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（4）n元集合的m元子集：
若集合A含有n个元素，则称其为n元集合。
他的每个子集含有m个元素，称为他的m元子集，这里，m=0，1，2，……，n。
一个n元集合共有2n个子集。
于是，有下面的幂集定义:
（5）幂集：
设A为集合，将A的所有子集构成的集合叫A的幂集，记做P（A）。
例1-1A={1，2，3}为一个三元集合，他可以有如下几种子集合
0元子集，即空集合：
Ø
；
1元子集：
{1}，{2}，{3}；
2元子集：
{1，2}，{1，3}，{2，3}；
3元子集：
{1，2，3}。
例1-2幂集计算
（a）A=Ø
，则
P（A）={Ø
}；
（b）B={Ø
}，则
P（B）={Ø
，{Ø
}}；
（c）C={1,2,3},则
P（C）={所有子集}.
（6）空集：
不含任何元素的集合叫空集，记做Ø
。
也即某集合的0元子集，已如上两例。
再如：
集合B={x│x∈R且x2+1=0}。
因为方程x2+1=0的解为-1的两个平方根，所以无实数解，即集合B为空集，即B=Ø
按我们上述定义，空集是0元集合，是任何集合的0元子集。
所以说，
空集是一切集合的子集。
要点B）*****集合与集合之间的关系*****
1）集合与集合间的包含关系。
若集合A是集合B的子集，这时称A与B的关系为A
B或B
A，记做A
B。
按定义，显然有A
A和B
B等。
2）若集合A是集合B的真子集，记做A
显然有N
Z，Z
Q，Q
R，R
C。
3）某集合作为另一集合的元素，则集合与集合也具有隶属关系。
设:
A={{a}，b，c}，则有{a}∈A这种隶属关系，虽然{a}是集合。
又,集合A的幂集P（A）中的每个元素都隶属于P（A），而每个元素又都是集合。
4）全集。
一个具体问题的研究中，所涉及的集合都是某集合的子集，则称该集合为全集，记做E或U。
例如，北大应用文理学院计算机系二年级学生都修离散数学课。
这里，我们用A，B，C分别表示计算机系学生，学院二年级学生，修离散数学学生集合，则全集E自然应是应用文理学院。
显然，全集具有相对性。
就是说，不同的问题有不同的全集。
空集定理：
空集是唯一的。
采用反证法：
假设存在两个空集Ø
1和Ø
2，因为空集是任何集合的子集，必有Ø
1
2和Ø
2
Ø
1；
又根据集合相等的定义有Ø
1=Ø
2。
第二节集合的基本运算
设A，B，C为任意集合，在两集合之间可以有并、交、（相对,绝对）补、（对称）差运算.
1-2-1集合的五种基本运算定义
1.并集：
A∪B={x│x∈A或x∈B}。
例1-4集合的并运算
（1）A={1，2，3}，B={4，5，6}，A∪B={1，2，3，4，5，6}；
2.交集：
A∩B={x│x∈A且x∈B}。
两集合的交运算产生的集合中的元素，同时属于两者，所以只能取相交部分。
例1-5集合的交运算
（1）A={1，2，3}，B={4，5，6}，A∩B=Ø
；
（2）A={计算机系全体学生}，B={全校一年级学生}，
A∩B={计算机系一年级学生}；
3.相对补集：
A－B={x│x∈A且x不∈B}。
相对补集又叫差集，即从A中扣除与B相交部分。
若A，B两集合无相交部分，则结果等于左边A，说明A－B不等于B－A，相对补运算不满足交换律。
例1-6集合的相对补运算
（1）A={1，2，3}，B={4，5，6}，A－B={1，2，3}=A；
（2）A={1，2，3}，B={4，5，6}，B－A={4，5，6}=B；
4.绝对补集：
E为全集，A被E包含，A的绝对补集~A定义为全集与集合A的差集，即
～A=E－A={x│x∈E且x不∈A}，即从E中扣除A。
5.对称差集：
A⊕B=（A－B）∪（B－A）即并运算的对称两边是两个集合相互做差运算，这与名称相对应，便于记忆。
但是，对称差集运算的另一个定义更便于理解，即
A⊕B=（A∪B）－（A∩B），即从A，B两集合中取消相交部分。
例1-7集合的对称差运算
（1）A={1，2，3}，B={4，5，6}，A⊕B={1，2，3，4，5，6}；
（2）A={1，2，3}，B={3，4，5}，A⊕B={1，2，4，5}；
1-2-2集合的并、交、补和对称差五种运算的文氏（JohnVenn）图表示
文氏图的最大优点是形象，直观。
通过文氏图进行集合运算和运算公式的证明非常方便。
遇到三种以上集合运算时，必须明确运算次序：
绝对补优先；
其余四种优先级相等。
需要提前的集合运算用括号括起来。
总体算式中，括号最优先，如同算术规则一样。
关于集合运算结果的性质，还有几个重要结论，无需加以证明，只需给以分析，因为其正确性是显而易见的。
对于这些等式,要求:
理解,承认,会用.
