专题03 整式方程与分式方程考点串讲解析版.docx
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专题03整式方程与分式方程考点串讲解析版
专题03整式方程与分式方程
【考点剖析】
整式方程：
1字母系数：
关于x的方程中，把用字母表示的已知数m、n、a、b、c叫做字母系数.
2.含字母系数的一元一次方程
定义：
只含有一个未知数且未知数的最高次数为1的含字母系数的方程；
求解步骤：
去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1；注意：
系数化为1时视情况讨论！
3．含字母系数的一元二次方程
定义：
只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的含有字母系数的方程；
解法：
因式分解法，开平方法；配方法，公式法；当用含字母系数的式子去乘或除方程两边时，要讨论.
4.一元整式方程：
如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式；
一元n次方程与一元高次方程：
一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n；其中n大于2的方程称为一元高次方程.
5.二项方程：
如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零.一般形式为：
.
二项方程的解法：
将方程变形为，当n为奇数时，；当n为偶数时，如果，；如果，那么方程没有实数根.
分式方程：
6.可化为一元二次方程的分式方程
解分式方程的基本思想：
把分式方程转化为整式方程，再求解；
解分式方程的一般步骤：
①方程两边乘以最简公分母，去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③检验，是否有增根.
7.用换元法解分式方程（组）
【典例分析】
例题1（松江2018期中6）二项方程的实数根是.
【答案】；
【解析】由二项方程得，所以.
例题2（崇明2018期中12）关于x的方程的解是.
【答案】；
【解析】由得，因为，故.
例题3（杨浦2019期中11）关于x的方程：
是二项方程，k=.
【答案】0；
【解析】如果关于x的方程是二项方程，那么.
例题4（静安2018期末10）如果关于x的方程bx2＝2有实数解，那么b的取值范围是 ．
【答案】b＞0；
【解答】解：
根据题意得b≠0，，当时，方程有实数解，所以b＞0．
例题5（黄浦2018期中14）在公式中，已知正数R、R1（R≠R1），那么R2=______．
【答案】；
【解析】解：
，则，故答案是：
．
例题6（长宁2019期末4）若关于x分式方程＝有增根，则m＝ ．
【答案】1；
【解析】解：
去分母得：
x﹣m＝1，由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，代入整式方程得：
2﹣m＝1，解得：
m＝1，故答案为：
1
例题7（浦东四署2019期末12）解分式方程时，设，则原方程化为关于y的整式方程是.
【答案】；
【解析】因为，所以原方程可化为，变形得.
例题8（松江2019期中19）解关于x的方程：
.
【答案】当时，方程的根是；当，方程没有实数根.
【解析】解：
，，，当时，；
当时，方程无实数解∴当时，方程的根是；当，方程没有实数根.
例题9（浦东四署2019期末20）解方程：
.
【答案】；
【解析】解：
去分母，得：
，整理，得：
，解得，经检验是原方程的增根，舍去；是原方程的解.所以原方程的解是
例题10（闵行2018期末19）解分式方程：
.
【答案】x＝﹣5；
【解析】解：
去分母得：
（x+2）2﹣16＝x﹣2，整理得：
x2+3x﹣10＝0，即（x﹣2）（x+5）＝0，
解得：
x＝2或x＝﹣5，经检验x＝2是增根，分式方程的解为x＝﹣5．
【真题训练】
一、选择题
1.（浦东一署2018期中1）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】解：
A、是关于x的分式方程，错误；B、是关于x的一元四次方程，错误；C、是关于x的一元一次方程，错误；D、是关于x的一元二次方程，正确；故选：
D．
2.（浦东四署2019期中1）下列方程中，是二项方程的是（）
A.；B.；C.；D..
【答案】D；
【解析】根据二项方程定义“”可知答案选D.
3.（崇明2018期中3）下列说法正确的是（）
A.是二元二次方程； B.是分式方程；
C.是无理方程；D.是二项方程.
【答案】A；
【解析】A、是二元二次方程，正确；B、是整式方程，故B错误；C、是整式方程，故C错误；D、不是二项方程，故D错误；因此答案选A.
4.（浦东2018期末1）在下列方程中，分式方程是（ ）
A.B.C.D.
【答案】C；
【解析】解：
A、该方程是整式方程，故本选项错误；B、该方程是无理方程，故本选项错误；C、该方程符合分式方程的定义，故本选项正确；D、该方程属于无理方程，故本选项错误；故选：
C．
5.（浦东2018期中1）方程的根是（ ）
A.，B.C.D.以上答案都不对
【答案】C
【解析】解：
两边都乘以x-2，得：
x2-4=0，解得：
x=2或x=-2，当x=2时，x-2=0，舍去；
当x=-2时，x-2=-4，符合题意；故选：
C．
6.（长宁2018期末3）下列方程中，有实数根的方程是（ ）
A.；B.；C.；D..
【答案】A；
【解析】解：
A、，，有实数根，正确；B、平方不能为负数，无实数根，错误；C、分式方程中分母不能为零，无实数根，错误；D、算术平方根不能是负数，无实数根，错误；故选：
A．
7.（奉贤2018期末3）已知一元二次方程x2-2x-m=0有两个实数根，那么m的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】∵一元二次方程x2-2x-m=0有两个实数根，∴△=4+4m≥0，解得：
m≥-1．故选：
B．
8．（普陀2018期末3）用换元法解方程时，如果设，则原方程可化为（ ）
A．；B．C．；D..
