5.2中心极限定理.ppt

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（Centrallimittheoem）什么是中心极限定理？

什么是中心极限定理？

阐述大量的阐述大量的相互独立的随机变量的线性相互独立的随机变量的线性组合在一定条件下组合在一定条件下近似服从正态分布近似服从正态分布的的一系列定理称为一系列定理称为中心极限定理中心极限定理20个个0-1分布的和的分布分布的和的分布X近似服从正态分布近似服从正态分布01020独立同分布独立同分布对于任意正整数对于任意正整数n，随机变量，随机变量Yn可表示为可表示为Yn=X1X2XnXiB（1,p），相互独立，相互独立，并且并且E（Xi）=p,D（Xi）=p（1p）棣莫佛棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理设随机变量序列设随机变量序列Yn，YnB（n,p），n=1,2，对于任意的实数对于任意的实数x，有，有掷掷一一颗骰子，出现点数颗骰子，出现点数X的分布律为：

的分布律为：

X123456PxxP6543210.050.10.150.2中心极限定理的客观背景中心极限定理的客观背景掷掷两两颗骰子，出现点数和颗骰子，出现点数和X=X1+X2的的分布律为：

分布律为：

X23456789101112PxxP0.050.10.150.212111098765432掷掷三三颗骰子，出现点数和颗骰子，出现点数和X=X1+X2+X3的分布律为：

的分布律为：

X345678910PX1112131415161718Pxx0.140.120.100.080.060.040.020033445566778899101011111212131314141515161617171818掷掷三三颗骰子，出现点数和颗骰子，出现点数和X=X1+X2+X3的分布律为：

的分布律为：

X近似服从正态分布近似服从正态分布X1f（x）X1+X2g（x）X=X1+X2+X3h（x）0123xfghX近似服从正态分布近似服从正态分布3个个（0,1）上均匀分布的和的分布上均匀分布的和的分布独立同分布独立同分布独立同分布独立同分布设随机变量设随机变量Xk，k=1,2,相互独立相互独立，且，且同分布同分布，有有限数学期望有有限数学期望E（Xk）=和方差和方差D（Xk）=.若随机变量序列若随机变量序列独立同分布中心极限定理独立同分布中心极限定理标准化标准化中心极限定理的意义与作用中心极限定理的意义与作用中心极限定理是概率论中最著名的结果中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的经验而且有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实这一值得注意的事实.定理的应用定理的应用对于独立的随机变量序列对于独立的随机变量序列，不管，不管服从什么分布，服从什么分布，只要它们只要它们是同分布，且有有限的数学期望是同分布，且有有限的数学期望E（Xi）=和方差和方差D（Xi）=，那么，当那么，当n充分大时，充分大时，近似计算公式近似计算公式若若XB（n,p），对于足够大的对于足够大的n，有，有特别地：

特别地：

讲讲练练讲讲练练例例1.1.一食品厂有三种蛋糕出售，由于售出哪一一食品厂有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取个随机变量，它取1,1.2,1.5（元）各个值的概（元）各个值的概率分布是率分布是0.3,0.2,0.5.每天售出每天售出300只蛋糕，求只蛋糕，求这天的收入至少这天的收入至少400元的概率。

元的概率。

解：

解：

用用Y表示表示这天的这天的收入收入，Xi为售出为售出第第i只蛋糕的只蛋糕的价格价格，则，则Xi11.21.5Pi0.30.20.5Xi11.21.5Pi0.30.20.5由独立同分布中心极限定理，由独立同分布中心极限定理，这天的收入至少这天的收入至少400400元的概率为：

元的概率为：

1.设射击命中率为设射击命中率为0.1，连续独立射击，连续独立射击100次，次，X表示命中的次数表示命中的次数，则用中心极限定理估算，则用中心极限定理估算解：

解：

解：

解：

设设设设XXkk表示第表示第表示第表示第kk次命中的次数，则次命中的次数，则次命中的次数，则次命中的次数，则，则由中心极限定理：

则由中心极限定理：

例例2.设某学校有设某学校有设某学校有设某学校有10001000名住校生，每人每天都以名住校生，每人每天都以名住校生，每人每天都以名住校生，每人每天都以80%80%的的的的概率去图书馆上自习，问图书馆至少设多少个座位，概率去图书馆上自习，问图书馆至少设多少个座位，概率去图书馆上自习，问图书馆至少设多少个座位，概率去图书馆上自习，问图书馆至少设多少个座位，才能以才能以才能以才能以99%99%的概率保证去上自习的同学都有座位？

的概率保证去上自习的同学都有座位？

的概率保证去上自习的同学都有座位？

的概率保证去上自习的同学都有座位？

解：

解：

设每天去图书馆上自习的同学有设每天去图书馆上自习的同学有X又设图书馆至少设又设图书馆至少设nn个座位才能以个座位才能以99%99%的概率保证去的概率保证去上自习的同学都有座位。

上自习的同学都有座位。

由棣莫夫由棣莫夫拉普拉斯中心极限定理，有拉普拉斯中心极限定理，有2.某工厂有某工厂有100台车床彼此独立地工作着，台车床彼此独立地工作着，每台车床的实际工作时间占全部工作时间每台车床的实际工作时间占全部工作时间的的80%。

利用中心极限定理计算任意时刻利用中心极限定理计算任意时刻有有70至至86台车床在工作的概率。

台车床在工作的概率。

解解:

设任意时刻有设任意时刻有设任意时刻有设任意时刻有XX台车床在工作台车床在工作台车床在工作台车床在工作设某种电器元件的寿命服从设某种电器元件的寿命服从均值为均值为100100小时的小时的指数分布指数分布，现随机地抽取，现随机地抽取1616只只，设它们的寿，设它们的寿命是相互独立的，求这命是相互独立的，求这1616只元件的只元件的寿命的总和寿命的总和大于大于19201920小时的概率。

小时的概率。

解：

解：

设各电器元件的寿命为设各电器元件的寿命为X1,X2,X16近似近似例例3.则则1616只元件的寿命的总和只元件的寿命的总和大于大于19201920小时的小时的概率为概率为3.在次品率为在次品率为的一大批残品中，任意的一大批残品中，任意抽取抽取360件产品，利用中心极限定理计件产品，利用中心极限定理计算抽取的产品中次品件数在算抽取的产品中次品件数在50与与70之之间的概率间的概率解：

解：

解：

解：

设抽取的产品中次品件数为设抽取的产品中次品件数为设抽取的产品中次品件数为设抽取的产品中次品件数为X1二项分布二项分布（精确结果）精确结果）2中心极限定理中心极限定理3泊松分布泊松分布4切比雪夫不等式切比雪夫不等式的几个近似值的几个近似值比较比较