人教A版学年高中数学必修一全套知识导学案Word格式文档下载.docx
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x∈A∪B,则x∈A或x∈B,这里的“或”是指x∈A;
x∈B;
x同时属于A与B,这三种情况.
三个集合的交、并运算应遵循“按顺序计算”“有括号先算括号”的原则.
如A∪B∩C,应先算“∪”再算“∩”.
一般说,A∪B∩C≠A∪（B∩C）.
另外,（A∪B）∩C=（A∩C）∪（B∩C）,（A∩B）∪C=（A∪C）∩（B∪C）.A
B
card（A∪B）=card（A）+card（B）-card（A∩B）,
card（A∪B∪C）=card（A）+card（B）+card（C）-card（A∩B）-card（B∩C）-card（C∩A）+card（A∩B∩C）.
（card（A）表示有限集合A元素的个数）
交集:
要从x∈A∩B,则x∈A且x∈B理解,要理解这里的“且”;
①A∩B是一个新集合的表达式,是由A与B的所有的公共元素组成的;
②当A与B没有公共元素时,不能说它们没有交集,而是交集为
同时结合集合的一些特征去理解.
补集:
由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A的补集.理解补集的概念首先要在全集的基础上理解,没有全集就谈不上补集,另一个要注意的是一个集合与它的补集的交集是
.
记忆口诀:
集合平时很常用,数学概念有不同.理解集合并不难,三个要素是关键.元素确定和互异,还有无序要牢记.集合不论空不空,总有子集在其中.集合用图很方便,子交并补很明显.
图1-1-4
疑难导析
列举法:
①有些无穷集合亦可用列举法表示,如所有正奇数组成的集合:
{1,3,5,7,…};
②a与{a}不同:
a表示一个元素,{a}表示一个集合,该集合只有一个元素.
描述法:
①在不致混淆的情况下,可以省去竖线及左边部分.如:
{直角三角形};
{大于10上标4的实数};
②错误表示法:
把R写成{实数集}或{全体实数};
③在用描述法表示集合时,对元素公共属性准确理解是关键.
当用列举法和描述法表示集合时,应在正确表示的基础上牢固把握两种表示方法的模式,深入理解问题的本质,根据具体问题选用合理简洁的表示方法.此外,还要会用Venn图的方法直观形象地表示集合.习惯上借助数轴来表示数的集合,借用平面直角坐标系来表示有序实数对集合,从而实现数与形的结合，有助于我们分析和解决数学问题.
明确集合中元素的特征及元素和集合的关系.集合元素的确定性,是指集合中的元素是确定的,即任何一个对象都能明确它是或不是某个集合的元素,两者必具其一,它是判断一组对象是否形成集合的标准;
互异性是指给定的一个集合的元素中,任何两个元素都是不同的,因而在同一个集合中,不能重复出现同一元素,这一点常被我们所忽略;
元素和集合的关系是∈和
二者有且只有一种成立.
对于集合与集合相等,可与实数中的结论“若a≥b,且b≥a,则a=b”相类比,这种由某类事物已有的性质,通过类比、联想的方式猜想另一类相似事物的性质,是数学逻辑思维的重要思维方法.集合相等可从元素完全相同的角度去理解,若从子集的角度去理解,可提升对集合相等的理解.证明两个集合相等,分清元素的性质及构成情况是关键.
问题导思
教科书中的解释是根据集合论的创始人德国数学家康托尔关于集合的论述而来的.康托尔的一些见解至今仍然是很严谨的,但也有某些观点或解释被后来的数学家们作了修正.现在看来,“对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的”（通常称为集合中元素的确定性）这句话,最好解释为:
“对于一个给定的集合,它的元素的意义是明确的”.
列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法.要注意,一般无限集,不宜采用列举法,因为不能将无限集中的元素一一列举出来,而没有列举出来的元素往往难以确定.
使用描述法时,应注意六点:
①写清集合中元素的代号;
②说明该集合中元素的性质;
③不能出现未被说明的字母;
④多层描述时,应当准确使用“且”“或”;
⑤所有描述的内容都要写在大括号内;
⑥用于描述的语句力求简明、确切.