【答案】D；
【解析】解：
设，则原方程变形为：
，故选：
D．
二、填空题
9.（崇明2018期中16）方程的解是.
【答案】；
【解析】由得，所以
10.（嘉定2019期末10）二项方程在实数范围内的解是.
【答案】；
【解析】变形得，所以.
11.（浦东四署2019期中8）方程的根是.
【答案】；
【解析】原方程变形得.
12.（浦东四署2019期末7）方程的根是.
【答案】；
【解析】由方程得：
，所以.
13.（静安2019期末9）方程的根是.
【答案】；
【解析】解：
得，所以.
14.（松江2018期中4）关于x的方程有解的条件是.
【答案】；
【解析】关于x的方程有解的条件是.
15.（浦东四署2019期中10）如果关于x的方程有解，则m的取值范围是.
【答案】；
【解析】因为关于x的方程有解，所以即.
16.（浦东2018期末8）当k=______时，方程kx+4=3-2x无解．
【答案】-2
【解析】解：
∵kx+4=3-2x，∴（k+2）x=-1，∴k+2=0时，方程kx+4=3-2x无解，解得k=-2．故答案为：
-2．
17．（青浦2018期末10）关于x的方程ax﹣2x﹣5＝0（a≠2）的解是 ．
【答案】
【解析】解：
ax﹣2x﹣5＝0，（a﹣2）x＝5，，故答案为：
．
18.（崇明2018期中13）方程的解为.
【答案】；
【解析】由方程得，，解得，经检验是原方程的解.
19.（松江2019期中12）方程的解是___________.
【答案】x=-1
【解析】解：
，去分母得：
x2﹣1=0，解得x=±1，当x=1时，x﹣1=0，舍去，则原方程的
解为x=﹣1.故答案为：
x=﹣1.
20.（金山2018期中14）如果分式方程有增根，那么k的值是.
【答案】3；
【解析】将分式方程去分母得：
，再将方程的增根代入得.
21.（杨浦2019期中10）若方程有增根，则a的值为.
【答案】-1；
【解析】解：
去分母得，将增根代入得，故a的值为-1.
22.（崇明2018期中15）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为含y的整式方程是.
【答案】；
【解析】根据题意，得，整理得：
.
23.（松江2018期中8）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于y的整式方程，这个整式方程是.
【答案】；
【解析】因为，所以原方程可化为：
，整理得：
.
24.（杨浦2019期中7）已知方程若设,则原方程可化为关于y的整式方程.
【答案】；
【解析】因为，所以原方程可化为：
，整理得：
.
25.（长宁2018期末11）用换元法解方程，若设，则原方程可以化为关于y的整式方程是______．
【答案】；
【解析】解：
用换元法解方程，若设，则原方程可以化为关于y的整式方程是，故答案为：
．
26.（奉贤2018期末10）用换元法解方程时，如果设，那么原方程化成以“y”为元的方程是______
【答案】；
【解析】解：
，设，原方程化为：
，即，
27.（嘉定2019期末11）用换元法解方程时，如果设，那么所得到的关于y的整式方程为.
【答案】；
【解析】，所以原方程变为，所以得.
三、解答题
28.（金山2018期中22）解关于x的方程：
.
【答案】时，；当时，方程无实数根.
【解析】解：
原方程变形为：
，，所以；
当时，；当时，方程无实数根；所以，当时，；当时，方程无实数根.
29.（金山2018期中20）解方程：
.
【答案】；
【解析】解：
方程两边同乘以得：
，整理，得：
，解之得：
，经检验：
都是原方程的根，所以原方程的根是.
30.（松江2018期中21）解方程：
.
【答案】；
【解析】解：
原方程变形为：
，去分母得：
，
整理，得，解得，经检验，是原方程的增根，是原方程的根.故原方程的根是.
31.（黄浦2018期中19）解方程：
．
【答案】x1=0，x2=3；
【解析】解：
，方程两边都乘以（1-x）（1+x）得：
1+x=2（1-x）+（1-x）（1+x），整理得：
x2-3x=0，解得：
x1=0，x2=3，经检验x1=0，x2=3都是原方程的解，所以原方程的解为：
x1=0，x2=3．
32.（浦东四署2019期中20）解方程：
.
【答案】；
【解析】解：
去分母，得，整理，得，解得：
，经检验：
都是原方程的根.所以原方程的根为.
33.（杨浦2019期中20）解方程：
【答案】；
【解析】解：
去分母得：
，整理，得：
，解之得：
，经检验：
是增根，舍去，是原方程的根；所以原方程的解是.
34.（松江2019期中21）解分式方程：
.
【答案】；
【解析】解：
方程两边同时乘以，得，整理，得:
，
因式分解得:
，解这个整式方程得：
，经检验知是原方程的增根，是原方程的根.则原方程的根是.
35．（青浦2018期末19）解方程：
.
【答案】x＝9；
【解析】解：
原方程可变形为，方程的两边都乘以，得
，整理，得x2﹣8x﹣9＝0，解得x1＝9，x2＝﹣1；检验：
当x＝﹣1时，＝0，所以x＝﹣1不是原方程的根．所以原方程的解为：
x＝9．
36.（崇明2018期中24）.
【答案】；
【解析】解：
设，则原方程组华为：
，解之得：
，所以，解得.经检验：
是原方程组的解.故原方程组的解为.
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