北京市丰台区高三一模试题数学理含答案.docx
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北京市丰台区高三一模试题数学理含答案
丰台区2015学年度第二学期统一练习
（一）2015.3
高三数学（理科）
第一部分（选择题共40分）
选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．在复平面内，复数
对应的点的坐标为
（A）
（B）
（C）
（D）
2．在等比数列
中，
，
，则公比
等于
（A）-2
（B）1或-2
（C）1
（D）1或2
3．已知双曲线
的一条渐近线方程是
，它的一个焦点坐标为（2,0），则双曲线的方程为
（A）
（B）
（C）
（D）
4．当n=5时，执行如图所示的程序框图，输出的S值是
（A）7
（B）10
（C）11
（D）16
5．在极坐标系中，曲线
与极轴交于A，B两点，则A，B两点间的距离等于
（A）
（B）
（C）
（D）4
6．上图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是
（A）4
（B）5
（C）
（D）
7．将函数
图象向左平移
个长度单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是
（A）
（B）
（C）
（D）
8．如图所示，在平面直角坐标系
中，点
，
分别在
轴和
轴非负半轴上，点
在第一象限，且
，
，那么
，
两点间距离的
（A）最大值是
，最小值是
（B）最大值是
，最小值是
（C）最大值是
，最小值是
（D）最大值是
，最小值是
第二部分（非选择题共110分）
一、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．定积分
____．
10．已知二项式
的展开式中各项二项式系数和是16，则n=____，展开式中的常数项是____．
11．若变量x，y满足约束条件
则
的最大值是____．
12．已知函数
是定义在R上的偶函数，当x≥0时，
，
如果函数
（m∈R）恰有4个零点，则m的取值范围
是____．
13．如图，AB是圆O的直径，CD与圆O相切于点D，AB=8，BC=1，则
CD=____；AD=____．
14．已知平面上的点集
及点
，在集合
内任取一点
，线段
长度的最小值称为点
到集合
的距离，记作
．如果集合
，点
的坐标为
，那么
____；如果点集
所表示的图形是边长为2的正三角形及其内部，那么点集
所表示的图形的面积为____．
二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15.（本小题共13分）
已知函数
的最小正周期为
．
（Ⅰ）求
的值及函数
的最大值和最小值；
（Ⅱ）求函数
的单调递增区间．
16.（本小题共13分）
甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召，决定各购置一辆纯电动汽车．经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车，按续驶里程数R（单位：
公里）可分为三类车型，A：
80≤R＜150，B：
150≤R＜250，C：
R≥250．甲从A，B，C三类车型中挑选，乙从B，C两类车型中挑选，甲、乙二人选择各类车型的概率如下表：
若甲、乙都选C类车型的概率为
.
（Ⅰ）求
，
的值；
（Ⅱ）求甲、乙选择不同车型的概率；
（Ⅲ）某市对购买纯电动汽车进行补贴，补贴标准如下表：
车型
A
B
C
补贴金额（万元/辆）
3
4
5
记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和为X，求X的分布列．
17.（本小题共14分）
在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，
平面
，
//
，AB=PA=4，BE=2．
（Ⅰ）求证：
//平面
；
（Ⅱ）求PD与平面PCE所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱
上是否存在一点
，使得
平面
平面
？
如果存在，求
的值；
如果不存在，说明理由．
18.（本小题共13分）
设函数
，
．
（Ⅰ）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：
；
（Ⅲ）当
时，求函数
在
上的最大值．
19.（本小题共14分）
已知椭圆
：
的离心率为
，右顶点
是抛物线
的焦点．直线
：
与椭圆
相交于
，
两点．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）如果
，点
关于直线
的对称点
在
轴上，求
的值．
20.（本小题共13分）
如果数列
：
，
，…，
，且
，满足：
①
，
；②
，那么称数列
为“Ω”数列．
（Ⅰ）已知数列
：
-2，1，3，-1；数列