用描述法表示集合,要特别注意这个集合中的元素是什么,它应该符合什么条件,从而准确理解集合的意义.
补集具有相对性,它是相对于全集而言的,全集改变了,补集也相应地改变.
典题导考
绿色通道
集合中的元素是确定的,某一元素a要么a∈A,要么a
A,两者必居其一,这也是判断一组对象能否构成集合的依据.此题是生活中的实例,说明生活处处皆学问.
典题变式下列对象不能构成集合的是…（）
①方程x2-9=0的实数根
②我国近代著名的数学家
③联合国常任理事国
④空气中密度大的气体
A.①②B.①④C.①②④D.②④
答案:
D
黑色陷阱
在做关于集合的基本概念的辨析题时应严密,紧扣概念,对每个概念不仅要记住,而且要理解其本质.另外要注意的是:
对于错误的说法,举一个反例即可.
典题变式
1.下列说法正确的是（）
①任意集合必有子集
②1,0.5,
组成的集合有四个元素
③若集合A是集合B的子集,集合B是集合C的子集,则集合A是集合C的子集
④若不属于集合A的元素也一定不属于集合B,则B是A的子集
A.①②③B.①③④C.①③D.①②③④
2.下面六种表示法:
①{x=-1,y=2};
②{（x,y）|x=-1,y=2};
③{-1,2};
④（-1,2）;
⑤{（-1,2）};
⑥{（x,y）|x=-1或y=2}.
能正确表示方程组
的解集的是（）
A.①②③④⑤⑥B.①②④⑤C.②⑤D.②⑤⑥
黑色陷阱
在用列举法表示集合时,容易发生的错误:
一是列举出来的元素不完整,如将
（1）中的答案写成{1,4,9,16};
二是列举的元素有重复,如把第
（2）小题答案写成{1,1,2};
三是不明确集合中的元素,把第（3）小题的答案写成{3,2}等.
典题变式用列举法表示下列集合:
（1）{自然数中五个最小的完全平方数};
（2）{x|（x-1）2（x-2）=0};
（3）{（x,y）|
}.
（1）{0,1,4,9,16};
（2）{1,2};
（3）{（3,2）}.
对于集合中元素的求法,要看清原来是用什么方法表示出的,有时要分类讨论.如果不注意分类讨论将导致思维的不严密.
典题变式已知全集I=R,集合A={x|x2+ax+12b=0},B={x|x2-ax+b=0},满足（
A）∩B={2},（
B）∩A={4},求实数a、b的值.
a=
b=-
绿色通道
集合是由元素构成的,要确定一个集合,一是把集合中的元素一一找出来,用列举法去表示;
二是明确集合中元素的范围及其满足的性质,用描述法去表示.
已知集合A={0,2,3,4},B={0,1,2,3},非空集合M满足M
A且M
B,则满足条件的集合M的个数为（）
A.7B.8C.15D.16
此题考查分类讨论思想,以及集合间的关系的应用.通过深刻理解集合表示法的转换,及集合之间的关系,可以把相关问题化归为解方程的问题.这称为数学的化归思想,是数学思想的常用方法,在高考中重点考查.
典题变式设集合A={A|2x2+3px+2=0},B={x|2x2+x+q=0},其中p、q、x∈R,当A∩B={
}时,求p的值和A∪B.
p=-
A∪B={-1,
2}.
本题可能会有如下解法:
由题设易知B={2,3},C={2,-4}.由A∩B≠
且A∩C=
知3∈A.把x=3代入方程x2-ax+a2-19=0,得9-3a+a2-19=0.解得a=5或a=-2.
这里由条件推知3∈A,进而推出a的值,并不能肯定反过来都符合题设条件.
典题变式已知A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|x2-5x+6=0},是否存在a,使A、B满足下列三个条件:
①A≠B;
②A∪B=B;
③
（A∩B）.若存在,求出a的值;
若不存在,请说明理由.
不存在实数a,使得满足条件.
本题容易出现以下错误:
由A∩B≠
知方程组
有解,即方程3x2-ax+15-b=0有解.
