福建省中考数学复习练习第3章第六节二次函数的Word下载.docx

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8.（2015漳州13题4分）已知二次函数y＝（x－2）2＋3，当x________时，y随x的增大而减小．

9.（2016厦门15题4分）已知点P（m，n）在抛物线y＝ax2－x－a上，当m≥－1时，总有n≤1成立，则a的取值范围是__________．

10.（2013泉州22题9分）已知抛物线y＝a（x－3）2＋2经过点（1，－2）．

（1）求a的值；

（2）若点A（m，y1），B（n，y2）（m<

n<

3）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．

类型四　二次函数图象与系数a，b，c的关系

11.（2013漳州10题4分）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（　　）

第11题图

A.a＜0

B.b2－4ac<

C.当－1＜x＜3时，y＞0

D.－＝1

命题点2　二次函数解析式的确定

12.（2016南平14题4分）写出一个y关于x的二次函数的解析式，且它的图象的顶点在y轴上：

____________．

命题点3　二次函数图象的变换

13.（2015龙岩15题3分）抛物线y＝2x2－4x＋3绕坐标原点旋转180°

所得的抛物线的解析式是_________________________．

14.（2016厦门27题12分）已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线y＝－4x＋m相交于第一象限不同的两点，A（5，n），B（e,f）．

（1）若点B的坐标为（3，9），求此抛物线的解析式；

（2）将此抛物线平移．设平移后的抛物线为y＝－x2＋px＋q，过点A与点（1，2），且m－q＝25.在平移过程中，若抛物线y＝－x2＋bx＋c向下平移了s（s>

0）个单位长度，求s的取值范围．

命题点4　二次函数性质综合题

15.（2014泉州22题9分）如图，已知二次函数y＝a（x－h）2＋的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．

（1）写出该函数图象的对称轴；

（2）若将线段OA绕着点O逆时针旋转60°

到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？

第15题图

16.（2015三明22题10分）已知二次函数y＝－x2＋2x＋m.

（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；

第16题图

（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．

17.（2015厦门26题11分）已知点A（－2，n）在抛物线y＝x2＋bx＋c上．

（1）若b＝1，c＝3，求n的值；

（2）若此抛物线经过点B（4，n），且二次函数y＝x2＋bx＋c的最小值是－4，请画出点P（x－1，x2＋bx＋c）的纵坐标随横坐标变化的图象，并说明理由．

18.（2016福州27题13分）已知，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）经过原点，顶点为A（h，k）（h≠0）．

（1）当h＝1，k＝2时，求抛物线的解析式；

（2）若抛物线y＝tx2（t≠0）也经过A点，求a与t之间的关系式；

（3）当点A在抛物线y＝x2－x上，且－2≤h＜1时，求a的取值范围．

答案

1.C　【解析】由A（－1，m），B（1，m）可知A，B两点关于y轴对称，排除A、B选项；

由B（1，m），C（2，m＋1）可知，当x＞0时，y随x增大而增大，D选项错误．故选C.

2.C　【解析】

选项

逐项分析

正误

A

由一次函数图象知b＞0，a＞0，由二次函数图象知a＞0，b＜0，矛盾

×

B

由一次函数图象知b＜0，a＜0，由二次函数图象知a＞0，b＞0，矛盾

C

由一次函数图象知b＞0，a＜0，由二次函数图象知a＜0，b＞0，正确

√

D

由一次函数图象知b＞0，a＞0，由二次函数图象知a＜0，b＜0，矛盾

3.B　【解析】根据题意作图如解图所示，设点M（m，0），点P（m，n），∵P是AM的垂直平分线上的点，连接PA，∴PA＝PM，则PA2＝PM2，即m2＋（n－2）2＝n2，整理得，n＝m2＋1，这说明P点的纵坐标关于其横坐标成二次函数关系，其图象为抛物线．故选B.

第3题解图

4.2，－7　【解析】将函数解析式化为顶点式，即y＝x2－4x－3＝（x－2）2－7，所以顶点坐标为（2，－7），或直接利用顶点坐标公式求解．

5.D　【解析】∵抛物线y＝－x2＋2bx＋c的对称轴为直线x＝－＝b，而a＝－1＜0，∴当x＞b时，y随x的增大而减小，∵当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴b≤1.故选D.

6.D　【解析】函数图象经过点（1，－4），（2，－2），∵1<

2，－4<

－2，∴y随x的增大而增大．又由题干“在自变量x的某个取值范围内，都有函数值y随x的增大而减小”可知，函数图象在x取值范围内的增减性不一致，既有递增的部分，又有递减的部分，∴只有二次函数满足题意．故选D.

