高考数学文北师大版大一轮复习讲义第九章 平面解析几何第九章 92Word文档下载推荐.docx
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，且线段AB的中点在直线l上．（ √ ）
1．（2016·
天津模拟）过点（1,0）且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是（ ）
A．x－2y－1＝0B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0D．x＋2y－1＝0
答案 A
解析 直线x－2y－2＝0可化为y＝
x－1，
所以过点（1,0）且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程可设为y＝
x＋b，
将点（1,0）代入得b＝－
所以所求直线方程为x－2y－1＝0.
2．（教材改编）已知点（a,2）（a>
0）到直线l：
x－y＋3＝0的距离为1，则a等于（ ）
A.
B．2－
C.
－1D.
＋1
答案 C
解析 依题意得
＝1.
解得a＝－1＋
或a＝－1－
∵a>
0，∴a＝－1＋
3．已知p：
直线x－y－1＝0与直线x－my＋2＝0平行，q：
m＝1，则p是q的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析 由于两直线平行的充要条件是
＝
≠
，
即m＝1.
4．已知直线l1与l2：
x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离是
，则直线l1的方程为________________．
答案 x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0
解析 设l1的方程为x＋y＋c＝0，则
∴|c＋1|＝2，即c＝1或c＝－3.
∴直线l1的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.
5．（教材改编）若直线（3a＋2）x＋（1－4a）y＋8＝0与（5a－2）x＋（a＋4）y－7＝0垂直，则a＝________.
答案 0或1
解析 由两直线垂直的充要条件，得（3a＋2）（5a－2）＋（1－4a）（a＋4）＝0，解得a＝0或a＝1.
题型一 两条直线的平行与垂直
例1
（1）设不同直线l1：
2x－my－1＝0，l2：
（m－1）x－y＋1＝0.则“m＝2”是“l1∥l2”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
解析 当m＝2时，代入两直线方程中，
易知两直线平行，即充分性成立．
当l1∥l2时，显然m≠0，从而有
＝m－1，
解得m＝2或m＝－1，
但当m＝－1时，两直线重合，不符合要求，
故必要性成立，故选C.
（2）已知直线l1：
ax＋2y＋6＝0和直线l2：
x＋（a－1）y＋a2－1＝0.
①试判断l1与l2是否平行；
②当l1⊥l2时，求a的值．
解 ①方法一 当a＝1时，l1：
x＋2y＋6＝0，
l2：
x＝0，l1不平行于l2；
当a＝0时，l1：
y＝－3，
x－y－1＝0，l1不平行于l2；
当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1：
y＝－
x－3，
y＝
x－（a＋1），
l1∥l2⇔
解得a＝－1，
综上可知，a＝－1时，l1∥l2.
方法二 由A1B2－A2B1＝0，
得a（a－1）－1×
2＝0，
由A1C2－A2C1≠0，得a（a2－1）－1×
6≠0，
∴l1∥l2⇔
⇔
⇒a＝－1，
故当a＝－1时，l1∥l2.
②方法一 当a＝1时，l1：
x＋2y＋6＝0，l2：
x＝0，
l1与l2不垂直，故a＝1不成立；
y＝－3，l2：
x－y－1＝0，l1不垂直于l2；
当a≠1且a≠0时，
l1：
x－3，l2：
由（－
）·
＝－1⇒a＝
方法二 由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2（a－1）＝0
⇒a＝
思维升华
（1）当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
（2）在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．
已知两直线l1：
x＋ysinα－1＝0和l2：
2x·
sinα＋y＋1＝0，求α的值，使得：
（1）l1∥l2；
（2）l1⊥l2.
解
（1）方法一 当sinα＝0时，直线l1的斜率不存在，
l2的斜率为0，显然l1不平行于l2.
当sinα≠0时，k1＝－
，k2＝－2sinα.
要使l1∥l2，需－
＝－2sinα，即sinα＝±
所以α＝kπ±
，k∈Z，此时两直线的斜率相等．
故当α＝kπ±
，k∈Z时，l1∥l2.
方法二 由A1B2－A2B1＝0，得2sin2α－1＝0，
所以sinα＝±
，所以α＝kπ±
，k∈Z.
又B1C2－B2C1≠0，所以1＋sinα≠0，即sinα≠－1.
