必修3数学期末测试Word下载.docx
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A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7
2．有4位同学参加某智力竞赛，竞赛规定：
每人从甲、乙两类题中各随机选一题作答，且甲类题目答对得3分，答错扣3分，乙类题目答对得1分，答错扣1分，若每位同学答对与答错相互独立，且概率均为
，那么这4位同学得分之和为0的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为a，b，记m=a+b，则（ ）
A．事件“m=2”的概率为
B．事件“m＞11”的概率为
C．事件“m=2”与“m≠3”互为对立事件
D．事件“m是奇数”与“a=b”互为互斥事件
4．一个盒子内装有大小相同的红球、白球和黑球若干个，从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么摸出黑球或白球的概率是（ ）
A．0.3B．0.55C．0.75D．0.7
5．从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么对立的两个事件是（ ）
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
D．“至少有一个黑球”与“都是红球”
6．甲乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为（ ）
7．某电商设计了一种红包，打开每个红包都会获得三种福卡（“和谐”、“爱国”、“敬业”）中的一种，若集齐三种卡片可获得奖励，小明现在有4个此类红包，则他获奖的概率为（ ）
8．已知2个人在一座5层大楼的第一层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则两人在不同层离开的概率等于（ ）
第Ⅱ卷（非选择题）
请点击修改第Ⅱ卷的文字说明
二．填空题（共1小题）
9．2名男生和3名女生共5名同学站成一排，则3名女生中有且只有2名女生相邻的概率是 ．
三．解答题（共3小题）
10．如图是一个方形迷宫，甲、乙两人分别位于迷宫的A，B两处，两人同时以每一分钟一格的速度向东、西、南、北四个方向行走，已知甲向东、西行走的概率都为
，向南、北行走的概率分别为
和p，乙向东、西、南、北四个方向行走的概率均为q
（1）求p和q的值；
（2）问最少几分钟，甲、乙二人相遇？
并求出最短时间内可以相遇的概率．
11．某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：
m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量
[0，0.1）
[0.1，0.2）
[0.2，0.3）
[0.3，0.4）
[0.4，0.5）
[0.5，0.6）
[0.6，0.7）
频数
1
3
2
4
9
26
5
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
13
10
16
（1）作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？
（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）
12．某地区工会利用“健步行APP”开展健步走积分奖励活动．会员每天走5千步可获积分30分（不足5千步不积分），每多走2千步再积20分（不足2千步不积分）．为了解会员的健步走情况，工会在某天从系统中随机抽取了1000名会员，统计了当天他们的步数，并将样本数据分为[3，5），[5，7），[7，9），[9，11），[11，13），[13，15），[15，17），[17，19），[19，21]九组，整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）求当天这1000名会员中步数少于11千步的人数；
（Ⅱ）从当天步数在[11，13），[13，15），[15，17）的会员中按分层抽样的方式抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人积分之和不少于200分的概率；
（Ⅲ）写出该组数据的中位数（只写结果）．
参考答案与试题解析
【分析】直接利用互斥事件的概率的加法公式求解即可．
【解答】解：
某群体中的成员只用现金支付，既用现金支付也用非现金支付，不用现金支付，是互斥事件，
所以不用现金支付的概率为：
1﹣0.45﹣0.15=0.4．
故选：
B．
【点评】本题考查互斥事件的概率的求法，判断事件是互斥事件是解题的关键，是基本知识的考查．
【分析】每人的得分情况有甲对，甲错，乙对，乙错4种可能，从而基本事件总数n=44=256种，若他们得分之和为0，则分为4类：
①4人全选甲类题目且两对对错，有
=6种可能，②4人全选乙类题目且两对两错，有
=6种可能，③4人中1人选甲类对或错，同时另3人选乙类全对或全错，有
=8种可能，④4人中2人选甲类一对一错，同时另起炉灶人选乙类一错一对，共有
种可能，由此利用互斥事件概率加法公式能求出这4位同学得分之和为0的概率．
