数学建模之下料问题Word文档格式.docx

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7、每一根钢管的费用都一样，为一常值。

三、符号说明

符号

意义

表示按照第

种切割模式（

）切割的原料钢管的根数

第

种切割模式下每根原料钢管生产290mm钢管的数量

种切割模式下每根原料钢管生产315mm钢管的数量

种切割模式下每根原料钢管生产350mm钢管的数量

种切割模式下每根原料钢管生产455mm钢管的数量

生产钢管过程所需要增加的总费用

N

所需钢管的总根数

四、问题分析和模型的建立与求解

4.1、问题分析和模型的建立与求解

4.1.1问题的分析

结合题意，首先我们要确定应该选取哪些切割模式，生产15根290mm、28根315mm、21根350mm和30根455mm的钢管，每一种切割模式都要符合客户的需求在原料钢管上安排切割的一种组合，而且必须满足一根原料刚管只能生产5根钢管。

例如，我们可以将1850mm的钢管切割成5根长350mm的钢管，余料为100mm；

或者将长1850mm的钢管切割成长315mm、355mm和455mm的钢管2根、2根、1根，余料为65mm。

显然，可行的切割模式是很多的。

于是问题化为在满足客户需要的条件下，按照哪几种合理的模式进行切割，每种模式切割多少根原料钢管最为节省。

而由于需求的钢管规格为4种，所以枚举法的工作量较大。

可以用xi表示按照第i种模式（i=1,2,3，4）切割的原料钢管的根数。

又设使用第i种切割模式下每根原料钢管生产长290mm、315mm、355mm和455mm的钢管数量分别为r1i，r2i，r3i，r4i。

而所谓节省，这里有两种标准，一种切割后剩余的总余料量最小，二是切割原料钢管的总根数最少。

4.1.2模型的建立

根据情况，我们忽略每根钢管的成本价，直接计算增加的总费用，即：

minP=0.1x1+0.2x2+0.3x3+0.4x4

总根数最少：

minN=x1+x2+x3+x4

假设条件x1>

=x2>

=x3>

=x4（4-1）

满足客户需求的约束条件为:

r11x1+r12x2+r13x3+r14x4≥15（4-2）

r21x1+r22x2+r23x3+r24x4≥28（4-3）

r31x1+r32x2+r33x3+r34x4≥21（4-4）

r41x1+r42x2+r43x3+r44x4≥30（4-5）

每一种切割模式必须可行、合理，所以每根原料钢管的成品量不能超过1850mm，也不能少于1750mm（余料不能大于100mm），于是

1750≤15r11+28r21+21r31+30r41≤1850（4-6）

1750≤15r12+28r22+21r32+30r42≤1850（4-7）

1750≤15r13+28r23+21r33+30r43≤1850（4-8）

1750≤15r14+28r24+21r34+30r44≤1850（4-9）

最后，加上非负整数约束：

xi，rji∈Z+，i=1,2,3,4j=1,2,3,4（4-10）

于是，问题归结为在在约束条件（4-2）～（4-10）下，求xi和r1i，r2i，r3i，r4i（i=1,2,3）使目标（4-1）达到最小。

显然这是线性整数规划模型。

4.1.3模型的求解

非线性整数规划模型（4-1）～（4-9）虽然用LINGO软件可以直接求解，但为了减少运行时间，可以增加一些显然的约束条件，从而缩小可行解的搜索范围。

例如，由于4种切割模式的排列顺序是无关要紧的，所以不妨增加以下约束：

x1≥x2≥x3≥x4（4-11）

又如，注意到所需原料钢管的总根数有明显的上界和下界。

首先，原料钢管的根数不可能少于

（4-12）

（根）。

其次，考虑一种非常特殊的生产计划：

第一种切割模式下只生产290mm钢管，一根原料钢管切割成6根290mm钢管，为满足15根290mm钢管的需求，需要3根原料钢管；

第二种切割模式下只生产315mm钢管，一根原料钢管切割成5根315mm钢管为满足28根315mm的需求，需要6根原料钢管；

第三种切割模式下只生产350mm钢管，一根原料钢管切割成5根350mm钢管，为满足21根350mm钢管的需求，需要5根原料钢管；

第四种切割模式下只生产455mm钢管，一根原料钢管切割成4根455mm钢管，为满足30根455mm钢管的需求，需要8根原料钢管。

于是满足要求的这种生产计划共需要3+6+5+8=22根原料钢管，这就得到了最优解的一个上界，所以可增加以下约束：

19≤x1+x2+x3+x4≤22（4-13）

将式（4-1）～（4-13）构成的模型输入LINGO如下：

model:

min=0.1*x1+0.2*x2+0.3*x3+0.4*x4;

r11*x1+r12*x2+r13*x3+r14*x4>

=15;

r21*x1+r22*x2+r23*x3+r24*x4>

=28;

r31*x1+r32*x2+r33*x3+r34*x4>

=21;

r41*x1+r42*x2+r43*x3+r44*x4>

=30;