∴Δ=a2-4×
3×
（15-b）=a2+12b-180≥0.①
由（a,b）∈C,得144≥a2+b2.②
（以上二元二次不等式组难以求解,故可能半途而废,不了了之）
①+②,得a2+12b-36≥a2+b2,
即（b-6）2≤0
b=6.
把b=6代入①,得a2≥108;
把b=6代入②,得a2≤108.
∴a2=108,即a=±
6
故存在实数a、b满足条件.
典题变式方程x2-ax+b=0的两根为α、β,方程x2-bx+c=0的两根为γ、δ,其中α、β、γ、δ互不相等,设集合M={α,β,γ,δ},且集合S={x|x=u+υ,u∈M,υ∈M,u≠υ},P={x|x=uυ,u∈M,υ∈M,u≠υ},若S={5,7,8,9,10,12},P={6,10,14,15,21,35},求a、b、c.
b=10,a=7,c=21.
1.2函数及其表示
函数实质上是从集合A到集合B的一个特殊的映射,其特殊性在于集合A、B都是非空数集.自变量的取值集合叫做函数的定义域,函数值的集合C叫做函数的值域.这里应该注意的是,值域C并不一定等于集合B,而只能说C是B的一个子集.
构成函数的三要素:
定义域A,对应法则f,值域B.其中核心是对应法则f,它是联系x和y的纽带,是对应得以实现的关键.对应法则可以由多种形式给出,可以是解析法,可以是列表法和图象法,不管是哪种形式,都必须是确定的,且使集合A中的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应.当一个函数的定义域和对应法则确定之后,值域也就唯一的确定了.因此,要确定一个函数,只要定义域与对应法则确定即可.
函数的定义域是函数研究的重要内容,在给定函数的同时应该给定函数的定义域.
一般地,如果不加说明,函数的定义域就是使函数的解析式有意义的实数的集合.据此,就可以“求出”函数的定义域了.
值域是全体函数值组成的集合,一般地,函数的定义域和对应关系确定,值域就随之确定了.
求函数值域是一个相当复杂的问题,常见的方法有
（1）图象法;
（2）反解x;
（3）配方法;
（4）换元法.以后还可用单调性、判别式法等.
所谓函数y=f（x）的图象,就是将自变量的一个值x0作为横坐标,相应的函数值f（x0）作为纵坐标,就得到坐标平面上的一个点（x0,f（x0））.当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时,就得到一系列这样的点.所有这些点组成的集合（点集）为{（x0,f（x0））|x∈A},即{（x,y）|y=f（x）,x∈A},所有这些点组成的图形就是函数y=f（x）的图象.
函数图象是函数部分运用数形结合思想方法的基础.函数图象部分应解决好画图、识图、用图这三个基本问题,即对函数的图象有三点要求:
（1）会画各种简单函数的图象;
（2）能以函数的图象识别相应函数的性质;
（3）能用数形结合思想以图辅助解题.
根据函数所具有的某些性质或它所满足的一些关系,求出它的解析式,一是要求出对应法则,二是要求出函数的定义域.
求函数的解析式常用的方法有直接法、代入法、待定系数法、换元法、配方法、方程或方程组法等.根据实际问题求函数表达式,是应用函数知识解决实际问题的基础,但要注意函数定义域还应由实际意义来确定.
函数是特殊的映射,即当两个集合A、B均为非空数集时,则从A到B的映射就是函数.所以函数一定是映射,而映射不一定是函数.
1.两个函数相同的充要条件是它们的定义域与对应关系分别相同,例如函数f（x）=|x|,与f（x）=
是同一个函数.
2.函数的核心是对应关系.在函数符号y=f（x）中,f是表示函数的对应关系,等式y=f（x）表明,对于定义域中的任意x,在对应关系f的作用下,可得到y,因此,f是使“对应”得以实现的方法和途径.
函数符号y=f（x）是“y是x的函数”这句话的数学表示,它不表示“y等于f与x的乘积”.f（x）可以是解析式,也可以是图象或数表.符号f（a）与f（x）既有区别又有联系.f（a）表示当自变量x=a时函数f（x）的值,是一个常量;
而f（x）是自变量x的函数,在一般情况下,它是一个变量.f（a）是f（x）的一个特殊值.
3.值域是全体函数值所组成的集合.在多数情况下,一旦定义域和对应关系确定,函数的值域也就随之确定.
