高中数学必修二复习教师版学生版知识点例题练习详解Word文档下载推荐.docx
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xa（a为常数）；
5、直线系方程：
即具有某一共同性质的直线
（1）平行直线系
平行于已知直线A0xB0yC00（A0,B0是不全为0的常数）的直线系：
A0xB0yC0（C为常数）
（2）垂直直线系
垂直于已知直线A0xB0yC00（A0,B0是不全为0的常数）的直线系：
B0xA0yC0（C为常数）
（3）过定点的直线系
①斜率为k的直线系：
y
②过两条直线l1:
y0kxx0，直线过定点x0,y0；
A1xB1yC10，l2:
A2xB2yC20的交点的直线系方程为
，其中直线l2不在直线系中A1xB1yC1A2xB2yC20（为参数）
6、两条直线的交点
l1:
A1xB1yC10l2:
A2xB2yC20相交
A1xB1yC10交点坐标即方程组的一组解。
A2xB2yC20
①方程组无解l1//l2；
②方程组有无数解l1与l2重合
7、距离公式
Bx2,y2）
（1）两点距离公式：
设A（x1,y1），（是平面直角坐标系中的两个点，
则|AB|
（2）点到直线距离公式：
点Px0,y0到直线l1:
AxByC0的距离dAx0By0C
A2B2
（3）两平行直线距离公式：
在任一直线上任取一点，
再转化为点到直线的距离进行求解或d
六、圆的方程
1、标准方程xaybr，圆心222a,b，半径为r；
2
2、一般方程xyDxEyF0
DE，半径为r1D2E24F①当DE4F0时，方程表示圆，此时圆心为
2222222
②当DE4F0时，表示一个点；
当DE4F0时，方程不表示任何图形。
3、求圆方程的方法：
一般都采用待定系数法：
先设后求。
①若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；
②若利用一般方程，需要求出D，E，F；
另外要注意多利用圆的几何性质：
如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
七、直线与圆
1、直线与圆的位置关系：
相离，相切，相交：
（1）设直线l:
AxByC0，圆C:
xa2yb2r2，圆心Ca,b到l的距离为dAaBbC，A2B22222
则有drl与C相离；
drl与C相切；
（2）过圆外一点的切线：
①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】
（3）过圆上一点的切线方程：
圆（xa）2（yb）2r2，圆上一点为（x0,y0），则过此点的切线方程为
2、圆与圆的位置关系：
通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
设圆C1:
xa12yb12r2，
①
②
③
④
⑤
⑥当d当d当Rr时两圆外离，此时有公切线4条；
Rr时两圆外切，连心线过切点，有外公切线2条，当d0时，为同心圆。
已知圆上两点，圆心必在两点连线的中垂线上；
已知两圆相切，两圆心与切点共线；
圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点
补充：
一、重心——中线的交点；
垂心——高的交点；
外心——中垂线的交点；
内心——角平分线的交点
二、已知圆以Ax1,y1,Bx2,y2为直径，则该圆的方程为（xx1）（xx2）（yy1）（yy2）0
三、切线长公式：
P（x0,y0），圆,则d
k四、弦长公式：
弦两端点：
P1x1,y1,P2x2,y2，弦所在直线的斜率为，
则d
1x2或d1y2&
lt;
例题讲解&
gt;
例1、如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，
E是PC的中点。
求证：
（1）PA∥平面BDE
（2）平面PAC平面BDE
3
证明（１）∵O是AC的中点，E是PC的中点，∴OE∥AP，
又∵OE平面BDE，PA平面BDE，∴PA∥平面BDE
（2）∵PO底面ABCD，∴POBD，又∵ACBD，且ACPO=O
∴BD平面PAC，而BD平面BDE，∴平面PAC平面BDE。
例2、已知三角形ABC的顶点是A（-1，-1），B（3，1），C（1，6）.直线L平行于AB,且分别交AC,BC
1.求直线L的方程.4
11解：
由已知，直线AB的斜率K=，∵EF∥AB∴直线EF的斜率为K=22
1∵三角形CEF的面积是三角形CAB面积的，∴E是CA的中点。
4
551又点E的坐标（0，）直线EF的方程是yx，即x2y50222于E,F,三角形CEF的面积是三角形CAB面积的
例3、如图，在矩形ＡＢＣＤ中，已知ＡＢ＝３ＡＤ，Ｅ，Ｆ为ＡＢ的两个三等
分点，ＡＣ，ＤＦ交于点Ｇ，建立适当的直角坐标系，证明：
ＥＧＤＦ
解：
以AB所在直线为X轴，AD所在直线为Y轴，建立直角坐标系
设AD=1（单位）则D（0，1）A（0，0），E（1，0），F（2，0）
C（3，1），求得直线AC的方程为y1x，直线DF的方程为x2y203
61xyx5解方程组得所以点G的坐3y2x2y205
例4、如图：
直线L1的倾斜角1=30，直线L1L2，则L2的斜率为（）０
Ａ、
Ｂ、3Ｃ、3Ｄ、33
4
例5、如图：
S是平行四边形ABCD平面外一点，M、N分别是SA、BD上的点，且求证：
MN∥平面SBC
证明：
连结AN并延长交BC于点G，并连结SG∵平行四边形ABCD∴AMBN=，SMNDBNANAMBNANAM=，∵=∴=NDNGSMNDNGSM
∴MN∥SG
例6、21、过点（２，３）的直线Ｌ被两平行直线Ｌ１：
２ｘ－５ｙ＋９＝０与Ｌ２：
２ｘ－５ｙ－７＝０所截线段ＡＢ的中点恰在直线ｘ－４ｙ－１＝０上，求直线Ｌ的方程.