例如:
（1）（A∩B）
A；
（A∩B）
就是说（A∩B）必是A或B的子集合。
（2）A
（A∪B），B
（A∪B）。
就是说集合A，B必定是（A∪B）的子集。
（3）（A—B）
（B—A）
就是说（A—B）
其实,这些公式都是部分与总体的关系,不证自明.
1-2-4集合的基数计算
集合的元素有无穷多个，尽管数目可数，但其个数如何表示，数学家正在研究。
这里，我们只研究元素数目有限的集合。
基数的定义：
有限个元素的集合，例如元素数等于n的集合称为有穷集合。
否则A为无穷集。
有穷集合A所含元素的个数n称为集合A的基数，记做cardA=n。
有穷集合的基数计算—文氏图法
作为文氏图的应用，我们给出下面的例子。
例1-10某班学生有51人，懂英语的有25人，懂日语的有21人，这两门外语都不懂，但要求开设德语的有16人，问同时懂英语和日语的人数有多少？
解：
集合元素的计算步骤如下：
（1）确定集合范围：
设A，B分别为懂英语和懂日语的人集合，则同时懂英语和日语的人数为x；
（2）按题意画文氏图;
（3）列出方程，解方程：
（25—x）+（21—x）+x=51-16
解得x=11。
第二章二元关系
第一节二元关系的重要概念
2-1-1集合的笛卡儿积—产生有序对
1.定义有序对:
由两个元素x，y按一定顺序排列成的二元组叫一个有序对.
记做<
x，y>
。
其中，x是他的第一元素，y是第二元素。
把有序对的概念扩展，引出有序n元组概念。
有序n元组是一个有序对，其中第一元素是一个有序n-1元组，即<
x1,x2,......xn>
=<
<
x1,x2,....xn-1>
，xn>
在笛卡儿空间直角坐标系中，有序3元组<
x，y，z>
<
x，y>
，z>
是一个有序对，其第一元素是我们所熟悉的平面直角坐标系。
在那里，平面上的某点坐标为（1，3）,通常与点的坐标（3，1）不相同，即有序对（x，y）不满足交换律。
显然，（x，y）与（y，x）不相等。
2.定义笛卡儿积:
设A，B为集合，由A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成的有序对集合，称为A和B的笛卡儿积，即AxB={<
│x∈A并且y∈B}。
例1-12令A={a，b}，B={1，2}求：
（1）AxB={<
a,1>
，<
a,2>
b,1>
b,2>
}。
（2）BxA={<
1,a>
1,b>
2,a>
2,b>
设A1，A2，……An是n个集合，则n阶笛卡儿积记做：
A1xA2x……xAn={〈x1，x2，……，xn〉│x1∈A1并x2∈A2…并xn∈An}。
3.笛卡儿积具有以下性质:
方向性--产生了有序对。
（1）笛卡儿积通常不满足交换律。
即当A，B彼此不相等且A，B都不为Ø
时，
AxB≠BxA。
有序对三个字具有两个概念：
“有序”和“对”，即这对元素是有序出现的。
一旦交换了出现的顺序，就成了另一个有序对了。
（2）集合A，B中，只要一个是空集，则他们的笛卡儿积便为空集，即
AxØ
=Ø
xB=Ø
因为集合的笛卡儿积是在集合中元素的直接参与下产生的有序对，而空集中没有任何元素，自然空集与任何集合的笛卡儿积都无法构成任何有序对，自然产生空集。
并有
xA，BxØ
xB。
要点A）集合A，B的笛卡儿积AxB产生一个新的集合R，这个集合R的元素都是有序对。
称由有序对为元素构成的集合为二元关系，简称为关系。
显然，二元关系的第一元素属于A，第二元素属于B。
这就是说，集合A，B的笛卡儿积AxB使集合的元素建立了两两都为有序对的关系。
从此，集合有了名称，即有了用集合内元素的特性表征的名称。
所以说，关系这个集合不同与以往的普通集合。
2-1-2二元关系（又叫关系）
1.定义关系:
空集或集合的元素都是有序对，则称该集合为一个二元关
系，记做R。
2.定义A到B的关系:
设A，B为集合，AxB的任何子集所定义的二元关系叫做从A到B的二元关系；
3.当A=B时，叫A上的二元关系。
若A有n个元素，例如n=3，则AxA就有3x3=9个元素，其子集数可有2（2n）=29=512个。
这些子集的任何一个，都可说是A上的二元关系。
要点B）显然，这样定义的二元关系不都具备特有的内涵。
如果将这些子集按某种性质横向归类，就会产生许多有意义的二元关系。
只将十个最常遇到的关系介绍于下，其中带*符号者为五个最重要的二元关系：
*
