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C．∠1=∠2=45°

D．∠1=40°

6．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（　　）

A．BC=EC，∠B=∠EB．BC=EC，AC=DCC．BC=EC，∠A=∠DD．∠B=∠E，∠A=∠D

7．已知a＞b＞0，那么下列不等式组中无解的是（　　）

8．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°

，AB=AD=4

，CD=2

，点P在四边形ABCD的边上，若点P到BD的距离为3，则点P的个数为（　　）

A．2B．3C．4D．5

9．给出以下五种说法：

①若a，b，c为实数，且a＞b，则ac2＞bc2；

②已知一个直角三角形的两边长分别为5和12，则该直角三角形的斜边上的中线长为6.5；

③命题“三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等”是真命题；

④如果一个等腰三角形的两边长为4cm和9cm，那么它的周长是17cm或22cm；

⑤如果关于x的不等式﹣k﹣x+6＞0的正整数解为1，2，3，那么k应取值为2≤k＜3．

其中说法正确的是（　　）

A．①②⑤B．③⑤C．②③④D．①②④⑤

10．如图，四边形ABCD是正方形，直线a，b，c分别通过A、D、C三点，且a∥b∥c．若a与b之间的距离是5，b与c之间的距离是7，则正方形ABCD的面积是（　　）

A．70B．74C．144D．148

二、填空题：

本题有6个小题，每小题4分，共24分

11．不等式（a﹣b）x＜a﹣b的解集是x＞1，则a、b的大小关系是：

a　　　　　　b．

12．已知三角形三边长分别是1、x、2，且x为整数，那么x的值是　　　　　　．

13．如图所示，∠C=∠D=90°

，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等，则应添加一个条件是　　　　　　．

14．若关于x的不等式组

有解，则写出符合条件的一个a的值　　　　　　．

15．等腰△ABC的底边上高AD与底角平分线CE交于点P，EF⊥AD，F为垂足，若线段EB=4，则线段EF=　　　　　　．

16．已知：

如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：

①△ABD≌△EBC；

②∠BCE+∠BCD=180°

；

③AD=EF=EC；

④BA+BC=2BF，其中正确的结论有　　　　　　（填序号）．

三、解答题：

本题共有7个小题，共66分

17．

（1）解不等式：

3x﹣1＜2x+4

（2）不等式组

并将其解集在数轴上表示出来．

18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°

．

（1）用尺规在边BC上求作一点P，使PA=PB（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）连结AP，若AC=4，BC=8时，试求BP的长．

19．如图，在△ABC中，AB=AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F．

（1）求证：

∠E=∠AFE；

（2）若AF=3，BF=5，求CE的长并直接写出△ABC周长的取值范围．

20．如图，△ABC是边长为5cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的速度都为1cm/s．当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s）．

（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？

（2）连接AQ、CP，相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会变化吗？

若变化，则说明理由；

若不变，请求出它的度数．

21．在△ABC中，AC=AB=5，一边上高为3，求底边BC的长（注意：

请画出图形）．

22．某公交公司有A，B型两种客车，它们的载客量和租金如下表：

A

B

载客量（人/辆）

45

30

租金（元/辆）

400

280

红星中学根据实际情况，计划租用A，B型客车共5辆，同时送2015～2016学年度七年级师生到基地校参加社会实践活动，设租用A型客车x辆，根据要求回答下列问题：

（1）用含x的式子填写下表：

车辆数（辆）

载客量

租金（元）

x

45x

400x

5﹣x

（2）若要保证租车费用不超过1900元，求x的最大值；

（3）在

（2）的条件下，若2015～2016学年度七年级师生共有195人，写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案．

23．如图1，等边△ABC边长为6，AD是△ABC的中线，P为线段AD（不包括端点A、D）上一动点，以CP为一边且在CP左下方作如图所示的等边△CPE，连结BE．

（1）点P在运动过程中，线段BE与AP始终相等吗？

说说你的理由；

（2）若延长BE至F，使得CF=CE=5，如图2，问：

①求出此时AP的长；

②当点P在线段AD的延长线上时，判断EF的长是否为定值，若是请直接写出EF的长；

若不是请简单说明理由．

浙江省杭州市2015～2016学年度八年级上学期期中数学试卷

参考答案与试题解析

【考点】轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形的概念求解．

【解答】解：

A、不是轴对称图形，故本选项错误；

B、不是轴对称图形，故本选项错误；

C、不是轴对称图形，故本选项错误；

D、是轴对称图形，故本选项正确．

故选D．

【点评】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．

【考点】命题与定理．

【分析】根据等边三角形的判定方法对A进行判断；

根据余角的定义对B进行判断；

根据钝角三角形的定义对C进行判断；

根据平行线的性质对D进行判断．

有一个角为60°

的等腰三角形是等边三角形是真命题；

等角的余角相等是真命题；

钝角三角形一定有一个角大于90°

是真命题；

两直线平行，同位角相等，则同位角相等是假命题．

【点评】本题考查了命题：

判断事物的语句叫命题；

正确的命题称为真命题；

错误的命题称为假命题．

【考点】等腰三角形的判定．

【分析】由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理，即可求得答案．

A、∵a=3，b=3，c=4，

∴a=b，

∴△ABC是等腰三角形；

B、∵a：

∴a≠b≠c，

∴△ABC不是等腰三角形；

C、∵∠B=50°

，

∴∠A=180°

﹣∠B﹣∠C=50°

∴∠A=∠B，

∴AC=BC，

D、∵∠A：

2，

∵∠A=∠B，

∴△ABC是等腰三角形．

故选B．

【点评】此题考查了等腰三角形的判定．此题比较简单，注意掌握等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理是解题的关键．

