微分证明题附极限题Word格式文档下载.docx
《微分证明题附极限题Word格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微分证明题附极限题Word格式文档下载.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
⎛1⎫
⎝2⎭
（0,1）内至少存在一点ξ，使
（ξ）≥24
1⎫1⎛1⎫⎛1⎫11⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛⎛
f（0）=f⎪+f'
⎪0-⎪+f'
（ξ1）0-⎪
2⎭2!
⎝2⎭⎝2⎭3!
2⎭⎝2⎭⎝2⎭⎝⎝⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫1⎛1⎫⎛1⎫1⎛1⎫
f
（1）=f⎪+f'
⎪1-⎪+f'
（ξ2）1-⎪
⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭2!
两式相减，得
f
（1）-f（0）=1=
2
3
23
[f'
（ξ1）+f'
（ξ2）]48
所以在（0,1）内至少存在一点ξ，使f'
（ξ）≥24.
3．设函数f（x）在闭区间[-1,1]上具有三阶连续导数，且f（-1）=0,f
（1）=1,f'
（0）=0，
在开区间（-1,1）内存在一点ξ，使f'
（ξ）=3。
f（x）=f（0）+f'
（0）x+
11
（0）x2+f'
（ξ1）x32!
3!
分别令x=-1,x=1，0=f（-1）=f（0）+
（0）-f'
（ξ1）2!
1=f
（1）=f（0）+f'
（0）+f'
相减，f'
（ξ2）=6。
由三阶导数的连续性，在开区间（-1,1）内存在一点ξ，使
（其实本题的三阶导数存在即可以证明，三阶导数即使不连续，介值性质依然
成立）。
4．设y=f（x）在（-1,1）内具有二阶连续导数且f'
（x）≠0，试证：
（1）对于（-1,1）内的任一x≠0，存在唯一的θ（x）∈（0,1）使得
f（x）=f（0）+xf'
（θ（x）x）成立；
（2）limθ（x）=
x→0
1。
（1）Lagrange中值定理，对于（-1,1）内的任一x≠0，存在θ（x）∈（0,1）使得
（θ（x）x）成立。
因为f'
（x）≠0，f'
（x）在（-1,1）内不变号，f'
（x）单调，
故θ（x）∈（0,1）事唯一的。
（2）
f（x）=f（0）+f'
（ξ）x22!
（ξ）x2，2!
xf'
（θ（x）x）=f（x）-f（0）=f'
（θ（x）x）-f'
（0）f'
=
θ（x）x2θ（x）
（0）=lim
（ξ）f'
（0）
，=lim=
x→0θ（x）x2θ（x）2limθ（x）
limθ（x）=
。
x→+∞
5．设f（x）在（a,+∞）内可导，如果lim[f（x）+xf'
（x）lnx]=l，求证
limf（x）=l。
limf（x）=lim
f（x）lnx
=lim[f（x）+xf'
（x）lnx]=lx→+∞lnx
6．设f在[a,b]二阶可导，求证存在x0∈（a,b），使得
（b-a）⎛a+b⎫
f（b）-2ff'
（x0）⎪+f（a）=
4⎝2⎭
a+b⎫1a+b⎫⎛a+b⎫⎛a+b⎫⎛⎛
f（a）=f⎪+f'
⎪a-⎪+f'
（x1）a-⎪
2⎭22⎭⎝2⎭⎝2⎭⎝⎝
f（b）=f⎪+f'
⎪b-⎪+f'
（x2）b-⎪
22222⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
相加，f（b）-2f⎪+f（a）=
8⎝2⎭
（x1）+f'
（x2）]。
由导函数的介值定理，存在x0∈（a,b），使得f（b）-2ff'
（x0）。
⎪+f（a）=
7．设f在[a,b]一阶可导，在（a,b）二阶可导，且满足f'
（a）=f'
（b）=0，求证存在
x0∈（a,b），使得
（x0）≥
f（x）=f（a）+
4
f（b）-f（a）
（b-a）2
12
（x1）（x-a）212
f（x）=f（b）+f'
（x2）（x-b）
122
（x1）（x-a）-f'
（x2）（x-b）=f（b）-f（a）
2a+b令x=，上式为
212
（x1）-f'
（x2）]（b-a）=f（b）-f（a）
8
（x2）=
[f（b）-f（a）]2
b-a若f'
（x1）
44
'
f（b）-f（a）f（x）
（b-a）2（b-a）2
则f'
（x2）
f（b）-f（a），矛盾。
故存在x0∈（a,b），使得2
b-a
f（b）-f（a）2
（b-a）
8．设f∈C2[a,b]，且f（a）=f（b）=0，试证
maxf（x）≤（b-a）2maxf'
（x）
（1）
a≤x≤ba≤x≤b8
