x./（p
（2）+x）-y;
再用lsqnonlin（）函数求解，输入
[p,resnorm,residual]=lsqnonlin（@curve_fun,[200,0.1]）
p=
212.6836
0.0641
resnorm=
1.1954e+003
residual=
Columns1through11
-25.4339
3.5661
5.8111
-4.1889
11.3617
-4.6383
5.6847
12.6847
-0.1671
-10.1671
-6.0313
Column12
0.9687
上面的两种方法都可以作非线性最小二乘曲线拟合
（3）非线性函数的线性化
在进行非线性拟合时，以往由于计算机和相关软件水平有限，常常先把非线性的曲线拟合线性化，然后再进行拟合。
下面比较一下先线性化再进行拟合和直接进行非线性拟合的差异。
已知数据
t
0.25
2
3
4
6
8
c
19.21
18.15
15.36
14.10
12.89
9.32
7.45
5.24
3.01
满足曲线通过数据拟合求出参数和。
方法一：
先将非线性函数转化为线性函数
编写Matlab程序如下
d=300;
t=[0.250.511.523468];
c=[19.2118.1515.3614.1012.899.327.455.243.01];
y=log（c）;
a=polyfit（t,y,1）
-0.2347
2.9943
k=-a
（1）
k=
0.2347
v=d/exp（a
（2））
v=
15.0219
由此也可以求出相关系数。
方法二：
应用非线性拟合直接求解系数
建立m文件：
functionf=curvefun3（x,tdata）
d=300
f=（x
（1）\d）*exp（-x
（2）*tdata）%x
（1）=v;
x
（2）=k
运行程序
tdata=[0.250.511.523468];
cdata=[19.2118.1515.3614.1012.899.327.455.243.01];
x0=[100.5];
x=lsqcurvefit（'
curvefun3'
x0,tdata,cdata）
x=
14.8212
0.2420
f=curvefun3（x,tdata）;
plot（tdata,cdata,'
tdata,f）
我们发现两种求法求出的系数很接近。
（三）线性拟合和非线性拟合区别与联系
在许多实际问题中，变量之间内在的关系并不想前面说的那样简单。
呈线性关系，但有些非线性拟合曲线可以通过适当的变量替换转化为线性曲线，从而用线性拟合进行处理。
对于一个实际的曲线拟合问题，一般先根据观测值在直角坐标平面上描出散点图，看一看散点的分布同哪类曲线图形接近，让后选用相接近的曲线拟合方程，再通过适当的变量替换转化为线性拟合问题，按线性拟合解出后再还原为原变量所表示的曲线拟合方程。
表1.1
线性拟合方程
变量变换
变换后线性拟合方程
Y=
Y=a
例题
测出一组实际数据见下表是对其进行函数拟合。
X
1.1052
1.2214
1.3499
1.4918
1.6478
3.6693
Y
0.6795
0.6006
0.5309
0.4693
0.4148
0.1546
1.8221
2.0138
2.2255
2.4596
2.7183
0.3666
0.3241
0.2864
0.2532
0.2238
>
x=[1.1052,1.2214,1.3499,1.4918,1.6478,1.8221,2.0138,2.2255,2.4596,2.7183,3.6693];
y=[0.6795,0.6006,0.5309,0.4693,0.4148,0.3666,0.3241,0.2864,0.2532,0.2238,0.1546];
plot（x,y,x,y,'
*'
）
见下图
由上图可以看出是非线性曲线y=a
由表1.1第一行可知
分别对x，y进行对数变换
x1=log（x）;
y1=log（y）;
plot（x1,y1）
用线性函数拟合的方法可以求出现行参数，使得lny=alnx+b,即y=,求解系数a,b及。
A=[x1'
ones（size（x1'
））];
c=[A\y1'
]
c=
-1.2338
-0.2631
exp（c
（2））
0.7686
拟合函数为y（x）=0.76870338819924
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