金融工程学课程相关公式精选Word文档下载推荐.docx
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进一步有：
2
（5-2）
该式又称“为收益率曲线”，函数
又称为“利率期限结构”。
固定t，则
是T的函数，是不同到期日T对应的不同即期利率，因此称函数
为利率期限结构；
另外
又可以看成不同到期日的零息收益率，所以（5-2）又称为收益率曲线。
瞬时利率r可定义为：
设
是r在t和T时间间隔内r的平均值，
代表无风险中性世界的期望值，则在T时刻收益为N=1的贴现债券的价格为：
（5-4）
（5-6）
其中，z是维纳过程，m（r）和s（r）分别是r的瞬态漂移率和瞬态标准差，我们称该随机微分方程为利率模型。
Merton为导出贴现债券价格的模型，假定利率过程是一带漂移率的布朗运动，即：
（5-7）
其中
和
为常数，分别表示瞬时均值和瞬时标准差。
与股票价格具有长期增长趋势不同。
利率具有均值回复的特征，即随着时间的推移，利率呈现出向某个均衡水平收敛的趋势。
该模型的结构是：
（5-8）
这意味着r服从几何布朗运动。
该过程具有常数期望增长率
和常数波动率
。
（5-9）
其中b和
为常数，b表示r的长期均值水平，它是一个临界值：
当r与b大小关系不同时，漂移率不同，r也具有不同的运动趋势，从而瞬时利率r围绕b上下波动，体现均值回复的特征。
该模型克服了Vaisicek模型的两个缺陷，使得瞬时利率不小于零，瞬时利率的波动率不再是常数，而是r的增函数。
（5-16）
其中，a>
0，
，b和
为常数。
假设瞬时利率为r，长期利率R，债券的价格是瞬时利率和长期利率的函数。
二者可以分别描述为：
（5-20）
（5-21）
利用Ito定理，可求得债券价格的微分方程表达式。
同时运用Ito定理，得到瞬时利率及瞬时利率波动率的随机方程，即：
（5-22）
（5-23）
通过对微分方程求解，可得出债券价格和期权价格的解析式。
希望能对您有帮助
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