关于多项式的友矩阵及其对角化问题Word文档下载推荐.docx
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-an-an-1
-an-2称为A的特征多项式的友矩阵（Companion,-a1
00,0
10,0
00,等1-amatrix）或Forbenius矩阵,多项式
（1）的友矩阵也可写为
-an-1,,,,
00,1
-an0
0或C=,0
-an-an-1,-a2
2友矩阵的若干性质及相关结论
1.detC=（-1）an
n-1ann-2an
2.当anXO时,A可逆且
1an-an
10,00
01,00
00,00
00,10
n
3.设AIMn（F）,则A的特征多项式fA（K）就是fA（K）的友矩阵的特征多项式,即fA（K）=fC（K）1
4.每个首1多项式即使它的友矩阵的极小多项式,又是其特征多项式.
收稿日期:
2019-06-18
-,女（）,,.
第3期邓红梅,刘海连:
关于多项式的友矩阵及其对角化问题
11
5.矩阵AIMn（F）相似于其特征多项式的友矩阵当且仅当A的极小多项式与特征多项式恒等.
6.数域F上的任意n阶矩阵A在F上必相似于它的有理标准形
当然有理标准型的分块要比若当标准形的要粗，但在一般数域F（例如有理数域Q上）是适用的.
3关于友矩阵的对角化问题
由文[4]中推论2.2.5可知具有代数重数特征根的友矩阵不可以对角化.当然友矩阵C若有n个单根一定可以对角化.以下讨论将友矩阵对角化的变换矩阵T的几种求法.
方法一:
常用的方法
设CIMn（F）是多项式fA（K）=K+a1K+,+an-1K+an的友矩阵,若C在F内有n个单根K1,K2,,,Kn,则求出相应的齐次线性方程组（KiI-C）X=0的基础解系A1,A2,,,An,令可逆矩阵T=（A1,A2,,,An）,
K1
则
T-1CT=
K2
w
Kn0
例1设多项式f（K）=K-7K+6的友矩阵为C=
0-0
70
将C对角化并求变换矩阵T
10
3
解fc（K）=det（KI-C）=K-7K+6=（K-1）（K-2）（K+3）从而C可以对角化
由（KI-C）X=O,分别求出属于特征根1,2,-3的相应的特征向量
A1=（-6,1,1）,A2=（-3,2,1）,A3=（2,-3,1）
-6-3T=
1
21
2
-3,TCT=1
-1
2-3
方法二：
直接利用矩阵C的多项式来求变换矩阵T
命题:
在n向量空间F中，由n+1个n维向量构成的向量组必线性相关.设
AIMn（F）,elFn且eX0,则e,Ae,A2e,,,Ane线性相关
令K是使{e,Ae,Ae,,,Ae,,}线性相关的最小正整数，则存在不全为零的数
a0,a1,,,akIF,使得
a0e+a1Ae+,+akAe=0
（3）
（4）
令多项式f（x）=a0+a1x+,+akx
如果K0IF是f（x）的一个根,则f（x）=（x-K0）q（x）
k
又f（A）=a0I+a1A+,+akA,这样f（A）=（A-K0I）q（A）f（A）e=a0e+a1Ae+,+akAe=0从而（A-
KOI）q（A）e=O由于K使⑶式成立的最小正整数,所以q（A）eXO因此,q（A）e是矩阵A的属于特征根K0的一个特征向量
现设C是多项式f（K）=K+a1K+,+an-1K+an的友矩阵且在F内有n个单根K1,K2,,,Kn,
设ei=（0,010,0）（i=1,2,,,n）为n维单位向量组，容易算得：
Ce1=e2,C2e1=Ce2=e3,,,Cne1=Cen-1=enCe1=CC
n-1
T
n-1k
e1=Cen=-ane1-an-1e2-,-anen=-（anI-an-1C-,-a1C
12
青海师范大学学报（自然科学版）令qi（K）=（K-K1）,（K-Ki-1）（K-Ki+1）,（K-Kn）
由以上结论,我们有C[qi（C）]=Ki[qi（C）]e1令Ai=qi（C）e1
2019年
则Ai是C的属于Ki的特征向量,从而得友矩阵C的属于特征根K1,K2,,,Kn的特征向量分别为:
1=（C-K2I）（C-K3I）,（C-KnI）e1A
A2=（C-K1I）（C-K3I）,（C-KnI）e1
n=（C-K1I）（C-K2I）,（C-Kn-1I）e1A
T=（A1,A2,,,An）则TCT=
Kn
0-1求变换矩阵T,使T-1CT为1-32
例2设多项式f（K）=K+K+K-1的友矩阵为C=
对角形矩阵.
解fc（K）=det（KI-C）=K+K+K-1=（K-1）（K+i）（K-i）由于C有3个不同的特征值,故C可
对角化.