（2）因为A1A2＋B1B2＝0是l1⊥l2的充要条件，
所以2sinα＋sinα＝0，即sinα＝0，所以α＝kπ，k∈Z.
故当α＝kπ，k∈Z时，l1⊥l2.
题型二 两条直线的交点与距离问题
例2
（1）（2016·
长沙模拟）求经过两条直线l1：
x＋y－4＝0和l2：
x－y＋2＝0的交点，且与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为________________．
（2）直线l过点P（－1,2）且到点A（2,3）和点B（－4,5）的距离相等，则直线l的方程为________________．
答案
（1）x＋2y－7＝0
（2）x＋3y－5＝0或x＝－1
解析
（1）由
得
∴l1与l2的交点坐标为（1,3）．
设与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为x＋2y＋c＝0，
则1＋2×
3＋c＝0，∴c＝－7.
∴所求直线方程为x＋2y－7＝0.
（2）方法一 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为
y－2＝k（x＋1），即kx－y＋k＋2＝0.
由题意知
即|3k－1|＝|－3k－3|，
∴k＝－
∴直线l的方程为y－2＝－
（x＋1），
即x＋3y－5＝0.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．
故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
方法二 当AB∥l时，有k＝kAB＝－
直线l的方程为y－2＝－
当l过AB的中点时，AB的中点为（－1,4）．
∴直线l的方程为x＝－1.
思维升华
（1）求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．
（2）利用距离公式应注意：
①点P（x0，y0）到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；
②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等．
（1）如图，设一直线过点（－1,1），它被两平行直线l1：
x＋2y－1＝0，l2：
x＋2y－3＝0所截的线段的中点在直线l3：
x－y－1＝0上，求其方程．
解 与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x＋2y－2＝0.
设所求直线方程为（x＋2y－2）＋λ（x－y－1）＝0，
即（1＋λ）x＋（2－λ）y－2－λ＝0.
又直线过（－1,1），
∴（1＋λ）（－1）＋（2－λ）·
1－2－λ＝0，
解得λ＝－
∴所求直线方程为2x＋7y－5＝0.
（2）正方形的中心为点C（－1,0），一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三条边所在直线的方程．
解 点C到直线x＋3y－5＝0的距离
设与x＋3y－5＝0平行的一条边所在直线的方程是x＋3y＋m＝0（m≠－5），
则点C到直线x＋3y＋m＝0的距离
解得m＝－5（舍去）或m＝7，
所以与x＋3y－5＝0平行的边所在直线的方程是x＋3y＋7＝0.
设与x＋3y－5＝0垂直的边所在直线的方程是3x－y＋n＝0，
则点C到直线3x－y＋n＝0的距离
解得n＝－3或n＝9，
所以与x＋3y－5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝0.
题型三 对称问题
命题点1 点关于点中心对称
例3 过点P（0,1）作直线l，使它被直线l1：
2x＋y－8＝0和l2：
x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．
答案 x＋4y－4＝0
解析 设l1与l的交点为A（a,8－2a），则由题意知，点A关于点P的对称点B（－a,2a－6）在l2上，代入l2的方程得－a－3（2a－6）＋10＝0，解得a＝4，即点A（4,0）在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
命题点2 点关于直线对称
例4 如图，已知A（4,0），B（0,4），从点P（2,0）射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（ ）
A．3
B．6C．2
D．2
解析 直线AB的方程为x＋y＝4，点P（2,0）关于直线AB的对称点为D（4,2），关于y轴的对称点为C（－2,0）．则光线经过的路程为|CD|＝
＝2
命题点3 直线关于直线的对称问题
例5 （2016·
泰安模拟）已知直线l：
2x－3y＋1＝0，求直线m：
3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．
解 在直线m上任取一点，如M（2,0），则M（2,0）关于直线l的对称点M′必在直线m′上．
设对称点M′（a，b），则
解得
∴M′
设直线m与直线l的交点为N，则
由
得N（4,3）．
又∵m′经过点N（4,3）．
∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
思维升华 解决对称问题的方法
（1）中心对称
①点P（x，y）关于Q（a，b）的对称点P′（x′，y′）满足
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．
（2）轴对称
①点A（a，b）关于直线Ax＋By＋C＝0（B≠0）的对称点A′（m，n），则有
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
已知直线l：
3x－y＋3＝0，求：
（1）点P（4,5）关于l的对称点；
（2）直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程；
（3）直线l关于（1,2）的对称直线．
解
（1）设P（x，y）关于直线l：
3x－y＋3＝0的对称点为P′（x′，y′），
∵kPP′·
kl＝－1，即
×
3＝－1.①
又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，
∴3×
－
＋3＝0.②
由①②得
把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7，
∴P（4,5）关于直线l的对称点P′的坐标为（－2,7）．
（2）用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，
得关于l的对称直线方程为
－2＝0，
化简得7x＋y＋22＝0.