映射作为函数概念的推广,只是把函数中的两个数集推广为两个任意的集合.所以说一个映射关系必为函数关系,反之不然.
映射要求原象必有象,至于象是不是有原象不需要考虑.
关于函数的两个定义实质上是一致的.初中定义的出发点是运动变化的观点,而高中定义却是从集合、对应的观点出发.
初中阶段学习的函数的概念的优点是:
直观,生动.
高中阶段学习的函数的概念的优点:
更具一般性.比如按初中的定义就很难判断下面的表达式是不是函数:
f（x）=
现在用高中学的函数概念来判断则是没有问题的.
有些表达式中的自变量和函数值所用的字母不同,但也是同一个函数.比如:
y=3x+2与s=3t+2就是同一个函数.
由于函数关系的三种表示方法各具特色,优点突出,但大都存在着缺点,不尽人意,所以在应用中本着物尽其用、扬长避短、优势互补的精神,通常表示函数关系是把这三种方法结合起来运用,先确定函数的解析式,即用解析法表示函数;
再根据函数解析式,计算自变量与函数的各组对应值,列表;
最后是画出函数的图象.
判断两个函数或几个函数是不是同一个函数,有时是用定义域和对应关系是否相同来加以判别,但有时判别值域更方便些.比如本题中的第（4）小题.
对于函数是不是相同的判别,容易发生只看三要素中的其中之一的思维误区,从而造成解答错误.所以说认识函数对应法则必须认清它的本质,否则容易发生从表面上进行判别的错误.
典题变式试判断以下各组函数中,是否表示同一函数?
（1）f（x）=
g（x）=
;
（2）f（x）=
（3）f（x）=
g（x）=（
）2n-1（n∈N）;
（4）f（x）=
g（x）=
（1）不是;
（2）不是;
（3）是;
（4）不是.
在求函数的解析式时,有时技巧上的变换对解题起到一定的作用,但通法更重要,因为通法是程式化的东西,解法二就是一种通法,这种变量替换在解数学题中占有重要的地位.
在进行变量替换时,易忽略替换变量后函数定义域的变化.所以解此类问题一定要细心缜密,不要慌张.
1.求实系数的一次函数y=f（x）,使f［f（x）］=4x+3.
f（x）=2x+1或f（x）=-2x-3.
2.已知f（x）满足2f（x）+3f（
）=4x,求函数f（x）的解析式.
f（x）=-
x+
这里的函数对于所给的解析式,要进行化简才能看出所给的函数都是分段函数,然后再画图象.
一是容易将图
（1）画成直线,主要原因是没有认清定义域为Z和定义域为R的区别.二是容易只画出图象的某一段,从而造成整个图象的缺失.
典题变式作出下列函数的图象:
（1）y=|x+1|+|x-2|;
（2）y=
解:
（1）y=|x+1|+|x-2|=
作出函数的图象如图1-2-1所示:
图1-2-1
（2）作二次函数y=x2的图象取x≥-1的部分,再作y=x+1的图象取x<
-1的部分,就得到函数
y=
的图象,如图1-2-6所示.
图1-2-6
给定两集合A、B及对应法则f,判断是否是从集合A到集合B的映射,其基本方法是利用映射的定义.用通俗的语言讲:
A→B的对应有“多对一”“一对一”及“一对多”,前两种对应是A→B的映射,而后一种不是A→B的映射.
典题变式给出下列关于从集合A到集合B的映射的论述,其中正确的有________.
（1）B中任何一个元素在A中必有原象;
（2）A中不同元素在B中的象也不同;
（3）A中任何一个元素在B中的象是唯一的;
（4）A中任何一个元素在B中可以有不同的象;
（5）B中某一元素在A中的原象可能不止一个;
（6）集合A与B一定是数集;
（7）符号f:
A→B与f:
B→A的含义是一样的.
（1）不对;
（2）不对;
（3）对;
（4）不对;
（5）对;
（6）不对;
（7）不对.
本题考查的是分段函数,这是一个实际问题,解题时要用到分类讨论思想及数形结合思想,这是多年的高考热点,也是今后高考命题的方向.