290*r11+315*r21+350*r31+455*r41<

=1850;

290*r12+315*r22+350*r32+455*r42<

290*r13+315*r23+350*r33+455*r43<

290*r14+315*r24+350*r34+455*r44<

290*r11+315*r21+350*r31+455*r41>

=1750;

290*r12+315*r22+350*r32+455*r42>

290*r13+315*r23+350*r33+455*r43>

290*r14+315*r24+350*r34+455*r44>

x1+x2+x3+x4>

=19;

x1+x2+x3+x4<

=22;

x1>

=x2;

x2>

=x3;

x3>

=x4;

@gin（x1）；

@gin（x2）；

@gin（x3）；

@gin（x4）;

@gin（r11）；

@gin（r12）；

@gin（r13）；

@gin（r14）;

@gin（r21）；

@gin（r22）；

@gin（r23）；

@gin（r24）;

@gin（r31）；

@gin（r32）；

@gin（r33）；

@gin（r34）;

@gin（r41）；

@gin（r42）；

@gin（r43）；

@gin（r44）;

End

当花费P最少时，得到结果为:

总共需要19根原料钢管。

分别为:

模式一：

一根原料可以切割成315mm钢管2根，350mm钢管2根，455mm钢管1根，总共8根。

模式二：

一根原料可以切割成290mm钢管1根，315mm钢管2根，455mm钢管2根总共6根。

模式三：

一根原料可以切割成290mm钢管2根，350mm钢管1根，455mm钢管2根，总共5根。

当总根数最少时，得到结果为:

分别为：

一根原料可以切割成290mm钢管1根，315mm钢管2根，455mm钢管2根，总共7根。

一根原料可以切割成315mm钢管1根，350mm钢管3根，455mm钢管1根总共5根。

模式三：

一根原料可以切割成290mm钢管2根，315mm钢管1根，455mm钢管2根，总共4根。

模式四：

一根原料可以切割成315mm钢管2根，350mm钢管2根，455mm钢管1根，总共3根。

综合两种情况，当两个目标函数取最小值时，所需的总根数都为19。

如果选择总根数最小为目标函数，则切割模式增加一种，那么切割费用有所增加。

为此选择切割费用最小为目标函数，这样既满足了总根数最小有满足了切割费用最小。

五、评价与改进

在本文中，对于如何下料是根据客户的需要建立了两个目标函数，通过求解模型发现，总根数最小为目标函数及切割费用最小为目标函数都取最小值时，所需原料都一样。

那么本文的优点就是通过结果比较，再结合客户需求选取切割费用最少为目标函数。

此时的切割模式达到最少，这样既满足了总根数最小有满足了切割费用最小。

六、参考文献

【1】姜启源等，《数学模型》（第三版），高等教育出版社，2003

七、附录

7.1附录正文

附录一：

Lingo求解代码：

min=x1+x2+x3+x4;

290*r11+315*r21+350*r31+455*r41<

@gin（x1）;

@gin（x2）;

@gin（x3）;

@gin（r11）;

@gin（r12）;

@gin（r13）;

@gin（r21）;

@gin（r22）;

@gin（r23）;

@gin（r31）;

@gin（r32）;

@gin（r33）;

@gin（r41）;

@gin（r42）;

@gin（r43）;

附录二：

Localoptimalsolutionfoundatiteration:

43721

Objectivevalue:

19.00000

VariableValueReducedCost

X18.0000000.000000

X26.0000000.000000

X35.0000000.000000

X40.0000000.000000

R110.0000000.000000

R121.0000000.000000

R132.0000000.000000

R140.0000000.000000

R212.0000000.000000

R222.0000000.000000

R230.0000000.000000

R240.0000000.000000

R312.0000000.000000

R320.0000000.000000

R331.0000000.000000

R340.0000000.000000

R411.0000000.000000

R422.0000000.000000

R432.0000000.000000

R444.0000000.000000

RowSlackorSurplusDualPrice

119.00000-1.000000

21.0000000.000000

30.0000000.000000

40.0000000.000000

50.0000000.000000

665.000000.000000

720.000000.000000

810.000000.000000

930.000000.000000

1035.000000.000000

1180.000000.000000

1290.000000.000000

1370.000000.000000

140.000000-1.000000

153.0000000.000000

162.0000000.000000

171.0000000.000000

185.0000000.000000

附录三：

12509

X17.0000000.000000

X25.0000000.000000

X34.0000000.000000

X43.0000000.000000

R111.0000000.000000

R120.0000000.000000

R221.0000000.000000

R231.0000000.000000

R242.0000000.000000

R310.0000000.000000

R323.0000000.000000

R330.0000000.000000

R342.0000000.000000

R412.0000000.000000

R421.0000000.000000

R441.0000000.000000

20.0000000.000000

31.0000000.000000

4-0.4975089E-070.000000

620.000000.000000

730.000000.000000

845.000000.000000

965.000000.000000

1080.000000.000000

1170.000000.000000

1255.000000.000000

1335.000000.000000

181.0000000.000000