：
0，1，0，-1，1．试判断数列
，
是否为“Ω”数列；
（Ⅱ）是否存在一个等差数列是“Ω”数列？
请证明你的结论；
（Ⅲ）如果数列
是“Ω”数列，求证：
数列
中必定存在若干项之和为0．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
丰台区2015年高三年级第二学期数学统一练习
（一）
数学（理科）参考答案
选择题：
本大题共8小题，每小题5分，共40分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
C
C
B
D
C
A
一、填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．
10．4，2411．6
12．
13．3，
14．1，
注：
第10，13，14题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．
二、解答题：
15.（本小题共13分）
解：
（Ⅰ）
．
因为
，
，所以
．
因为
，
，
所以
．
所以函数
的最大值为1，最小值为-1．……………………8分
（Ⅱ）令
，
得
，
所以
．
所以函数
的单调递增区间为
，
．……………………13分
16.（本小题共13分）
解：
（Ⅰ）因为
所以
，
．……………………4分
（Ⅱ）设“甲、乙选择不同车型”为事件A，
则
．
答：
所以甲、乙选择不同车型的概率是
．……………………7分
（Ⅲ）X可能取值为7，8，9，10．
，
，
；
．
所以X的分布列为：
X
7
8
9
10
P
……………………13分
17.（本小题共14分）
解：
（Ⅰ）设
中点为G，连结
，
．
因为
//
，且
，
，
所以
//
且
，
所以四边形
为平行四边形．
所以
//
，且
．
因为正方形
，所以
//
，
，
所以
//
，且
．
所以四边形
为平行四边形．
所以
//
．
因为
平面
，
平面
，
所以
//平面
． ……………………4分
（Ⅱ）如图建立空间坐标系，则
，
，
，
，
，
所以
，
，
．
设平面
的一个法向量为
，
所以
．
令
，则
，所以
．
设
与平面
所成角为
，
则
．
所以
与平面
所成角的正弦值是
．……………………9分
（Ⅲ）依题意，可设
，则
，
．
设平面
的一个法向量为
，
则
．
令
，则
，
所以
．
因为平面
平面
，
所以
，即
，
所以
，点
．
所以
．……………………14分
18.（本小题共13分）
解：
（Ⅰ）当
时，
，
，
所以
．
因为
，即切线的斜率为
，
所以切线方程为
，即
．……………………4分
（Ⅱ）证明：
由（Ⅰ）知
．
令
，则
．
当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
所以当
时，函数最小值是
．
命题得证．……………………8分
（Ⅲ）因为
，所以
．
令
，则
．
当
时，设
，因为
，
所以
在
上单调递增，且
，
所以
在
恒成立，即
．
所以当
，
，
在
上单调递减；
当
，
，
在
上单调递增．
所以
在
上的最大值等于
，
因为
，
，
不妨设
（
），
所以
．
由（Ⅱ）知
在
恒成立，
所以
在
上单调递增．
又因为
，
所以
在
恒成立，即
．
所以当
时，
在
上的最大值为
．……………………13分
19.（本小题共14分）
解：
（Ⅰ）抛物线
，
所以焦点坐标为
，即
，
所以
．
又因为
，所以
．
所以
，
所以椭圆
的方程为
．……………………4分
（Ⅱ）设
，
，因为
，
，
所以
，
，
所以
，
所以
．
由
，得
（判别式
），
得
，
，
即
．
设
，则
中点坐标为
，
因为
，
关于直线
对称，
所以
的中点在直线
上，
所以
，解得
，即
．
由于
，
关于直线
对称，所以
，
所在直线与直线
垂直，
所以
，解得
．……………………14分
20.（本小题共13分）
解：
（Ⅰ）数列
不是“Ω”数列；数列
是“Ω”数列．……………………2分
（Ⅱ）不存在一个等差数列是“Ω”数列．
证明：
假设存在等差数列是“Ω”数列，
则由
得
，与
矛盾，
所以假设不成立，即不存在等差数列为“Ω”数列．……………………7分
（Ⅲ）将数列
按以下方法重新排列：
设
为重新排列后所得数列的前n项和（
且
），
任取大于0的一项作为第一项，则满足
，
假设当
时，
若
，则任取大于0的一项作为第n项，可以保证
，
若
，则剩下的项必有0或与
异号的一项，否则总和不是1，
所以取0或与
异号的一项作为第n项，可以保证
．
如果按上述排列后存在
成立，那么命题得证；
否则
，
，…，
这m个整数只能取值区间
内的非0整数，
因为区间
内的非0整数至多m-1个，所以必存在
，
那么从第
项到第
项之和为
，命题得证．
综上所述，数列
中必存在若干项之和为0．……………………13分
（若用其他方法解题，请酌情给分）
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