（2）maxf'
（x）≤
a≤x≤b
；
（b-a）maxf'
（x）。
a≤x≤b2
（1）不妨设f（x）不恒为零，并设f（x0）=maxf（x），则f'
（x0）=0，
f（x）=f（x0）+
0=f（a）=f（x0）+
（ξ）（x-x0）22
（ξ1）（a-x0）2
（1）21
0=f（b）=f（x0）+f'
（ξ2）（b-x0）2
（2）
如果x0∈a,
⎛⎝1a+b⎫
f（x）≤（b-a）2maxf'
（x）；
如果⎪，由
（1）式可得f（x0）=maxa≤x≤ba≤x≤b82⎭
1⎛a+b⎫
x0∈,b⎪，由
（2）式可得f（x0）=maxf（x）≤（b-a）2maxf'
a≤x≤ba≤x≤b8⎝2⎭
（3）设f'
（x0）=maxf'
（x），
（ξ1）（a-x0）221
（x0）（b-x0）+f'
（ξ2）（b-x0）2
11222
（x0）（b-a）=maxf'
（x）b-x0）+（a-x0）]≤maxf'
（x）（b-a）。
故
2a≤x≤b2a≤x≤b
0=f（a）=f（x0）+f'
（x0）（a-x0）+
maxf'
9．设f（x）在[x1,x2]可导，0
x11
x2-x1f（x1）
记F（x）=
f（x2x2
=f（ξ）-ξf'
f（x）1
G（x）=，Cauchy中值定理得xx
F（x2）-F（x1）F'
（ξ），=
Gx2-Gx1G'
ξ代入即可。
10．设
f（x）在[a,b]二阶可导，证明在（a,b）内至少存在一点ξ，使得
f（a）-f（x）f（b）-f（x）-
1=f'
（ξ），其中ξ,x∈（a,b）
b-a2
⎧f（t）-f（x）,t≠x⎪
记F（t）=⎨，可以证明F（t）在[a,b]可导，中值定理，t-x
⎪t=x⎩f'
（x）,
左=
F（a）-F（b）f'
（ξ1）（ξ1-x）-[f（ξ1）-f（x）]=F'
（ξ1）=2
a-bξ1-x12
（ξ）（x-ξ1），代入即可。
而
f（x）=f（ξ1）+f'
（ξ1）（x-ξ1）+
11．设
f（x）二阶导数存在且连续，c∈（a,b），证明在（a,b）内至少存在一点ξ，使得
f（a）f（c）f（b）1
++=f'
a-ba-cc-ac-bb-ab-c2
代入，
（ξ1）（a-c）212
f（b）=f（c）+f'
（c）（b-c）+f'
（ξ2）（b-c）
2f（a）=f（c）+f'
（c）（a-c）+
1⎧a-cb-c⎫
（）（）fξ+fξ⎨⎬。
2⎩a-bb-a⎭
如果
（ξ1）=f'
（ξ2），则已证毕；
如果f'
（ξ1）≠f'
（ξ2），不妨假设f'
a-cb-c⎫⎧
（ξ1）≤⎨f'
（ξ1）+f'
（ξ2）⎬≤f'
a-bb-a⎭⎩
由导函数的介值定理，存在ξ
∈（a,b）使得⎨f'
（ξ2）⎬=f'
（ξ），证毕。
（x+θh）h2，其中0
12．设
f（x）三阶可导，且f（x+h）=f（x）+f'
（x）h+
（x）≠0，求证limθ=
h→0
（x）h2+f'
（ξ）h32612
=f（x）+f'
（x）h+f'
（x+θh）h
111
（ξ）h3=f'
（x+θh）h2262
（x）+f'
（ξ）h=f'
（x+θh）
1f'
（x+θh）-f'
（x）f'
（ξ）=⋅θ3θh
令h→0，limθ=。
h→03
f（x+h）=f（x）+f'
13．已知
f（x）在a的δ
邻域内四阶可导，且
f（4）（x）≤M，设0
（a）-
f（a+h）+f（a-h）-2f（a）M2
≤h
h212
111（4）
（a）h2+f'
（a）h3+f（ξ1）h42624111（4）
f（a-h）=f（a）-f'
（a）h+f'
（a）h2-f'
（a）h3+f（ξ2）h4
2624f（a+h）=f（a）+f'
（a）h+
代入左式，左=
1（4）M2
f（ξ1）+f（4）（ξ2）≤h
1224
14．设
x2x2n
，证明f（x）=1+x+++
2n!
→±
∞时，f（x）→+∞，所以f（x）有正最小值f（x0），显然f（x0）也是极小值。
当x
x0=f'
（x0）=f（x0）-0
（2n）!
x
f（x0）=0。
显然，x015．设
2n
≠0，故f（x）有正最小值。
f（x）,g（x）在（-∞,+∞）有定义，f'
（x）,f'
（x）存在，且满足
（x）g（x）-f（x）=0
若
f（a）=f（b）=0,a
f（x）不恒为0，至少存在一点x1使得f（x1）≠0。
不妨假设f（x1）>
0。
f（x）在[a,b]
如果上有最大值
f（x0）≥f（x1）>
因为f（a）=f（b）=0，x0∈（a,b），f（x0）为极大值。
代入
与f（x0）为极大值矛盾。
所以在[a,b]f'
（x0）+f'
（x0）g（x0）-f（x0）=0，f'
（x0）=f（x0）>
0，上，
f（x）≡0。
四道极限题
升级会员 