（3）在直线l：
3x－y＋3＝0上取点M（0,3），
关于（1,2）的对称点M′（x′，y′），
∴
＝1，x′＝2，
＝2，y′＝1，∴M′（2,1）．
l关于（1,2）的对称直线平行于l，∴k＝3，
∴对称直线方程为y－1＝3×
（x－2），
即3x－y－5＝0.
18．妙用直线系求直线方程
一、平行直线系
由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系．
典例1 求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点（1,2）的直线l的方程．
思想方法指导 因为所求直线与3x＋4y＋1＝0平行，因此，可设该直线方程为3x＋4y＋c＝0（c≠1）．
规范解答
解 依题意，设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0（c≠1），
又因为直线过点（1,2），
所以3×
1＋4×
2＋c＝0，解得c＝－11.
因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0.
二、垂直直线系
由于直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件为A1A2＋B1B2＝0.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必要的关系．可以考虑用直线系方程求解．
典例2 求经过A（2,1），且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．
思想方法指导 依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解．
解 因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋C1＝0，又直线过点（2,1），所以有2－2×
1＋C1＝0，解得C1＝0，即所求直线方程为x－2y＝0.
三、过直线交点的直线系
典例3 求经过两直线l1：
x－2y＋4＝0和l2：
x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：
3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．
思想方法指导 可分别求出直线l1与l2的交点及直线l的斜率k，直接写出方程；
也可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解．
解 方法一 解方程组
得P（0,2）．
因为l3的斜率为
，且l⊥l3，
所以直线l的斜率为－
由斜截式可知l的方程为y＝－
x＋2，
即4x＋3y－6＝0.
方法二 设直线l的方程为x－2y＋4＋λ（x＋y－2）＝0，
即（1＋λ）x＋（λ－2）y＋4－2λ＝0.
又∵l⊥l3，∴3×
（1＋λ）＋（－4）×
（λ－2）＝0，
解得λ＝11.
∴直线l的方程为4x＋3y－6＝0.
1．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：
ax＋2y－1＝0与直线l2：
x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
解析
（1）充分性：
当a＝1时，
x＋2y－1＝0与直线l2：
x＋2y＋4＝0平行；
（2）必要性：
当直线l1：
x＋（a＋1）y＋4＝0平行时有a＝－2或1.
所以“a＝1”是“直线l1：
x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的充分不必要条件，故选A.
2．（2016·
合肥模拟）已知两条直线l1：
x＋y－1＝0，l2：
3x＋ay＋2＝0且l1⊥l2，则a等于（ ）
A．－
B.
C．－3D．3
解析 由l1⊥l2，可得1×
3＋1×
a＝0，
∴a＝－3.
3．（2016·
山东省实验中学质检）从点（2,3）射出的光线沿与向量a＝（8,4）平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为（ ）
A．x＋2y－4＝0B．2x＋y－1＝0
C．x＋6y－16＝0D．6x＋y－8＝0
解析 由直线与向量a＝（8,4）平行知：
过点（2,3）的直线的斜率k＝
，所以直线的方程为y－3＝
（x－2），其与y轴的交点坐标为（0,2），又点（2,3）关于y轴的对称点为（－2,3），所以反射光线过点（－2,3）与（0,2），由两点式知A正确．
4．（2016·
兰州模拟）一只虫子从点O（0,0）出发，先爬行到直线l：
x－y＋1＝0上的P点，再从P点出发爬行到点A（1，1），则虫子爬行的最短路程是（ ）
B．2C．3D．4
答案 B
解析 点O（0,0）关于直线x－y＋1＝0的对称点为O′（－1,1），
则虫子爬行的最短路程为|O′A|＝
＝2.
