学年高中数学模块综合检测新人教B版选修21.docx
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学年高中数学模块综合检测新人教B版选修21
模块综合检测
时间：
120分钟 满分：
150分
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列命题中是全称命题，并且又是真命题的是（ ）
A．所有菱形的四条边都相等
B．∃x0∈N，使2x0为偶数
C．对∀x∈R，x2＋2x＋1＞0
D．π是无理数
解析：
根据全称命题的定义可以判断A、C两项为全称命题，对于C项，在x＝－1时，x2＋2x＋1＝0，故C项为假命题．
答案：
A
2．若抛物线的准线方程为x＝1，焦点坐标为（－1,0），则抛物线的方程是（ ）
A．y2＝2x B．y2＝－2x
C．y2＝4xD．y2＝－4x
解析：
∵抛物线的准线方程为x＝1，
焦点坐标为（－1,0），
∴抛物线的开口方向向左且顶点在原点，其中p＝2.
∴抛物线的标准方程为y2＝－4x.
答案：
D
3．若a＝（1，－1，－1），b＝（0,1,1）且（a＋λb）⊥b则实数λ的值是（ ）
A．0B．1
C．－1D．2
解析：
λb＝（0，λ，λ），
a＋λb＝（1，λ－1，λ－1）．
∵（a＋λb）⊥b，∴（a＋λb）·b＝0，
∴λ－1＝0，λ＝1.
答案：
B
4．已知命题p：
∀x∈R，x≥1，那么命题綈p为（ ）
A．∀x∈R，x≤1
B．∃x0∈R，x0＜1
C．∀x∈R，x≤－1
D．∃x0∈R，x0＜－1
解析：
全称命题的否定是特称命题．
答案：
B
5．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为（ ）
A.B．－
C．8D．－8
解析：
由y＝ax2得x2＝y，
∴＝－8，∴a＝－.
答案：
B
6．若椭圆＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线－＝1的离心率为（ ）
A.B.
C.D.
解析：
因为椭圆＋＝1的离心率e1＝，
所以1－＝e＝，
即＝，而在双曲线－＝1中，设离心率为e2，
则e＝1＋＝1＋＝，所以e2＝.
答案：
B
7．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（ ）
A．p：
a＋c＞b＋d，q：
a＞b且c＞d
B．p：
a＞1，b＞1，q：
f（x）＝ax－b（a＞0且a≠1）的图象不过第二象限
C．p：
x＝1，q：
x2＝x
D．p：
a＞1，q：
f（x）＝logax（a＞0且a≠1）在（0，＋∞）上为增函数
解析：
由于a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d，而a＋c＞b＋d却不一定推出a＞b，且c＞d.故A中p是q的必要不充分条件．B中，当a＞1，b＞1时，函数f（x）＝ax－b不过第二象限，当f（x）＝ax－b不过第二象限时，有a＞1，b≥1.故B中p是q的充分不必要条件．C中，因为x＝1时有x2＝x，但x2＝x时不一定有x＝1，故C中p是q的充分不必要条件．D中p是q的充要条件．
答案：
A
8．四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，BC∥AD，且AB＝BC＝2，AD＝3，PA⊥平面ABCD且PA＝2，则PB与平面PCD所成角的正弦值为（ ）
A.B.
C.D.
解析：
建立如图所示的空间直角坐标系，
则P（0,0,2），B（2,0,0），C（2,2,0），D（0,3,0）．
＝（2,0，－2），＝（－2,1,0），＝（0,3，－2）．
设平面PCD的一个法向量为n＝（x，y，z），
则取x＝1得n＝（1,2,3）．
cos〈，n〉＝＝＝－，
可得PB与平面PCD所成角的正弦值为.
答案：
B
9．正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则二面角A－BD－C的正弦值为（ ）
A.B.
C.D.
解析：
取BC中点O，连接AO，DO.
建立如图所示坐标系，设BC＝1，
则A，B，D.
∴＝，＝，＝.
由于＝为面BCD的法向量，
可进一步求出面ABD的一个法向量n＝（1，－，1），
∴cos〈n，〉＝，
∴sin〈n，〉＝.
答案：
C
10．设双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于（ ）
A.B．2
C.D.
解析：
双曲线的一条渐近线为y＝x，
由消y得x2－x＋1＝0.
由题意，知Δ＝2－4＝0
∴b2＝4a2.
又c2＝a2＋b2，∴c2＝a2＋4a2＝5a2.
∴＝.
答案：
D
11．已知椭圆＋＝1（a＞b＞0），M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是（ ）
A．椭圆B．圆
C．双曲线的一支D．线段
解析：
∵P为MF1中点，O为F1F2的中点，∴OP＝MF2，又MF1＋MF2＝2a，∴PF1＋PO＝MF1＋MF2＝a.∴P的轨迹是以F1，O为焦点的椭圆．
答案：
A
12．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC，AB⊥AC，M是CC1的中点，Q是BC的中点，P是A1B1的中点，则直线PQ与AM所成的角为（ ）
A.B.
C.D.
解析：
以A为坐标原点，AB、AC、AA1所在直线为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1＝AB＝AC＝2，则＝（0,2,1），Q（1,1,0），P（1,0,2），＝（0，－1,2），所以·＝0，
所以QP与AM所成角为.
答案：
D
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．双曲线－＝1的焦距是________．
解析：
依题意a2＝m2＋12，b2＝4－m2，所以c2＝a2＋b2＝16，c＝4,2c＝8.
答案：
8
14．命题p：
若a，b∈R，则ab＝0是a＝0的充分条件，命题q：
函数y＝的定义域是[3，＋∞），则“p∨q”“p∧q”“綈p”中是真命题的有________．
解析：
依题意可知p假，q真，所以“p∨q”为真，“p∧q”为假，“綈p”为真．
答案：
p∨q，綈p
15．已知A（0，－4），B（3,2），抛物线y2＝x上的点到直线AB的最短距离为________．
解析：
直线AB为2x－y－4＝0，设抛物线y2＝x上的点P（t，t2），d＝＝＝≥＝.