每人的得分情况有甲对，甲错，乙对，乙错4种可能，
∴基本事件总数n=44=256种，
若他们得分之和为0，则分为4类：
=6种可能，（即四个元素3，3，﹣3，﹣3的所有排列个数），
②4人全选乙类题目且两对两错，有
=6种可能，
③4人中1人选甲类对或错，同时另3人选乙类全对或全错，有
=8种可能，
④4人中2人选甲类一对一错，同时另起炉灶人选乙类一错一对，共有
种可能，
∴这4位同学得分之和为0的概率p=
=
．
【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想、此利用互斥事件概率加法公式的合理运用．
【分析】计算出事件“m=2”的概率可判断A；
计算出事件“m＞11”的概率可判断B；
根据对立事件的概念，可判断C；
根据互斥事件的概念，可判断D
连掷一枚均匀的骰子两次，
所得向上的点数分别为a，b，记m=a+b，则
事件“m=2”的概率为
，故A错误；
事件“m＞11”的概率为
，故B错误；
事件“m=2”与“m≠2”互为对立事件，故C错误；
a=b时，m为偶数，故事件“m是奇数”与“a=b”互为互斥事件，故D正确；
D．
【点评】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，互斥事件和对立事件的概念，难度中档．
【分析】摸出黑球或白球的对立事件是摸出红球，由此能求出摸出黑球或白球的概率．
∵一个盒子内装有大小相同的红球、白球和黑球若干个，
从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，
∴摸出黑球或白球的对立事件是摸出红球，
∴摸出黑球或白球的概率p=1﹣0.45=0.55．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．
【分析】根据题意，由互斥事件与对立事件的定义，依次分析选项，即可得答案．
根据题意，依次分析四个选项：
对于A、“都是黑球”是“至少有一个黑球”的一种情况，不是对立事件，
对于B、“至少有一个黑球”包括“2个都是黑球”和“一红一黑”两种情况，而“至少有一个红球”包括“2个都是红球”和“一红一黑”两种情况，
两者不是对立事件，
对于C、“恰好有一个黑球”即“一红一黑”，与“恰好有两个黑球”是互斥事件，但不是对应事件，
对于D、“至少有一个黑球”包括“2个都是黑球”和“一红一黑”两种情况，与都是红球”为对立事件；
【点评】本题考查互斥事件与对立事件的定义，其中关键是熟练掌握互斥事件与对立事件的定义．
【分析】所有的选法共有3×
3=9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，由此求得他们选择相同颜色运动服的概率．
所有的选法共有3×
3=9种，
而他们选择相同颜色运动服的选法共有3×
1=3种，
故他们选择相同颜色运动服的概率为P=
，
【点评】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．
【分析】基本事件总数n=3×
3×
3=81，他获奖包含的基本事件个数m=
=36，由此能求出他获奖的概率．
小明现在有4个此类红包，
基本事件总数n=3×
3=81，
他获奖包含的基本事件个数m=
=36，
∴他获奖的概率p=
C．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
【分析】由题意2人总的离开电梯共16种结果，2人在同一层下共4种，故先求该事件的概率，再由对立事件的概率可得．
2个人在一座5层大楼的第一层进入电梯，
假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，
由题意总的基本事件为：
两个人各有4种不同的离开电梯方法，故共有：
4×
4=16种结果，
而两人在同一层离开电梯，共有4种结果，
∴两个人在同一层离开电梯的概率是：
所以2个人在不同层离开的概率为：
p=1﹣
【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．
9．2名男生和3名女生共5名同学站成一排，则3名女生中有且只有2名女生相邻的概率是
．
【分析】利用捆绑法求出3名女生中有且只有2名女生相邻的情况，有A32A22A32=72种，2名男生和3名女生共5名同学站成一排，有A55=120种，问题得以解决．
把3位女生的两位捆绑在一起看做一个复合元素，和剩下的一位女生，插入到2位男生全排列后形成的3个空中的2个空中，有A32A22A32=72种，
2名男生和3名女生共5名同学站成一排，有A55=120种，
∴所求概率为
故答案为
【点评】本题考查概率的计算，考查排列中相邻问题和不相邻问题，相邻用捆绑，不相邻用插空，属于中档题．
【分析】
（1）根据概率和为1，解方程得到p的值，根据乙向东、南、西、北四个方向行走的概率均为q，得到关于q的方程，解方程即可．
（2）当t=2甲、乙两人可以相遇，设在C、D、E三处相遇的概率分别为PC、PD、PE，写出三个概率的值，最后相加得到结果．
（1）∵
+
+p=1，
∴p=
∵4q=1，
∴q=
（2）最少需要2分钟，甲乙二人可以相遇（如图在C，D，E三处相遇）
设在C，D，E三处相遇的概率分别为PC，PD，PE，则
PE=（
×