设线段ＡＢ的中点P的坐标（a，b），由P到L1，、L2的距离相等，得2a5b92a5b722522252经整理得，2a5b10，又点P在直线ｘ－４ｙ－１＝０上，所以a4b10
2a5b10a3解方程组得即点P的坐标（-3，-1），又直线L过点（２，３）所以直线Ｌa4b10b1
的方程为y
（1）x（3），即4x5y703
（1）2（3）
例7、已知三条直线L1：
X2Y0L2：
Y10L3：
2XY10两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程
如图：
通过计算斜率可得L1L3，经过A，B，C三点的圆就是以AB为直径的圆解方程组
解方程组
线段x2y0x2得所以点A的坐标（-2，-1）y10y12xy10x1得所以点B的坐标y10y1的中点坐标是（（1，-1）AB1,1），又2AB（21）2（11）23
所以圆的方程是（x
例8、与直线7x24y5平行，并且距离等于3的直线方程是129）（y1）2247x24y8007
x24y70
5
例9、已知点M（a，b）在直线3x4y15上，则a2b2的最小值为3
例10、圆：
x2y24x6y0和圆：
x2y26x0交于A、B两点，则AB的垂直平分线的方程是（C）
A.x+y+3=0B、2x-y-5=0C、3x-y-9=0D、4x-3y+7=0
例11、圆：
x2y22x2y10上的点到直线xy2的距离最大值是（B）
A、2B、12C、12D、1222
DD13，求异面直线A1B与B1C所成角的余例12、在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知DADC4,
弦值
连接A1D，A1D//B1C,BA1D为异面直线A1B与B1C所成的
角.
连接BD，在△A1DB中，A1BA1D5,BD42，
A1B2A1D2BD22525329则cosBA1D2A1BA1D25525
例13、如图，射线OA、OB分别与x轴成45角和30角，过点P（1,0）
作直线AB分别与OA、OB交于A、B．
（Ⅰ）当AB的中点为P时，求直线AB的方程；
（Ⅱ）当AB的中点在直线y1x上时，求直线AB的方程．
（Ⅰ）由题意得，OA的方程为yx，OB的方程为y3x，设A（a,a），3
ab2得a31，
B（b,b）。
∵AB的中点为P（1,0），∴ab0
6
∴kAB31
21即AB方程为
（1）xy310
1abab,）在直线yx上，222（Ⅱ）AB中点坐标为（
则ab1a3b，即a（23）b①222
ab②a1b1∵kPAkPB，∴
由①、②得a，则kAB3，2
所以所求AB的方程为（3）x2y330
例14、方程x2+y2-x+y+m=0表示圆则m的取值范围是（C）
A、m≤2B、m&
2C、m&
11D、m≤22
例15、若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（B）
A．若//,l,n，则l//nB．若,l，则l
C.若l,l//，则D．若ln,mn，则l//m
例16已知三点A（－2,－1）、B（x，2）、C（1，0）共线，则x为：
（A）
A、7B、-5C、3D、-1
例17、如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，已知M为棱AB的中点．
（Ⅰ）AC1//平面B1MC；
（Ⅱ）求证：
平面D1B1C⊥平面B1MC．
（Ⅰ）MO//AC1；
（Ⅱ）MO∥AC1，AC1⊥平面D1B1C，MO⊥平面D1B1C，平面D1B1C⊥平面B1MC．
7
例18、在△ABC中，BC边上的高所在的直线的方程为x2y10，∠A的平分线所在直线的方程为
，求点A和点C的坐标．．y0，若点B的坐标为（1，2）
由y0x1得，即A的坐标为（1,0），x2y10y0
∴kAB20，又∵x轴为∠BAC的平分线，∴k
ACkAB1，11
又∵直线x2y10为BC边上的高，∴kBC2．
设C的坐标为（a,b），则bb21，2，a1a1
解得a5，b6，即C的坐标为（5,6）．
例19、已知平行四边形的两条边所在的直线方程分别是x＋y＋1＝0和3x－y＋4＝0，它的对角线的交点是M（3，0），求这个四边形的其它两边所在的直线方程．
xy70和3xy220．
例20、线l通过点（1，3）且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为6，则直线l的方程是（A）
A．3xy60B．3xy0
C．x3y100D．x3y80
8
&
练习集锦&
一、选择题
1．若直线的倾斜角为120，则直线的斜率为（
B）
A
．
．D．-33
2．若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是（D）
A．相交B．异面C．平行D．异面或相交
3．直线y3x1关于y轴对称的直线方程为（C）
A．y3x1B．y3x1C．y3x1D．yx1
4．下列四个命题
①垂直于同一条直线的两条直线相互平行；
②垂直于同一个平面的两条直线相互平行；
③垂直于同一条直线的两个平面相互平行；
④垂直于同一个平面的两个平面相互垂直.
