习题集含详解高中数学题库高考专点专练之120比较法证明不等式Word下载.docx

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．（填所有你认为正确的序号）

15.设，，若，则实数，应满足的条件为 

16.设，，，，则，，的大小关系是 

17.已知，，那么在、、这三个数中，最小的数是 

；

最大的数是 

三、解答题（共34小题；

共442分）

18.

（1）若，求证；

（2）已知，，，求证：

19.已知，，比较与的大小．

20.已知，比较与的大小

21.当为正数时，求证：

22.当，求证：

23.设不等式的解集为．

（1）求集合；

（2）若，，试比较与的大小．

24.已知，，求证：

25.

（1）已知对于任意非零实数和，不等式恒成立，试求实数的取值范围；

（2）已知不等式的解集为，若，试比较与的大小．（并说明理由）

26.比较，，的大小．

27.证明下列不等式：

（1）已知，求证：

（2）已知，，求证：

28.已知且，试比较与的大小．

29.已知，，且．

（1）求的最大值；

（2）求证：

30.已知，是不相等的两个正数，求证：

31.

（1）已知，，为两两不相等的实数，求证：

（2）若，，均为正数，求证：

32.请回答下列问题：

（1）设，，证明：

（2）设，证明：

33.当时，证明不等式．

34.已知，为非负实数，求证：

35.已知函数．

（1）证明：

当时，；

（2）当时，若恒成立，求的取值范围．

36.随着国家政策对节能环保型小排量车的调整，两款排量的型车、型车引起了人们的关注．已知2009年1月型车的销量为辆，通过分析预测，若以2009年1月为第个月，其后年内型车每月的销量都将以的比例增长；

型车前门个月的销售总量满足：

（1）求型车前个月的销售总量的表达式；

（2）比较与的大小关系；

（3）从第几个月开始，型车的月销售量小于型车月销售量的?

说明理由．（参考数据：

，）．

37.比较与的大小．

38.已知，均为正数，设，，试比较和的大小．

39.比较与的大小．

40.已知函数，，若，，且，求证：

41.设不等式的解集为．

（2）若，试比较与的大小．

42.如图，一圆环的直径为，通过拉绳，，，（，，是圆的三等分点）将其悬挂在处，圆环呈水平状态并距天花板．

（1）为使拉绳总长最短，应多长?

（2）为了美观与安全，在圆环上设置，，，，几个等分点，仍按上面的方法连接．若还要求拉绳总长最短，则此时点是上移还是下移?

请说明理由．

43.设数列满足，．

（1）试写出，，；

（2）请用数学归纳法，证明对一切正整数都成立；

（3）令，判定与的大小，并说明理由．

44.已知函数，，其中．

（1）若曲线与在处的切线相互平行，求两平行直线间的距离；

（2）若对任意恒成立，求实数的值；

（3）当时，对于函数，记在图象上任意两点，连线的斜率为，若恒成立，求的取值范围．

45.已知函数，若对任意，且，都有，

（1）求实数的取值范围；

（2）对于给定的实数，有一个最小的负数，使得时，都成立，则当为何值时，最小，并求出的最小值．

46.集合是具有以下性质的函数的全体：

对于任意，，都有，，且．

（1）试判断函数是否属于集合?

（2）证明：

集合中的函数在区间上是增函数．

47.设数列满足，．

（1）求证：

48.设二次函数，方程的两个根，满足．

（1）当时，证明；

（2）设函数的图象关于直线对称，证明．

49.已知在数列中，，，．

（3）记为数列的前项和，求证：

50.定义表示，，，，中的最大值．

已知数列，，，其中，，，，，．记．

（1）求；

（2）当时，求的最小值；

（3），求的最小值．

51.已知数列中，满足，，记为的前项和．证明：

（1）；

（2）；

（3）．

答案

第一部分

1.C【解析】，所以．

2.A【解析】因为，所以．

3.B4.B5.C

6.B7.C【解析】因为，

所以．

又因为，

所以，

第二部分

8.①②④

9.

10.

【解析】．

11.

12.

13.

【解析】因为，

14.①②③

15.或

【解析】若，则

故或．

16.

17.，

【解析】，

因为，，

所以，，

又，

从而有．

第三部分

18.

（1）由题意作差可得

因为，

（2）由题意可知，

因为，，，

即．

19.取，，，，

则，，猜想．证明如下：

20.

因为，所以．

所以

21.因为一个实数的平方是非负数，且是一个实数的平方，

所以是非负数，即，

故．

22.先移项，再证左边恒大于．

设，则．

当时，，所以，故在上递增，

所以当时，．

所以，即，故．

23.

（1）由，得，解得，

（2）由

（1），可知，．

24.

显然，故．

25.

（1），当且仅当时取等号，

只需：

，由于，只需，表示数轴上的点与，的距离之和小于等于，

所以的取值范围为：

（2）由题意解得：

，，知：

，即．

26.要比较，，．

只需先比较，的大小．

即比较和的大小．

再比较，．

即比较与的大小．

27.