（1）画出草图帮助分析时,要明确哪些是关键量,以及这些量的特点（变与不变）;
（2）对分段函数要选准线段的各端点.
（3）可以通过画图判断函数的值域,这也是一种数形结合的解题思想.
在分段函数的转折点上易发生取舍不当的问题.比如本题如把区间分成0≤x≤4,4≤x≤10,10≤x≤14,则是不对的.
典题变式如图1-2-9,某灌溉渠的横断面是等腰梯形,底宽2m,渠深1.8m,边坡的倾角是45°
图1-2-9
（1）试用解析表达式将横断面中水的面积A（m2）表示成水深h（m）的函数;
（2）确定函数的定义域和值域;
（3）画出函数的图象.
（1）A=
=h2+2h.
（2）定义域为{h|0<
h<
1.8}.
值域为{A|0<
A<
6.84}.
（3）函数图象如图1-2-10.
图1-2-10
对这类建模方面的问题,一是要经常留心生活中的人和事,不至于遇到类似的情景感到无从下手;
二是遇到这类问题不要着急,要理清脉络,找到所对应的数学模型是解题的关键.
1.如图1-2-12,有一块边长为a的正方形铁皮,将其四个角各截去一个边长为x的小正方形,然后折成一个无盖的盒子,写出体积V以x为自变量的函数式是________,这个函数的定义域为________.
图1-2-12
V=x（a-2x）2{x|0<
x<
}
2.某家庭今年一月份、二月份和三月份煤气用量和支付费用如下表所示:
月份
用气量
煤气费
一月份
4米3
4元
二月份
25米3
14元
三月份35
米3
19元
该市煤气收费的方法是:
煤气费=基本费+超额费+保险费.
若每月用量不超过最低限度A米3,只付基本费3元和每户每月的定额保险C元,若用气量超过A米3,超过部分每米3付B元,又知保险费C超不过5元,根据上面的表格求A、B、C.
A=5,B=0.5,C=1.
3.如图1-2-14,动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始,顺次经C、D、A绕周界运动,用x表示点P的行程,y表示△APB的面积,求函数y=f（x）的解析式.
图1-2-14
1.3函数的基本性质
函数的单调性是对区间而言的,它是“局部”性质,不同于函数的奇偶性,函数的奇偶性是对整个定义域而言的,即是“整体”性质.对某一函数y=f（x）,它在某区间上可能有单调性,也可能没有单调性;
即使是同一个函数它在某区间上可能单调递增,而在另外一区间上可能单调递减;
对某一函数y=f（x）,它在区间（a,b）与（c,d）上都是单调增（减）函数,不能说y=f（x）在（a,b）∪（c,d）上一定是单调增（减）函数,即函数的单调性是针对定义域内的某个区间而言的.例如函数y=
在（-∞,0）上是减函数,在（0,+∞）上也是减函数,但不能说它在整个定义域即（-∞,0）∪（0,+∞）上是减函数,因为当取x1=-1,x2=1时,对应的函数值为f（x1）=-1,f（x2）=1,显然有x1<
x2,但f（x1）<
f（x2）,不满足减函数的定义.
函数的单调性所刻画的是当自变量变化时其对应的函数值的变化趋势,是函数在区间上的整体性质,函数图象能直观地显示函数的这个性质.在单调区间上的增函数,它的图象是沿x轴正方向逐渐上升的;
在单调区间上的减函数,它的图象是沿x轴正方向逐渐下降的.
关于函数的奇偶性的判断,应该注意以下几点:
（1）定义域不关于原点对称的函数一定不是奇偶函数;
（2）定义域关于原点对称的函数也不一定是奇偶函数;
（3）定义域关于原点对称,且满足f（-x）=f（x）或f（-x）=-f（x）的函数才是偶函数或奇函数.
函数奇偶性的应用:
（1）利用奇偶性求有关函数值;
（2）利用奇偶性求有关函数的解析式;
（3）利用奇偶性研究函数的其他性质.
另外,由奇（偶）函数图象的特征并结合函数单调性的定义不难得到:
（1）奇（偶）函数在关于原点对称的区间上,具有相同（反）的单调性;
（2）若奇函数f（x）在区间[a
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