（1）空关系：
空集合，他是AxA的一个子集，也是A上的关系；
*
（2）全域关系EA={<
│x∈A且y∈A}=AxA；
*（3）恒等关系IA={<
x，x>
│x∈A}；
*（4）小于等于关系LA={〈x，y〉│x，y∈A且x〈=y}，即将所有第一项小于等于第二项的二元关系都列出；
*（5）整除关系DA={〈x，y〉│x，y∈A且x│y}，即将所有第一项能整除第二项的二元关系都列出；
例2-1设A={a，b}，R是P（A）上的包含关系，即
*（9）包含关系R={<
x，y>
│x，y∈P（A）且x
y}，则P（A）上的包含关系
4.通常，给出一个关系有三种方法，介绍于下：
（1）集合表达式法：
用谓词给出表达式的要求，也即用谓词概括出所有元素的性质。
如，R={〈x，y〉│x，y∈A且x│y}，
列出所有元素即R={<
1，1>
1，2>
1，3>
1，6>
2，2>
2，6>
3，3>
3，6>
6，6>
}。
（2）关系矩阵法：
首先给出关系矩阵的一般定义
令A={x1，x2，……，xn}，R为A上的关系。
我们用MR表示R的矩阵表示，其矩阵元素为
r11r12……r1n
r21r22……r2n
（rij）=……rij……
rn1rn2……rnn
其中，我们定义
1xiRxj
rij=i，j=1，2，……，n
0xiRxj
（3）关系图法
以集合元素为图的顶点,以关系R内的有序对为有向线,第一元素指向第二元素.
要点C）2-1-3关系的性质
在集合A的诸多关系中，有许多具有重要意义。
之所以说他们具有重要意义，是因为他们具有许多在理论和应用中都很重要的性质。
设R是集合A上的关系，当他以某种特定形式出现时，我们便说他具备如下性质：
在实际问题中，集合A上的关系R可以以不同方式给出。
当然判别他们的性质，可以根据R的不同表达方式，采取不同方法，见下表。
********A={1，2，3}上关系R的性质判定表*********
给出方式R={〈x1，y1〉，〈x2，y2〉，〈x3，y3〉，……}
性质判别方式定义谓词关系矩阵关系图判别式
自反所有x（x∈A→主对角线元素每个顶点IA
R
EA
〈x，x〉∈R）都为1都有圈
例题：
R1={〈1，1〉，〈2，2〉}；
x
R2={〈1，1〉，〈2，2〉，〈3，3〉，〈1，2〉，〈2，3〉}。
反所有x（x∈A→主对角线元素每个顶点IA∩R=Ø
自反〈x，x〉不∈R）都为0都没有圈
R1={〈1，1〉，〈1，2〉}；
R2={〈1，3〉，〈3，2〉，〈1，2〉，〈2，3〉}。
对称所有x,y（<
x,y>
∈R对称矩阵顶点间无边R=R—1
→〈y，x〉∈R）或有双向边
R1={〈1，2〉，〈2，2〉}；
R2={〈1，1〉，〈2，2〉，〈3，3〉，〈1，2〉，〈2，1〉}。
反所有x,y（<
∈R若rij=1顶点间无边R∩R—1
IA
对称且x≠y→i≠j或有单向边
〈y，x〉不∈R）rji=0
R1={〈1，1〉，〈1，2〉，〈2，1〉}；
传递所有x,y,z（不存在M2中的1每个顶点xR。
R
R
*要点*xRy且yRz而无xRzM中同位到任意y无
的情况）也是1步长大于1；
有大于1的边
必有边直达.
R1={〈1，1〉，〈1，2〉，〈3，1〉}；
R2={〈1，1〉，〈2，2〉，〈3，3〉}。
*****需要补充一句就是：
若任何两顶点x，y∈V间不存在长度大于1的通路，则关系R具有传递性*****
要点D）2-1-4关系的运算
1.求关系的域
定义域:
R中所有有序对的第一元素的集合。
值域:
R中所有有序对的第二元素的集合。
域:
fldR=domR∪ranR为关系R的域。
例2-2求整数集合Z上的关系Ri（i=1，2，3）的定义域和值域。
（1）R1={<
x，y∈Z且x2+y2=1}；
（2）R2={<
2，3>
3，4>
4，5>
}；
（1）必须首先求出满足方程的解：
当x=1或-1时，必须有y=0；
若x=0则y=1或-1。
x，y取任何此外的数都无效。
即R1={<
0，1>
0，-1>
1，0>
-1，0>
}，则domR1=ranR={-1，0，1}。
2.设F，G为集合A上的关系，则有如下定义的逆运算:
关系F的逆记做F-1，并有F-1={〈x，y〉且yFx}。
*要点*3.关系的复合运算（本教材采用左合成运算）
定义:
F。
G={〈x，y〉存在t使xGt且tFy成立}.