A1=[q1（C）]e1=（C+iI）（C-iI）e1=（C+I）e1=e3+e1=（101）
TA2=[q2（C）]e1=（C-I）（C-iI）e1=（i-i-11）
2A3=[q3（C）]e1=（C-I）（C+iI）e1=（-ii-11）
则所求变换矩阵为T=方法三：
利用以下定理
i
-i
i-1,TCT=
i-i
0-i-111
定理设AIMn（F）有n个不同的特征根K1,K2,,,Kn,矩阵C是A的特征多项式fA（K）=det（KI-A）=K+a1K+,+an-1K+an
Vandermonde矩阵
1K1
1,K2,,n）=V=V（K,K
（5）
的友矩阵，则CT相似于对角矩阵+=diag（K1,K2,,,Kn）,而且可取相似矩阵为
K1,K2,,,Kn的
1K2
，门，
（6）
K
n-12
n,K
且V-1CTV=+文[5]
由此定理，如果V容易求得，则使友矩阵对角化的变换矩阵T就容易得到了
设C为多项式f（K）的友矩阵,有n个不同的特征根K1,K2,,,KnIF,则存在非奇异矩阵T,使TCT=+
+=（T-1CT）T=T-1CT（T-1）T（（T-1）T）-1CT）（T-1）T故CT与C相似令V=（T-1）T而V-
1CTV=+VT=T-1故T=（VT）-1,T-1=VT这样就可求出变换矩阵T及T
13
由定理知V是CT的变换矩阵而K1,K2,,,Kn是C同时也是C的n个不同的特征值
1i-1i+1n令Li=（7）
（Ki-K1）,（Ki-i-1）（Ki-Ki+1）,（Ki-Kn）
1若i=j
则Li（Ki）=（8）
0若iXj
设f（x）为任一次数小于n的多项式,则f（x）由它在x=K1,K2,,,Kn上的值
f（K1）,f（K2）,,,
f（Kn）完全确定,由（8）式得
i=1
Ef（K）L
（Kj）=f（K1）L1（Kj）+f（K2）L2（Kj）+,+f（Kj）Lj（Kj）+,+
f（Kn）Ln（Kj）=f（Kj）（j=1,2,,,n）
即,多项式
（Kj）和f（x）在x=K1,K2,,,Kn上的值完全相同,因此,f（x）=
（x）
特别地,取
f（x）=xk（k=0,1,2,,,n-1）f（x）=f（K1）L1（x）+f（K2）L2（x）+,+f（Kn）Ln（x）f（x）=x0=1@L1（x）+1@L2（x）+,+1@Ln（x）1@L1（x）+K2@L2（x）+,+Kn@Ln（x）f（x）=x=K222f（x）=x2=K1@L1（x）+K2@L2（x）+,+Kn@Ln（x）
f（x）=x
写成矩阵的形式为
=K11x
@L1（x）+K2
@L2（x）+,+Kn
KnKn,
@Ln（x）
K2K2,
L1（x）L2（x）L3（x）sLn（x）
L1（x）L2（x）L3（x）sLn（xx2=s
x1x
X=
xx
n-1n-1K1K2
11n-1
Kn,1
K1,K1
K2K2,K2
Kn,L=,n-1-12sn,Kn
X=VL,故L=VXn-1
则有
设Li（x）=ai1+ai2x+,+ainx（i=1,2,,,n）
1L1（x）a11a12,a1na11
xL2（X）a21a22,a2na21x2=L3（x）,V-1=ssan1an2,annan1nxLn（x）即,V-1a12a22,an2
j-1,a1n,a2n,
,ann
的（i,j）位置上的元素aij是拉格朗日多项式Li（x）的x项的系数T=（VT）-1,T-
1=VT,T-1CT=+
T,使T-1CT为
32
例3设多项式f（K）=K-2K-K+2
14对角形矩阵.
青海师范大学学报（自然科学版）2019年
解fc（K）=det（KI-C）=K-2K-K+1=（K-1）（K+1）（K-2）
23令L1==-（x-2）（x+1）=1+x-x2
1-K2）（K1-K3）2（K22
故a11=1,a12=,a13=-22
L2=
故
L3=
所以,
V-1=
-33
20-213=
（K2-K1）（K2-K3）
（x-1）（x+1）=-+x333
a21=-,a22=0,a23=33
12=
（K3-K1）（K3-K2）
（x-2）（x-1）=--x+x
6326
a31=,a32=-,a33=263-2361
T-1=VT
T=（V-1）T=
2-2
-303
3-26
参考文献:
[1]杨胜良,乔占科.Vandermonde矩阵的逆矩阵的一种显式算法[J].兰州理工大学学报,2019,（30）,6.[2]杨志明.代数多项式的友矩阵及其应用[J].甘肃联合大学学
报,2019,（19）,4.[3]盛金苗.关于无限维友矩阵若干问题的问题的研究[J].应用数
学,2019.[4]陈景良,陈向晖,著.特殊矩阵[M].北京:
清华大学出版社,2001.1.
[5]（美）RogerA.Horn著.杨奇译.矩阵分析[M].北京：
机械工业出版社，20194
AboutMultinomialCompanionMatrixandDiaqonalizationQuestion
DENGHong-mie，LIUHai-lian
（QinghaiCommunicationsTechnicalCollege，Xining810003，China）
Abstract:
Companionmatrixinthestandardmodelofrationalmatrixplaysanimportantroleina
classofmatrix.Inthispaper,forthecompanionmatrixofthetransformationmatrixdiagonalizationofseveralways.
Keywords:
companionmatrix;
characteristicpolynomial;
transformationalmatrix;
Vandermondematrix;
Lagraangeinterpolation
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