故选B.
5．（2016·
绵阳模拟）若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为（ ）
B.
C.
D.
解析 因为
，所以两直线平行，
由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，
即
所以|PQ|的最小值为
，故选C.
6．（2016·
厦门模拟）将一张坐标纸折叠一次，使得点（0,2）与点（4,0）重合，点（7,3）与点（m，n）重合，则m＋n等于（ ）
B.
C.
D.
解析 由题意可知，纸的折痕应是点（0,2）与点（4,0）连线的中垂线，
即直线y＝2x－3，它也是点（7,3）与点（m，n）连线的中垂线，
于是
故m＋n＝
，故选A.
7．（2016·
忻州训练）已知两直线l1：
ax－by＋4＝0和l2：
（a－1）x＋y＋b＝0，若l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则a＋b＝________.
答案 0或
解析 由题意得
或
经检验，两种情况均符合题意，
所以a＋b的值为0或
8．已知直线l1：
ax＋y－1＝0，直线l2：
x－y－3＝0，若直线l1的倾斜角为
，则a＝________；
若l1⊥l2，则a＝________；
若l1∥l2，则两平行直线间的距离为________．
答案 －1 1 2
解析 若直线l1的倾斜角为
，则－a＝k＝tan
＝1，故a＝－1；
若l1⊥l2，则a×
1＋1×
（－1）＝0，故a＝1；
若l1∥l2，则a＝－1，l1：
x－y＋1＝0，两平行直线间的距离d＝
9．点P（2,1）到直线l：
mx－y－3＝0（m∈R）的最大距离是________．
答案 2
解析 直线l经过定点Q（0，－3），
如图所示，由图知，
当PQ⊥l时，点P（2,1）到直线l的距离取得最大值|PQ|＝
所以点P（2,1）到直线l的最大距离为2
10．点P为x轴上的一点，A（1,1），B（3,4），则|PA|＋|PB|的最小值是________．
答案
解析 点A（1,1）关于x轴的对称点A′（1，－1），
则|PA|＋|PB|的最小值是线段A′B的长为
11．已知两条直线l1：
（a－1）x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．
（1）l1⊥l2，且直线l1过点（－3，－1）；
（2）l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
解
（1）∵l1⊥l2，∴a（a－1）－b＝0，
又∵直线l1过点（－3，－1），∴－3a＋b＋4＝0.
故a＝2，b＝2.
（2）∵直线l2的斜率存在，l1∥l2，
∴直线l1的斜率存在．
∴k1＝k2，即
＝1－a.
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，
∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，
＝b.
故a＝2，b＝－2或a＝
，b＝2.
12．（2016·
北京朝阳区模拟）已知△ABC的顶点A（5,1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．
解 依题意知：
kAC＝－2，A（5,1），
∴lAC为2x＋y－11＝0，
联立lAC、lCM得
∴C（4,3）．
设B（x0，y0），AB的中点M为（
），
代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，
∴B（－1，－3），
∴kBC＝
，∴直线BC的方程为y－3＝
（x－4），
即6x－5y－9＝0.
13.已知三条直线：
2x－y＋a＝0（a＞0）；
－4x＋2y＋1＝0；
l3：
x＋y－1＝0，且l1与l2间的距离是
（1）求a的值；
（2）能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：
①点P在第一象限；
②点P到l1的距离是点P到l2的距离的
；
③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是
∶
若能，求点P的坐标；
若不能，说明理由．
解
（1）直线l2：
2x－y－
＝0，所以两条平行线l1与l2间的距离为d＝
所以
，即
又a＞0，解得a＝3.
（2）假设存在点P，设点P（x0，y0）．
若点P满足条件②，
则点P在与l1，
l2平行的直线l′：
2x－y＋c＝0上，
且
即c＝
所以直线l′的方程为2x0－y0＋
＝0或2x0－y0＋
＝0；
若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，
有
即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，
所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0；
由于点P在第一象限，所以3x0＋2＝0不可能．
联立方程2x0－y0＋
＝0和x0－2y0＋4＝0，
（舍去）；
所以存在点P
同时满足三个条件．
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