）×
（
）=
∴
即所求的概率为
【点评】本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查概率的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．
（1）根据使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表能作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图．
（2）根据频率分布直方图能求出该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率．
（3）由题意得未使用水龙头50天的日均水量为0.48，使用节水龙头50天的日均用水量为0.35，能此能估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水．
（1）根据使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表，
作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图，如下图：
（2）根据频率分布直方图得：
该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率为：
p=（0.2+1.0+2.6+1）×
0.1=0.48．
（3）由题意得未使用水龙头50天的日均水量为：
（1×
0.05+3×
0.15+2×
0.25+4×
0.35+9×
0.45+26×
0.55+5×
0.65）=0.48，
使用节水龙头50天的日均用水量为：
0.05+5×
0.15+13×
0.25+10×
0.35+16×
0.45+5×
0.55）=0.35，
∴估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省：
365×
（0.48﹣0.35）=47.45m3．
【点评】本题考查频率分由直方图的作法，考查概率的求法，考查平均数的求法及应用等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
12．某地区工会利用“健步行APP”开展健步走积分奖励活动．会员每天走5千步可获积分30分（不足5千步不积分），每多走2千步再积20分（不足2千步不积分）．为了解会员的健步走情况，工会在某天从系统中随机抽取了1000名会员，统计了当天他们的步数，并将样本数据分为[3，5），
[5，7），[7，9），[9，11），[11，13），[13，15），[15，17），[17，19），[19，21]九组，整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）这1000名会员中健步走的步数在[3，5）内的人数为40；
健步走的步数在[5，7）内的人数为60；
健步走的步数在[7，9）内的人数为100；
健步走的步数在[9，11）内的人数为300．由此能求出这1000名会员中健步走的步数少于11千步的人数．
（Ⅱ）按分层抽样的方法，在[11，13）内应抽取3人，记为a1，a2，a3，每人的积分是90分；
在[13，15）内应抽取2人，记为b1，b2，每人的积分是110分；
在[15，17）内应抽取1人，记为c，每人的积分是130分．从6人中随机抽取2人，利用列举法能求出这2人的积分之和不少于200分的概率．
（Ⅲ）由频率分布直方图能求出中位数．
【解答】
（本小题共13分）
解：
（Ⅰ）这1000名会员中健步走的步数在[3，5）内的人数为0.02×
2×
1000=40；
健步走的步数在[5，7）内的人数为0.03×
1000=60；
健步走的步数在[7，9）内的人数为0.05×
1000=100；
健步走的步数在[9，11）内的人数为0.05×
40+60+100+100=300．
所以这1000名会员中健步走的步数少于11千步的人数为300人．…………………（4分）
在[15，17）内应抽取1人，记为c，每人的积分是130分；
……………………（5分）
从6人中随机抽取2人，有：
a1a2，a1a3，a1b1，a1b2，a1c，a2a3，a2b1，a2b2，a2c，a3b1，a3b2，a3c，b1b2，b1c，b2c共15种方法．……………………（7分）
所以从6人中随机抽取2人，这2人的积分之和不少于200分的有：
a1b1，a1b2，a1c，a2b1，a2b2，a2c，a3b1，a3b2，a3c，b1b2，b1c，b2c共12种方法．……………（9分）
设从6人中随机抽取2人，这2人的积分之和不少于200分为事件A，则
．……………………（11分）
所以从6人中随机抽取2人，这2人的积分之和不少于200分的概率为
（Ⅲ）中位数为
．……………………（13分）
【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查频率分布直方图、古典概率、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是基础题．
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