22力的合成与分解.docx

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22力的合成与分解

第2讲　力的合成与分解

知识一　力的合成

1．合力与分力

（1）定义：

如果一个力的作用效果跟几个力共同作用的效果相同，这一个力就叫那几个力的合力，那几个力就叫这个力的分力．

（2）逻辑关系：

合力和分力是一种等效替代关系．

2．共点力：

作用在物体上的力的作用线或作用线的反向延长线交于一点的力．

3．力的合成的运算法则

（1）平行四边形定则：

求两个互成角度的共点力F1、F2的合力，可以用表示F1、F2的有向线段为邻边作平行四边形，平行四边形的对角线（在两个有向线段F1、F2之间）就表示合力的大小和方向，如图2－2－1甲所示．

（2）三角形定则：

求两个互成角度的共点力F1、F2的合力，可以把表示F1、F2的线段首尾顺次相接地画出，把F1、F2的另外两端连接起来，则此连线就表示合力的大小和方向，如图乙所示．

甲　　　　　　　　　乙　　　

图2－2－1

知识二　力的分解、矢量与标量

1．力的分解

（1）定义：

求一个力的分力的过程．

（2）遵循原则：

平行四边形定则或三角形定则．

（3）分解方法：

①按力产生的效果分解；②正交分解．

2．矢量和标量

（1）矢量：

既有大小又有方向的量．相加时遵从平行四边形定则．

（2）标量：

只有大小没有方向的量．求和时按算术法则相加．

（1）合力的性质与原来的分力性质相同．（×）

（2）合力与分力同时作用在物体上．（×）

（3）合力可能大于分力，也可能小于分力．（√）

1．下列各组物理量中全部是矢量的是（　　）

A．位移、速度、加速度、力

B．位移、长度、速度、电流

C．力、位移、速率、加速度

D．速度、加速度、力、电流

【答案】　A

2．两个共点力F1与F2的合力大小为6N，则F1与F2的大小可能是（　　）

A．F1＝2N，F2＝9N　　　B．F1＝4N，F2＝8N

C．F1＝1N，F2＝8ND．F1＝2N，F2＝1N

【解析】　由于合力大小为：

|F1－F2|≤F≤|F1＋F2|，可通过以下表格对选项进行分析

选项

诊断

结论

A

7N≤F≤11N

×

B

4N≤F≤12N

√

C

7N≤F≤9N

×

D

1N≤F≤3N

×

【答案】　B

3．乔伊想挂起一块重7.50×102N的招牌．如图2－2－2所示，他将缆索A系在百货店墙上，成30.0°角；缆索B系在毗邻的建筑物上，呈水平方向．求缆索B的张力．

图2－2－2

【解析】　将招牌重力沿两绳方向分解，水平分力G1，与缆索B的拉力平衡．斜向下的分力G2与缆索A的拉力平衡．

TB＝G1＝Gtan30°＝4.33×102N

【答案】　4.33×102N

4．（多选）（2013·上海高考）两个共点力F1、F2大小不同，它们的合力大小为F，则（　　）

A．F1、F2同时增大一倍，F也增大一倍

B．F1、F2同时增加10N，F也增加10N

C．F1增加10N，F2减少10N，F一定不变

D．若F1、F2中的一个增大，F不一定增大

【解析】　根据平行四边形邻边、对角线的几何关系，若F1、F2都变为原来的2倍，合力也一定变为原来的2倍，A正确；对于B、C两种情况，力的变化不是按比例增加或减少的，不能判断合力的变化情况，B、C错误；如图所示，在F⊥F2情况下，合力最小，所以D正确．

【答案】　AD

5．（2012·广东高考）如图2－2－3所示，两根等长的轻绳将日光灯悬挂在天花板上，两绳与竖直方向的夹角为45°，日光灯保持水平，所受重力为G，左右两绳的拉力大小分别为（　　）

图2－2－3

A．G和GB.G和G

C.G和GD.G和G

【解析】　日光灯受重力和两绳力平衡，将重力沿两绳方向分解，可得绳的拉力F＝＝G.