其中错误的命题有（B）．．
A.1个B.2个C.3个D.4个
5．已知各面均为等边三角形的四面体的棱长为2，则它的表面积是（
C）
6．直线1axy10与圆xy2x0相切，则a的值为（D）22
A.1，1B.2C.1D.1
7.若l为一条直线，，，为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：
①⊥，⊥，则⊥；
②⊥，∥，则⊥；
③l∥，l⊥，则⊥.其中正确的命题有（C）
A.0个B.1个C.2个D.3个
8．圆（x1）y1和圆xy6y50的位置关系是（C）
A．相交B．C．外离D．D）
A．DDB
B．ADC
C．ADB
92222AAC
D．DBC
10．已知点A（1,2,11），B（4,2,3），C（6,1,4），则△ABC的形状是（B）
A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形
11．半径为R的球C）
3A.B.
R4
333
3D.R9
12．若P2，1为圆x1y225的弦AB的中点，则直线AB的方程是（A）
A．xy30B．xy30C．xy30D．xy30
二、填空题
13．过点（1，2）且与直线x2y10平行的直线方程是x2y50．
14．以点A（2,0）为圆心，且经过点B（1,1）的圆的方程是（x2）2y210．
15．在平面几何中，有如下结论：
三边相等的三角形解得
2xy20.y2.
由于点P的坐标是（2，2）.
则所求直线l与x2y10垂直，
可设直线l的方程为2xyC0.
把点P的坐标代入得222C0，即C2.
所求直线l的方程为2xy20.
（Ⅱ）由直线l的方程知它在x轴、y轴上的截距分别是1、2，
10
1121.2
17.如图，四棱锥ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点．
（Ⅰ）PA∥平面BDE；
P（Ⅱ）平面PAC平面BDE.
（Ⅰ）连结OE．
∵O是AC的中点，E是PC的中点，∴OE∥AP，
又∵OE平面BDE，PA平面BDE，
∴PA∥平面BDE．（Ⅱ）∵PO底面ABCD，
∴POBD，
又∵ACBD，且ACPO=O，∴BD平面PAC．
而BD平面BDE，∴平面PAC平面BDE．所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积S
18.已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x3y290相切．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）设直线axy50（a0）与圆相交于A,B两点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（2,4），若存在，
求出实数a的值；
若不存在，请说明理由．
（Ⅰ）设圆心为M（m,0）（mZ）．
4m295，由于圆与直线4x3y290相切，且半径为5，所以5
即4m2925．
因为m为整数，故m1．
故所求圆的方程为（x1）2y225．
（Ⅱ）把直线axy50即yax5．代入圆的方程，消去y整理，得
（a21）x22（5a1）x10．
由于直线axy50交圆于A,B两点，
故4（5a1）4（a1）0．
2即12a5a0，由于a0，解得a225．12
11
所以实数a的取值范围是（5,）．12
1，a（Ⅲ）设符合条件的实数a存在，由于a0，则直线l的斜率为
1l的方程为y（x2）4，即xay24a0．a
由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1,0）必在l上．
所以1024a0，解得a
由于3．435（,），412
3故存在实数a，使得过点P（2,4）的直线l垂直平分弦AB．4
12
当0,90时，k0；
当90,180时，k0；
当90时，k不存在
13
，直线斜率k，且过点x1,y1
时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因
l上每一点的横坐标都等于x0，所以它的方程是xx0
，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b
③两点式：
（x1x2,y1y2）直线两点x1,y1，x2,y2
其中直线l与x轴交于点（a,0）,与y轴交于点（0,b）,即l与x轴、y轴的截距分别为a,b
⑤一般式：
（A，B不全为0）
设A（x1,y1），（是平面直角坐标系中的两个点，则
（2）点到直线距离公式：
AxByC0的距离
在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解或
1、标准方程，圆心
2、一般方程
22a,b，半径为r；
DE，半径为r1D2E24F①当DE4F0时，方程表示圆，此时圆心为,222
142222
xa2yb2r2，圆心Ca,b到l的距离为dAaBbC，
drl与C相交
圆（xa）2（yb）2r2，圆上一点为（x0,y0），则过此点的切线方程为（x0a）（xa）（y0b）（yb）r2
xa12yb12r2，C2:
xa22yb22R2
B.
C.
D.
E.F.G.当dRr时两圆，此时有公切线4条；
当dRr时两圆，连心线过切点，有外公切线2条，，连心线垂直平分公共弦，有2条外公切线；
当dRr时，两圆，连心线经过切点，只有1条公切线；
当dRr时，两圆；
当d0时，为圆。
P（x0,y0），圆x2y2DxEyF0,
则d
1
x2或d1y2&
例1、如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点。
15
例2、已知三角形ABC的顶点是A（-1，-1），B（3，1），C（1，6）.直线L平行于AB,且分别交AC,
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