【考点】在数轴上表示不等式的解集．

【分析】首先用a表示出不等式的解集，然后解出a．

根据图示知，原不等式的解集是：

x≤﹣1；

又∵3x﹣2a≤﹣2，

∴x≤

∴

=﹣1，

解得，a=﹣

【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集．不等式的解集在数轴上表示出来的方法：

“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．

【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子．

A、满足条件∠1+∠2=90°

，也满足结论∠1≠∠2，故A选项错误；

B、不满足条件，故B选项错误；

C、满足条件，不满足结论，故C选项正确；

D、不满足条件，也不满足结论，故D选项错误．

故选：

C．

【点评】理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键．

【考点】全等三角形的判定．

【分析】根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．

A、已知AB=DE，再加上条件BC=EC，∠B=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；

B、已知AB=DE，再加上条件BC=EC，AC=DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；

C、已知AB=DE，再加上条件BC=DC，∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；

D、已知AB=DE，再加上条件∠B=∠E，∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：

AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

【考点】不等式的解集．

【分析】利用求不等式解集的方法判定，

A、x的解集为﹣b＜x＜a，故A有解；

B、x的解集为x＞﹣b，故B有解；

C、无解，

D、x的解集为﹣a＜x＜b．故D有解；

【点评】此题主要考查了解不等式组，关键是正确理解解集的规律：

同大取大；

同小取小；

大小小大中间找；

大大小小找不到．

【考点】勾股定理；

点到直线的距离．

【分析】首先作出AB、AD边上的点P（点A）到BD的垂线段AE，即点P到BD的最长距离，作出BC、CD的点P（点C）到BD的垂线段CF，即点P到BD的最长距离，由已知计算出AE、CF的长与3比较得出答案．

过点A作AE⊥BD于E，过点C作CF⊥BD于F，

∵∠BAD=∠ADC=90°

∴∠ABD=∠ADB=45°

∴∠CDF=90°

﹣∠ADB=45°

∵sin∠ABD=

∴AE=AB•sin∠ABD=4

•sin45°

=4＞3，

CF=

CD═2＜3，所以在AB和AD边上有符合P到BD的距离为3的点2个，

故选A．

【点评】本题考查了解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是先求出各边上点到BD的最大距离比较得出答案．

【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．

①若a，b，c为实数，且a＞b，则ac2≥bc2，故原命题错误；

②已知一个直角三角形的两边长分别为5和12，则该直角三角形的斜边上的中线长为6.5或6，故原命题错误；

③命题“三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等”是真命题，正确；

④如果一个等腰三角形的两边长为4cm和9cm，那么它的周长是22cm，故原命题错误；

⑤如果关于x的不等式﹣k﹣x+6＞0的正整数解为1，2，3，那么k应取值为2≤k＜3，正确．

其中说法正确的是③⑤，

B．

【点评】此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

【考点】全等三角形的判定与性质；

平行线之间的距离；

勾股定理；

正方形的性质．

【分析】过A作AM⊥直线b于M，过D作DN⊥直线c于N，求出∠AMD=∠DNC=90°

，AD=DC，∠1=∠3，根据AAS推出△AMD≌△CND，根据全等得出AM=CN，求出AM=CN=5，DN=7，在Rt△DNC中，由勾股定理求出DC2即可．

如图：

过A作AM⊥直线b于M，过D作DN⊥直线c于N，

则∠AMD=∠DNC=90°

∵直线b∥直线c，DN⊥直线c，

∴∠2+∠3=90°

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=DC，∠1+∠2=90°

∴∠1=∠3，

在△AMD和△CND中

∴△AMD≌△CND，

∴AM=CN，

∵a与b之间的距离是5，b与c之间的距离是7，

∴AM=CN=5，DN=7，

在Rt△DNC中，由勾股定理得：

DC2=DN2+CN2=72+52=74，

即正方形ABCD的面积为74，

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，并进一步求出△AMD≌△CND，难度适中．

a　＜　b．

【考点】不等式的性质．

【分析】本题需先根据不等式不等式（a﹣b）x＜a﹣b的解集是x＞1，的解集是x＜1，得出a﹣b的关系，即可求出答案．

∵不等式（a﹣b）x＜a﹣b的解集是x＞1，

∴a﹣b＜0，

∴a＜b，

则a与b的大小关系是a＜b．

故答案为：

＜．

【点评】本题主要考查了不等式的解集，在解题时要注意注意不等式两边同时乘以同一个负数时，不等号的方向改变．

12．已知三角形三边长分别是1、x、2，且x为整数，那么x的值是　2　．

【考点】三角形三边关系．

【分析】根据三角形的三边关系：

两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求解即可．

∵三角形的三边长分别为1，x，2，

∴第三边的取值范围为：

1＜x＜3

∵x为整数，

∴x=2．

2．

【点评】考查了三角形的三边关系，此类求范围的问题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可，确定x的值．