以上的复合运算可以概括成两句话：
寻找过渡的桥；
过河拆桥。
t即为过河的桥；
组成新有序对后，桥t被废除。
谁有资格作为桥t呢?
只有那些G的有序对的y与F的有序对的x相同者才行.
例2-3设F，G为自然数N上的关系，并有下列表达式：
F={<
x，y∈N且y=x2+1}；
G={<
x，y∈N且y=x+1}；
求
（1）G-1；
（2）F。
G；
（1）G-1={<
〡yGx}={<
1，0>
2，1>
3，2>
x+1，x>
，……}；
（2）G={<
0，1>
3，4>
5，6>
，……},
然后,把G的有序对搬到F的左边,并把G的y与F的x对齐,便一目了然:
F={<
2，5>
3，10>
4，17>
……}
G={<
接下来,将加黑的桥拆掉,合成后的关系的有序对—G的x,F的y--就摆在眼前了:
F。
0，2>
1，5>
2，10>
3，17>
，……，<
x，（x+1）2+1>
，……}
={<
〡x，y∈N且y=（x+1）2+1}；
符号集合
，∈，
，
，Ø
∪，∩，－，～，⊕,≠,│.
∪，∩，－，～，⊕。
例2-5设集合A={1，2，3}，判断A上关系Ri的性质
R={<
以表达式形式给出的关系，例如
（1）—（5），最方便的办法是用判别式，所以
因为<
不属于IA，所以R不是自反的；
R与IA的交集不是空集，R也不是反自反的；
R与其逆并不相等，且R与其逆的交集中的<
不属于IA，所以，R既不是对称的，也不是反对称的；
R。
R中的<
不属于R，所以也不是传递的。
4.关系的并、交、补、差运算
由于关系是有序对的集合，所以，对于集合的运算都应该适合于关系的运算。
关系作为集合运算后的结果，依然是从A到B的关系。
5.关系的幂运算***
集合A上的关系R的n次幂，即R的n次复合运算，因而有如下定义：
（a）Ro={<
x∈A}；
Ro=IA。
即A上任何关系R的0次幂都等于A的恒等关系IA。
显然，R。
RO=R=RO。
R。
以及
（b）Rn=Rn-1。
R和Rn+1=Rn。
例2-6设A={1，2，3，5），A上关系
3，5>
}
求：
RO，R1，R2，R3，R4，R5。
计算关系R的n次幂时，按关系的复合运算步骤及其幂运算公式
Ro=IA，
Rn=RN-1。
所以，关系R的幂运算三种方法依次表示如下：
（1）关系矩阵相乘方法：
R及2、3……各次幂的关系矩阵分别为M（R），M2，M3，…，按矩阵乘法规则，元素加法采用逻辑和.
（2）关系图法：
Ro，R2，R3…，n次幂的求法如下：
以R的图为基础，从第一顶点起，到其他顶点，若有步长等于2的有向线，则在R2的图中，必有一条直接到达的有向线；
然后看第二顶点，在R的图中寻找到其他顶点步长等于2的线。
如此，查完所有顶点。
注意：
步长2对应的是R的2次幂。
可见，步长3，4自然对应着R的3，4次幂。
2-1-5关系运算的性质
2）dom（R-1）=ranR；
ran（R-1）=domR；
3）满足结合律：
（F。
G）。
H=F。
（G。
H）；
6）幂运算的性质定理
设:
R为集合A上的二元关系。
m和n都属于N，则下面等式成立
（1）Rm。
Rn=R（m+n）；
（2）（Rm）n=R（mn）。
第二节等价关系与划分
2-2-1等价关系
1.等价关系定义:
设R是非空集合A上的关系，若R是自反的，对称的，传递的，则称R为A上的等价关系。
例2-11设A={0，1，…7}，R={<
│x，y∈A且x=y（mod3）}。
其中，x=y（mod3）叫做x与y的模3相等。
可证R为A上的等价关系。
2.x关于R的等价类定义:
对于任何x∈A，令[x]R={y∈A，都有xRy}成立，则称[x]R为x关于R的等价类，简称x的等价类，记为[x]。
等价类[x]有如下性质：
（1）[x]是A的非空子集，即[x]
A。
（2）若xRy，则[x]=[y]。
（3）若不存在xRy，则[x]∩[y]=Ø
（4）所有[x]的并集=A。
3.商集定
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