【一题多解】可利用排除法解决问题：

正比例函数不可能经过这两点，A错误；

一次函数、反比例函数若经过（1，－4），（2，－2）两点，那么这些函数的函数值y随x的增大而增大，B、C错误．故选D.

7.B　【解析】①y＝x，正比例函数，k＝1＞0，y随着x的增大而增大，正确；

②y＝－2x＋1，一次函数，k＝－2＜0，y随x的增大而减小，错误；

③y＝－，反比例函数，k＝－1＜0，当x＜0时，函数值y随x的增大而增大，正确；

④y＝3x2，二次函数，a＝3＞0，开口向上，对称轴为x＝0，故当x＜0时，图象在对称轴左侧，y随着x的增大而减小，错误.故选B.

【考向拓展】y3＞y2＞y1　【解析】把A（4，y1），B（，y2），C（－2，y3）分别代入y＝（x－3）2－2得：

y1＝（4－3）2－2＝－1，y2＝（－3）2－2＝9－6，y3＝（－2－3）2－2＝23，∵23＞9－6＞－1，∴y3＞y2＞y1.

8.≤2　【解析】∵a＝1＞0，∴在对称轴的左侧，函数值y随x的增大而减小，∵抛物线的对称轴为直线x＝2，∴当x≤2时，y随x的增大而减小．

9.－≤a<

0　【解析】由抛物线y＝ax2－x－a易得其顶点坐标是（，），∵当m≥－1时，总有n≤1成立，则抛物线开口向下，即必须a<

0才能符合题意，分两种情况讨论：

（1）当≤－1，即－≤a<

0时，将m＝－1代入抛物线得a＋1－a≤1恒成立，故此时－≤a<

0；

（2）当>

－1，即a＜－时，≤1，此时无解．故a的取值范围为－≤a<

0.

10.解：

（1）∵抛物线y＝a（x－3）2＋2经过点（1，－2），

∴a（1－3）2＋2＝－2，

∴a＝－1；

（4分）

（2）由

（1）得a＝－1＜0，抛物线的开口向下，

∴在对称轴x＝3的左侧，y随x的增大而增大，

∵m＜n＜3，

∴y1＜y2.（9分）

11.D　【解析】∵抛物线的开口向上，∴a＞0，故选项A错误；

∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴b2－4ac＞0，故选项B错误；

由函数图象可知，当－1＜x＜3时，y＜0，故选项C错误；

∵抛物线与x轴的两个交点分别是（－1，0），（3，0），∴对称轴为直线x＝＝1.故选D.

12.y＝2x2（只要y＝ax2＋bx＋c中a≠0，b＝0即可）

13.y＝－2x2－4x－3　【解析】将y＝2x2－4x＋3化为顶点式，即y＝2（x－1）2＋1，顶点为（1，1）．抛物线y＝2x2－4x＋3绕坐标原点旋转180°

后其形状不变，开口方向向下，顶点坐标是（－1，－1），所得的抛物线的解析式是y＝－2（x＋1）2－1，化为一般式为y＝－2x2－4x－3.

14.解：

（1）∵直线y＝－4x＋m过点B（3，9），

∴9＝－4×

3＋m，解得m＝21，

∴直线的解析式为y＝－4x＋21，

又∵直线y＝－4x＋21过点A（5，n），

∴n＝－4×

5＋21，解得n＝1，

∴A（5，1），

∵点A，B在抛物线上，

∴把A（5，1），B（3，9）

代入y＝－x2＋bx＋c中，

得，解得，

∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x＋6；

（2）∵抛物线y＝－x2＋px＋q与直线y＝－4x＋m都经过点A（5，n），

∴－25＋5p＋q＝n，－20＋m＝n，

又∵抛物线y＝－x2＋px＋q经过点（1，2），

∴－1＋p＋q＝2，

整理可得：

5p＋q－n＝25，　①

m－n＝20,②

p＋q＝3,③

m－q＝25,④

②－④得，q－n＝－5,⑤

把⑤代入①得，5p－5＝25，解得p＝6，依次解得：

q＝－3，n＝2，m＝22，

∴A（5，2），

直线的解析式为y＝－4x＋22，

平移后的抛物线解析式为y＝－x2＋6x－3.