【答案】　B

考点一[11]　共点力合成方法及合力范围

一、共点力合成的方法

1．作图法．

2．计算法：

根据平行四边形定则作出示意图，然后利用解三角形的方法求出合力．

3．几种特殊情况的共点力的合成

类型

作图

合力的计算

互相垂直

F＝tanθ＝

两力等大，夹角θ

F＝2F1cosF与F1夹角为

两力等大且夹角120°

合力与分力等大

二、合力范围的确定

1．两个共点力的合力范围：

|F1－F2|≤F≤F1＋F2，即两个力的大小不变时，其合力随夹角的增大而减小．当两个力反向时，合力最小，为|F1－F2|；当两个力同向时，合力最大，为F1＋F2.

2．三个共点力的合成范围

（1）最大值：

三个力同向时，其合力最大，为Fmax＝F1＋F2＋F3

（2）最小值：

以这三个力的大小为边，如果能组成封闭的三角形，则其合力的最小值为零，即Fmin＝0；如果不能，则合力的最小值的大小等于最大的一个力减去另外两个力和的绝对值，即Fmin＝F1－|F2＋F3|（F1为三个力中最大的力）．

——————[1个示范例]——————

　一物体受到三个共面共点力F1、F2、F3的作用，三力的矢量关系如图2－2－4所示（小方格边长相等），则下列说法正确的是（　　）

图2－2－4

A．三力的合力有最大值为F1＋F2＋F3，方向不确定

B．三力的合力有唯一值3F3，方向与F3同向

C．三力的合力有唯一值2F3，方向与F3同向

D．由题给条件无法求出合力大小

【解析】　方法一：

以F1和F2为邻边作平行四边形，对角线必沿F3方向，其大小F12＝2F3，再与F3求合力，故F＝3F3，与F3同向，所以只有B正确．

方法二：

分解F1、F2，竖直方向抵消，水平方向合成后相当于2F3，所以合力为3F3.

【答案】　B

——————[1个预测例]——————

　如图2－2－5甲为著名选手戴伟彬在2013年9月全运会上的射箭场景．已知弓的顶部跨度为l，弦均匀且弹性良好，其自由长度为l.发射时弦和箭可等效为图乙的情景，假设弓的跨度保持不变，即箭在弦的正中间，弦夹在类似动滑轮的附加装置上，将箭发射出去．已知弦的劲度系数为k，发射箭时弦的最大长度为2l（弹性限度内），则箭被发射瞬间所受的最大弹力为（设弦的弹力满足胡克定律）（　　）

甲　　　　　　　　　　　　乙

图2－2－5

A．kl　　　　　　　　B.kl

C.klD．2kl

【解析】　弓发射箭的瞬间，受力如图．设放箭处弦的弹力分别为F1、F2，合力为F，则F1＝F2＝k（2l－l）＝kl，F＝2F1·cosθ，由几何关系得cosθ＝，所以，箭被发射瞬间的最大弹力为F＝kl，C项正确．

【答案】　C

考点二[12]　力的分解方法

一、力的效果分解法

1．根据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向．

2．再根据两个实际分力的方向画出平行四边形．

3．最后由平行四边形和数学知识求出两分力的大小．

高中阶段常见的按效果分解力的情形.

实例

分解思路

拉力F可分解为水平分力F1＝Fcosα和竖直分力F2＝Fsinα

重力分解为沿斜面向下的力F1＝mgsinα和垂直斜面向下的力F2＝mgcosα

重力分解为使球压紧挡板的分力F1＝mgtanα和使球压紧斜面的分力F2＝

重力分解为使球压紧竖直墙壁的分力F1＝mgtanα和使球拉紧悬线的分力F2＝mg/cosα

小球重力分解为使物体拉紧AO线的分力F2和使物体拉紧BO线的分力F1，大小都为F1＝F2＝

拉力分解为拉伸AB的分力F1＝Ftanα和压缩BC的分力F2＝

二、正交分解法

1．定义：

将已知力按互相垂直的两个方向进行分解的方法．

2．建立坐标轴的原则：

一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则（即尽量多的力在坐标轴上）；在动力学中．以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系．

3．分解方法：

物体受到多个作用力F1、F2、F3…，求合力F时，可把各力沿相互垂直的x轴，y轴分解，如图2－2－6所示．

图2－2－6

x轴上的合力：

Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…

y轴上的合力：

Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…

合力大小：

F＝

合力方向：

与x轴夹角为θ，则tanθ＝.