答案：
16．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值为________．
解析：
建系如图，
则M，N，A（1,0,0），C（0,1,0），
∴＝，＝.
∴cos〈，〉＝＝＝.
即直线AM与CN所成角的余弦值为.
答案：
三、解答题：
本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）命题p：
x2－4mx＋1＝0有实数解，命题q：
∃x0∈R，使得mx－2x0－1＞0成立．
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；
（3）若命题綈p∨綈q为真命题，且命题p∨q为真命题，求实数m的取值范围．
解析：
（1）∵x2－4mx＋1＝0有实根；
∴Δ＝16m2－4≥0，∴m≤－或m≥.
∴m的取值范围是∪.
（2）设f（x）＝mx2－2x－1.
当m＝0时，f（x）＝－2x－1，q为真命题；
当m＞0时，q为真命题；
当m＜0时，需有Δ＝4＋4m＞0，
∴m＞－1，综上m＞－1.
（3）∵綈p∨綈q为真，p∨q为真，
∴p、q为一真一假．p、q为真时m的范围在数轴上表示为
p真，q假时，m≤－1；p假，q真时，－＜m＜.
∴满足条件的m的取值范围是m≤－1或－＜m＜.
18．（本小题满分12分）如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G分别是A1D1、D1D、D1C1的中点．
（1）求证：
EG∥AC；
（2）求证：
平面EFG∥平面AB1C.
证明：
把{，，}作为空间的一个基底．
（1）因为＝＋＝＋，＝＋，
所以＝2.所以EG∥AC.
（2）由
（1）知EG∥AC，又AC⊂平面AB1C，EG⊄平面AB1C，
所以EG∥平面AB1C.
因为＝＋＝＋，＝＋，
所以＝2.所以FG∥AB1.
又AB1⊂平面AB1C，FG⊄平面AB1C，
所以FG∥平面AB1C.
又EG∩FG＝G，所以平面EFG∥平面AB1C.
19．（本小题满分12分）已知直线l：
y＝－x＋1与椭圆＋＝1（a＞b＞0）相交于A、B两点，且线段AB的中点为.
（1）求此椭圆的离心率；
（2）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆x2＋y2＝5上，求此椭圆的方程．
解析：
（1）由得
（b2＋a2）x2－2a2x＋a2－a2b2＝0.
Δ＝4a4－4（a2＋b2）（a2－a2b2）＞0⇒a2＋b2＞1，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1＋x2＝.
∵线段AB的中点为，
∴＝，于是得：
a2＝2b2.
又a2＝b2＋c2，∴a2＝2c2，∴e＝.
（2）设椭圆的右焦点为F（c,0），则点F关于直线l：
y＝－x＋1的对称点为P（1,1－c），
由已知点P在圆x2＋y2＝5上，
∴1＋（1－c）2＝5，c2－2c－3＝0.
∵c＞0，∴c＝3，
又∵a2＝2c2，∴a2＝18，a＝3.∴b＝3，
∴椭圆方程为＋＝1.
20．（本小题满分12分）已知抛物线y2＝－x与直线y＝k（x＋1）相交于A，B两点，点O是坐标原点．
（1）求证：
OA⊥OB；
（2）当△OAB的面积等于时，求k的值．
解析：
（1）证明：
当k＝0时直线与抛物线仅一个交点，不合题意，
∴k≠0由y＝k（x＋1）得x＝－1代入y2＝－x整理得：
y2＋y－1＝0
设A（x1，y1），B（x2，y2）则y1＋y2＝－，y1y2＝－1.
∵A，B在y2＝－x上，
∴A（－y，y1），B（－y，y2），
∴kOA·kOB＝·＝＝－1，
∴OA⊥OB.
（2）设直线与x轴交于E，则E（－1,0），∴|OE|＝1，
S△OAB＝|OE|（|y1|＋|y2|）＝|y1－y2|
＝＝，
解得k＝±.
21．（本小题满分12分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．
（1）求证：
AF∥平面BCE；
（2）求证：
平面BCE⊥平面CDE；
（3）在DE上是否存在一点P，使直线BP和平面BCE所成的角为30°.
解析：
设AD＝DE＝2AB＝2a，
建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，
则A（0,0,0），B（0,0，a），C（2a,0,0），D（a，a,0），E（a，a,2a），
∵F为CD的中点，∴F.
（1）证明：
＝，
＝（a，a，a），＝（2a,0，－a），
∵＝（＋），
AF⊄平面BCE，∴AF∥平面BCE.
（2）证明：
∵＝，
＝（－a，a,0），＝（0,0，－2a），
∴·＝0，·＝0，
∴⊥，⊥.
∴⊥平面CDE.又∵AF∥平面BCE，
∴平面BCE⊥平面CDE.
（3）设平面BCE的一个法向量为n＝（x，y，z），
由n·＝0，n·＝0可得：
x＋y＋z＝0,2x－z＝0，
取n＝（1，－，2），
不妨取a＝1，则B（0,0,1），
设存在P（1，，t）满足题意，
则＝（1，，t－1）（0≤t≤2），
设BP和平面BCE所成的角为θ，
则sinθ＝
＝＝，
解得t＝3±，取t＝3－∈[0,2]，
∴存在P（a，a，（3－）a），使直线BP和平面BCE所成的角为30°.
22．（本小题满分12分）已知椭圆C：
＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，直线l：
y＝x＋2与以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆O相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C与曲线|y|＝kx（k＞0）的交点为A，B，求△OAB面积的最大值．
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