（1）

所以，，，．

所以，．

所以，即

（2）．

因为，．

所以，即．

28.

①当时，，所以

②当时，且时，，所以．

③当时，，所以．

综上所述，当时，；

当时，．

29.

（1）因为，，且，

所以，所以，（当且仅当时，等号成立）．

的最大值为．

（2）证法一：

（分析法）

欲证原式，即证，即证，即证或．

因为，，，所以不可能成立．

因为，所以，从而得证．

证法二：

（比较法）

因为，，，所以，所以．

．

30.，

因为，且，

所以，，所以．

31.

（1）因为，，互不相等，

所以，，，

（2）因为，

同理可证，，

所以

所以，当且仅当时取等号．

32.

（1）由于，，

将上式的右式减左式，得

因为，，所以，从而所要证明的不等式成立．

（2）设，，由对数的换底公式得，，，．

于是，所要证明的不等式即为，其中，．

故由可知所要证明的不等式成立．

33.设，

则．

当时，，

所以在上是增函数．

于是当时，．

即当时，不等式恒成立．

34.由，为非负实数，作差得

当时，，从而，得；

35.

（1）．

令，则．

当时，，在上是增函数；

当时，，在上是减函数．

于是在处取得最小值，因而当时，，即．

（2）由题设知，当时，．

当时，若，则，不成立．

当时，令，

则当时，．

①当时，由

（1）知，

所以在上是减函数，，即．

②当时，因为，

当时，，所以，即．

综上，的取值范围是．

36.

（1）型车每月的销售量是首项，公比的等比数列，前个月的销售总量．

（2）因为

又因为，，所以．

（3）记，两款车第个月的销量分别为和，则．

当时，

，显然．

当时，若，

则，

即，，

所以，即从第个月开始，型车的月销量小于型车月销量的．

37.因为

38.

因为，均为正数，所以，，，，．

所以，即，当且仅当时，等号成立．

39.，

所以，当时，；

40.因为，，，

即有，

41.

（1）由得，解得．

所以集合．

（2）由（）和可知，

42.

（1）设距天花板，所求拉绳的总长为．

由题意知，，，四点构成一个正三棱锥，，，为该三棱锥的三条侧棱，三棱锥的侧棱，于是．

对其求导，得．

当时，，解得．

因为当时，，当时，，

所以当时，即时，取得最小值．

（2）由可知，当在圆环上设置个点时，拉绳的总长为，

只有一个极值，所以当时，拉绳总长最短．

下面比较与的大小．

因为（其中），

所以，即，亦即，

故点的位置将下移．

43.

（1），

，

当时，，不等式成立．

假设时，成立，

当时，，，

所以当时，成立．

综上，由数学归纳法可知，对一切正整数成立．

当时，结论成立．

假设时结论成立，即，

当时，由函数的单调递增性和归纳假设有

所以当时，结论成立．

因此，对一切正整数均成立．

（3）

44.

（1），，依题意得：

，

曲线在处的切线为，

曲线在处的切线方程为．

两直线间的距离为．

（2）令，则

当时，注意到，所以，所以在单调递减，

又，故时，，即，与题设矛盾．

当，，当时，．

所以在上是增函数，在上是减函数，

又当时，，与不符．

（3）当时，由

（2）知，

所以在上是减函数，

不妨设，则，，

等价于，即，

令，在上是减函数，

所以在时恒成立，

又时，，

所以的取值范围是．

45.

（1）因为，

所以实数的取值范围．

（2）因为，显然，对称轴．

①当，即时，，且．

令，解得，

此时取较大的根，即，

②当，即时，，且．

此时取较小的根，即，

当且仅当时，取等号．

所以当时，取得最小值为．

46.

（1）当，时，，.

因为

所以.

（2）证明：

由，得，

任取，，且，则，.

因为，所以.

47.

（1）因为及，

所以，即．

（2）由

（1）得

即，当时，也满足，

48.

（1）令．

由，是方程的根，可设．

当时，由于，得，

又，得，

即，又

从而．

综上，．

（2）依题意知，

因为，是方程的根，

即，是方程的根．

49.

（1）先用数学归纳法证明，

假设时成立．

综上所述，，恒成立．

所以成立．

（2），，

当时，，且，

所以，．

由得，

所以，当时，，当时，，

综上所述，．

（3）由（）中的结果得，

由（）得，

50.

（1）由题意，，

所以当时，，则，

当时，，则，

（2）当时，，

因为数列为单调递减数列，数列为单调递增数列，

所以当时，取得最小值，此时．

而，

所以的最小值为．

（3）由可知，当时．的最小值为．

而，．

此时的最小值为．

设，

综上，的最小值为．

51.

（1）由题意知，．

故要证，

只需证明．

下面用数学归纳法证明：

当时，成立，

假设时，成立．

那么当时，，

综上所述，对任意，．

（2）用数学归纳法证明：

当时，成立；

那么当时，

（3）当时，，

得，

故