三、力的合成与分解方法的选择技巧

力的效果分解法、正交分解法、合成法都是常见的解题方法，一般情况下，物体只受三个力的情形下，力的效果分解法、合成法解题较为简单，在三角形中找几何关系，利用几何关系或三角形相似求解；而物体受三个以上力的情况多用正交分解法，但也要视题目具体情况而定．

——————[1个示范例]——————

图2－2－7

（2014·东北三省大联考）如图2－2－7所示为一幅农耕图（正在犁田）．若犁重为G，牛拉犁匀速前进时，犁所受到的阻力为f，绳索与水平面的夹角为θ，则在牛匀速前进时绳索所受犁的拉力大小为（不计人对犁的作用）（　　）

A.　　　　　　B.

C.D.

【解析】　将绳索对犁的拉力F按效果分解可知，水平向前的分力F1与犁受到的阻力f平衡，则F1＝Fcosθ＝f，解得，F＝，根据牛顿第三定律可知，绳索所受犁的拉力大小为，D项正确．

【答案】　D

——————[1个预测例]——————

　在建筑装修中，工人用质量为m的磨石对竖直墙壁进行打磨，如图2－2－8所示，当对磨石

图2－2－8

施加垂直斜边向上推力F时，磨石恰好沿墙壁向上匀速运动，磨石的倾角为θ，已知磨石与墙壁之间的动摩擦因数为μ，则磨石受到的摩擦力（　　）

A．f＝（F－mg）sinθ

B．f＝Fsinθ＋mg

C．f＝μFcosθ＝Fsinθ－mg

D．f＝μ（F－mg）cosθ

【审题指导】　

（1）磨石向上匀速运动，所受合力为零．

（2）对磨石受力分析，用正交分解法求解．

【解析】　

对磨石受力分析，如图所示，由磨石恰好沿墙壁向上匀速运动得FN＝Fcosθ（水平方向），Fsinθ＝mg＋f（竖直方向），又f＝μFN，则可得f＝Fsinθ－mg＝μFcosθ，选项C正确．

【答案】　C

绳上的“活结”与“死结”模型

一、“死结”模型

1．“死结”可理解为把绳子分成两段．

2．“死结”是不可以沿绳子移动的结．

3．“死结”两侧的绳因结住而变成了两根独立的绳．

4．“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等．（如图2－2－9甲）

二、“活结”模型

1．“活结”可理解为把绳子分成两段．

2．“活结”是可以沿绳子移动的结点．

3．“活结”一般是由绳跨过滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的．绳子虽然因“活结”而弯曲，但实际上是同一根绳．

4．“活结”分开的两段绳子上弹力的大小一定相等，两段绳子合力的方向一定沿这两段绳子夹角的平分线．（如图乙）

甲　　　　　　　　　乙

图2－2－9

——————[1个示范例]——————

　（2014·昆明八中检测）如图2－2－10所示，轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为10kg的物体，∠ACB＝30°；图2－2－11中轻杆HP一端用铰链固定在竖直墙上，另一端P通过细绳EP拉住，EP与水平方向也成30°角，轻杆的P点用细绳PQ拉住一个质量也为10kg的物体，g取10m/s2，求：

图2－2－10　　　　　　　　　　　　图2－2－11

（1）轻绳AC段的张力FAC与细绳EP的张力FEP之比；

（2）横梁BC对C端的支持力；

（3）轻杆HP对P端的支持力．

【审题指导】　

（1）轻绳AD跨过固定的定滑轮，AC、CD两段绳子的拉力大小相等，都等于M1所受的重力的大小．

（2）P为“死结”，PQ的拉力等于M2所受重力，EP所受的力和PQ所受的力不相等．

【规范解答】　题图中的两个物