，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等，则应添加一个条件是　AC=AD　．

【考点】直角三角形全等的判定．

【专题】开放型．

【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，还可以是BC=BD．

条件是AC=AD，

∵∠C=∠D=90°

在Rt△ABC和Rt△ABD中

∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），

AC=AD．

【点评】本题考查了直角三角形全等的判定的应用，能熟记定理是解此题的关键，注意：

直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．

有解，则写出符合条件的一个a的值　6　．

【考点】解一元一次不等式组．

【分析】表示出不等式组的解集，根据不等式组有解确定出a的值即可．

不等式整理得：

由不等式组有解，得到a＞5，

则满足题意a的值为6．

6．

【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

15．等腰△ABC的底边上高AD与底角平分线CE交于点P，EF⊥AD，F为垂足，若线段EB=4，则线段EF=　2　．

角平分线的性质；

等腰三角形的判定与性质．

【分析】延长EF交AC于点Q，利用EF∥CD，且CE平分∠ACD，可得∠QCE=∠QEC，所以QE=CE，结合等腰三角形的性质可得QE=2EF，且QC=BE，可得出结论．

如图，

延长EF交AC于点Q，

∵EF⊥AD，AD⊥BC

∴EQ∥BC

∴∠QEC=∠ECB

∵CE平分∠ACB

∴∠ECB=QCE

∴∠QEC=∠QCE

∴QE=QC

∵QE∥BC，且△ABC为等腰三角形

∴△AQE为等腰三角形

∴AQ=AE，QE=2EF，

∴CQ=BE=QE，

∴EF=

BE=2．

【点评】此题主要考查等腰三角形的性质和判定及平行线的性质的应用，解题的关键是作出辅助线，找到BE和CQ的数量关系，进一步寻找BE和EF的数量关系．

④BA+BC=2BF，其中正确的结论有　①②④　（填序号）．

【考点】全等三角形的判定与性质．

【分析】易证△ABD≌△EBC，可得∠BCE=∠BDA，AD=EC可得①②正确，再根据角平分线的性质可求得∠DAE=∠DCE，即AD=AE=EC，根据AD=AE=EC可求得④正确．

①∵BD为△ABC的角平分线，

∴∠ABD=∠CBD，

在△ABD和△EBC中，

∴△ABD≌△EBC（SAS），

∴①正确；

②∵BD为△ABC的角平分线，BD=BC，BE=BA，

∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，

∵△ABD≌△EBC，

∴∠BCE=∠BDA，

∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°

∴②正确；

③∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA，

∴∠DCE=∠DAE，

∴△ACE为等腰三角形，

∴AE=EC，

∴AD=EC，

∴AD=AE=EC，

∵BD为△ABC的角平分线，EF⊥AB，而EC不垂直与BC，

∴EF≠EC，

∴③错误；

④过E作EG⊥BC于G点，

∵E是BD上的点，∴EF=EG，

在RT△BEG和RT△BEF中，

∴RT△BEG≌RT△BEF（HL），

∴BG=BF，

在RT△CEG和RT△AFE中，

∴RT△CEG≌RT△AFE（HL），

∴AF=CG，

∴BA+BC=BF+FA+BG﹣CG=BF+BG=2BF，

∴④正确．

①②④．

【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键．

【考点】解一元一次不等式组；

在数轴上表示不等式的解集；

解一元一次不等式．

【分析】

（1）移项、合并同类项可得解集；

（2）分别求出每个不等式解集，找到其公共部分即可的不等式组解集，并表示在数轴上．

（1）移项，得：

3x﹣2x＜4+1，

合并同类项，得：

x＜5；

（2）解不等式组：

解不等式①，得：

x＞﹣6，

解不等式②，得：

x＜6，

∴不等式组的解集为：

﹣6＜x＜6，

表示在数轴上如下所示：

【点评】本题主要考查解一元一次不等式、不等式组的能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键．

【考点】作图—复杂作图；

线段垂直平分线的性质．

【专题】应用题；

作图题．

（1）作AB的垂直平分线交BC于P点，则PA=PB；

（2）设BP=x，则AP=x，CP=BC﹣PB=8﹣x，然后在Rt△ACP中根据勾股定理得到（8﹣x）2+42=x2，再解方程即可．

（1）如图，点P为所作；

（2）设BP=x，则AP=x，CP=BC﹣PB=8﹣x，

在Rt△ACP中，∵PC2+AC2=AP2，

∴（8﹣x）2+42=x2，解得x=5，

即BP的长为5．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：

复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．

【考点】等腰三角形的判定与性质．

（1）根据等边对等角得出∠B=∠C，再根据EP⊥BC，得出∠C+∠E=90°

，∠B+∠BFP=90°

，从而得出∠D=∠BFP，再根据对顶角相等得出∠