∵抛物线在平移过程中，抛物线的a不变，

∴抛物线的解析式为y＝－x2＋bx＋c，

∵抛物线与直线有两个交点，如解图所示，平移前后的两条抛物线分别是过直线与y轴的交点B（0，22）的抛物线和抛物线在A点处与直线相切时（只有一个交点）的抛物线，

第14题解图

∴抛物线与已知直线的另一交点介于AB之间，（6分）

①当抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A（5，2），B（0，22）时，

则，解得，

∴此时抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋22，

∴抛物线顶点坐标为E（，）；

（9分）

②当抛物线y＝－x2＋bx＋c在点A处与直线相切时，

由，

整理得x2－（b＋4）x＋（22－c）＝0，

∴判别式（b＋4）2－4（22－c）＝0，

又∵抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A（5，2），

∴－25＋5b＋c＝2，即c＝27－5b，

把c＝27－5b代入判别式，整理得

（b－6）2＝0，解得b＝6，

∴c＝27－5b＝－3，

∴此时抛物线的解析式为y＝－x2＋6x－3，

∴抛物线顶点坐标为F（3，6）．

∵－6＝，

∴0<

s<

.（12分）

15.解：

（1）∵二次函数图象经过原点O（0，0），A（2，0），

∴该函数图象的对称轴为直线x＝1；

（2）由

（1）知y＝a（x－h）2＋的对称轴为直线x＝1，

∴二次函数的顶点坐标为（1，），

由图形旋转的性质得：

OA′＝OA＝2，

∠A′OA＝60°

.

如解图，过点A′作A′B⊥x轴于点B，

第15题解图

∴OB＝OA′·

cos60°

＝2×

＝1，

A′B＝OA′·

sin60°

＝，

∴点A′（1，）为该函数图象的顶点．（9分）

16.解：

（1）∵抛物线y＝－x2＋2x＋m与x轴有两个交点，

则22－4×

（－1）×

m＝4＋4m>

0，（3分）

解得m＞－1；

（5分）

（2）∵点A（3，0）在抛物线上，

∴－9＋6＋m＝0，

解得m＝3，（6分）

∴二次函数的解析式为y＝－x2＋2x＋3，

∴点B的坐标为（0，3），

设直线AB的解析式为y＝kx＋b（k≠0），

将点A（3，0），B（0，3）代入得，解得，

∴直线AB的解析式为y＝－x＋3，（8分）

又∵抛物线的对称轴为直线x＝－＝1，（9分）

∴点P的坐标为（1，2）．（10分）

17.解：

（1）当b＝1，c＝3时，抛物线解析式为y＝x2＋x＋3，（2分）

将点A（－2，n）代入，得n＝（－2）2＋（－2）＋3＝5；

（2）∵点A（－2，n），点B（4，n）在抛物线上，

∴抛物线的对称轴为直线x＝＝1，

又∵抛物线的最小值为－4，

∴抛物线的顶点坐标为（1，－4），

∴－4＝1＋b＋c，

∵－＝1，

∴b＝－2a＝－2，

∴c＝－3，

∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3，

∵点P（x－1，x2－2x－3），

∴将点（x，x2－2x－3）向左平移一个单位得点P（x－1，x2－2x－3），

∴将点（x，x2－2x－3）的纵坐标随横坐标变化的图象向左平移一个单位后可得点P（x－1，x2－2x－3）的纵坐标随横坐标变化的图象，（8分）

设p＝x－1，q＝x2－2x－3，

则q＝p2－4，

其图象如解图所示．（11分）

第17题解图

18.解：

根据题意，设抛物线的解析式为y＝a（x－h）2＋k（a≠0）．

（1）∵h＝1，k＝2，

∴y＝a（x－1）2＋2，（1分）

∵抛物线经过原点，

∴a＋2＝0，

解得a＝－2，（2分）

∴抛物线的解析式为y＝－2（x－1）2＋2，

即y＝－2x2＋4x；

（3分）

（2）∵抛物线y＝tx2（t≠0）经过点A（h，k），

∴k＝th2，

∴y＝a（x－h）2＋th2，（5分）

∴ah2＋th2＝0，（7分）

∵h≠0，

∴a＝－t；

（3）∵点A（h，k）在抛物线y＝x2－x上，

∴k＝h2－h，

∴y＝a（x－h）2＋h2－h，

∴ah2＋h2－h＝0，

∴a＝－1.（11分）

分两种情况讨论：

①当－2≤h<

0时，由反比例函数性质可知≤－，

∴a≤－；

（12分）

②当0<

h<

1时，由反比例函数性质可知>

1，

∴a>

综上所述，a的取值范围是a≤－或a>

0.（13分）